我们要求的是,当Q为何值时,TR-TC的值最大,即利润最大。
5、可以证明,当TRˊ=TCˊ时,TR-TC有最大值。
(证明略)
∴由TR=33Q-4Q²得TRˊ=33-8Q
TC=Q³-9Q²+36Q+6得TCˊ=3Q²-18Q+36
∴当TRˊ=TCˊ即33-8Q=3Q²-18Q+36时,利润最大。
整理方程,得:
3Q²-10Q+3=0解这个方程,得
Q1=3Q2=1/3
考察:
当Q=3时,TR-TC=1;
当Q=1/3时,TR-TC<0;
∴Q2=1/3舍去。
即当产量为Q=3时,利润最大。
∵TR=P•Q
∴P=TR/Q=33Q―4Q²/Q=33-4Q
当Q=3时,P=33-4×3=21
答:
利润最大时的产销量为3,价格为21。
例6、某企业总成本TC=1/3Q³-7Q²+100Q+50(Q为产量),产品价格P=67。
求利润最大时的产销量。
解:
请注意,本题与例5的差别在于,例5告诉了我们TR方程,而例6没有,但例6告诉了我们价格P。
这说明在例6里价格是不变的,它等于67,我们可以据此求出TR方程。
TR=67Q
注意:
这个方程的图象是一条直线。
∵TR′=67,TC′=Q²-14Q+100
∴当TRˊ=TCˊ即Q²-14Q+100=67时,利润最大。
解这个方程,得:
Q1=11Q2=3(舍去)注:
一般将两个答案中较小的一个舍去。
∴Q=11
即,当产销量为11时,利润最大。
例7、某企业生产某种产品,产量Q=5xy,x和y分别为两种生产要素的投入量。
两要素的价格分别是:
Px=10,Py=20。
如果要生产20单位的产品,问:
采用怎样的要素投入量组合,才能使总成本最低?
解:
根据题意有:
5xy=20,x=4/y
∴TC=10x+20y=40/y+20y这个函数的图象如下:
显然,要使TC最小,必须使TC′=0
而TC′=-40/y²+20
TC′=0即-40/y²+20=0
解得:
y=±√2(-√2舍去)
y=√2x=4/y=2√2
这就是总成本最低的要素投入量。
例8、某厂每年七、八月份产销一种冷饮,根据过去五年的统计资料,日销量在1000箱至1300箱之间,达到1000、1100、1200、1300箱的天数分别是:
62、124、93、31天。
每生产一箱,当天卖出可获利2.5元,若没有卖出则亏损1.5元。
试安排最佳日产量。
解:
七、八两个月的天数是62天,五年共310天,因此,根据本题所提供的数据可知,卖1000箱的概率是0.2(62/310);卖1100箱的概率为0.4(124/310);卖1200箱的概率为0.3(93/310);卖1300箱的概率为0.1(31/310)。
(1)如果日产量安排1000箱,则可以全部卖掉,共获利2500元;
(2)日产量为1100箱,如果只销出1000箱:
则获利(2500-1.5×100)=2350元;
(3)日产量为1200箱,如果只销出1000箱:
则获利(2500-1.5×200)=2200元;
(4)日产量为1300箱,如果只销出1100元:
则获利(2.5×1100-1.5×200)=2450元;
(5)其它依此类推,列表如下:
期望值是不同产量的平均日盈利额,由此可见,日产量安排在1200箱最佳。
期望值:
2500×(0.2+0.4+0.3+0.1)=2500
2350×0.2+2750×(0.4+0.3+0.1)=2670
2200×0.2+2600×0.4+3000×(0.3+0.1)=2680
2050×0.2+2450×0.4+2850×0.3+3250×0.1=2570
例9、某药厂生产甲、乙两种药品,单价分别为6万元和4万元。
生产这两种药品,均需用A、B两种原料:
每生产一单位甲,需用A原料2单位,B原料1单位;每生产一单位乙,需用A、B各1单位。
这两种原料每年的可供量是:
A:
10单位,B:
8单位。
甲年产量不受限制,乙年产量则受市场容量限制,不能超过7单位。
问:
该厂应如何安排甲、乙的年产量,才能使年总产值达到最大?
解:
这是个求极大值的线性规划问题。
设:
甲、乙的年产量分别为x1、x2,则:
目标函数:
y=6x1+4x2
约束条件:
2x1+x2≤10(原料A的约束)
x1+x2≤8(原料B的约束)
x2≤7(乙的年产量的约束)
x1、x2≥0(甲、乙的年产量约束)
(1)先画出x2=7线,则该线下方均满足x2≤7的约束条件;
(2)画x2=-x1+8线,则该线左下方部分均满足x1+x2≤8的约束条件;
(3)画x2=-2x1+10线,则该线左下方也均满足2x1+x2≤10的约束条件;
(4)将maxZ=6x1+4x2变为y=6x1+4x2形式,再将该式变换为x2=-3/2x1+y/4;因为y/4是截距,现在要使x1、x2都满足约束条件,又要使y有最大值,可先画出x2=-3/2x1+0线;
(5)最后将此线向右上方平行移动,直至既使x1、x2满足约束条件,又使y/4最大之处,这时即可求出y的最大值。
因为x2=-3/2x1+y/4过A点,即直线x2=-x1+8和x2=-2x1+10的交点,所以可通过求两直线的交点坐标,然后求得y值。
解得:
x1=2,x2=6,y=36
即:
应为2,乙的年产量应为6,可得到最大产值为36。