三角函数的计算.docx

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三角函数的计算

3　三角函数的计算

1.经历用计算器由已知锐角求三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程,进一步体会三角函数的意义.

2.能够运用计算器进行有关三角函数的计算.

3.能够运用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.

1.借助计算器,解决含三角函数的实际问题,提高用现代工具解决实际问题的能力.

2.发现实际问题中的边角关系,提高学生有条理地思考和表达的能力.

1.通过积极参与数学活动,体会解决问题后的快乐.

2.感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值.

【重点】

1.用计算器由已知锐角求三角函数值.

2.能够用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.

【难点】　用计算器辅助解决含三角函数计算的实际问题.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】

1.科学计算器.

2.复习三角函数的计算方法.

导入一:

同学们小的时候都玩过跷跷板吧?

如图所示,跷跷板AB的一端B碰到地面时,AB与地面的夹角为15°,且OA=OB=3m.你能求出此时另一端A离地面的高度吗?

【问题】　要求A离地面的高度,实际上就是求直角三角形的直角边,所以只要求出sinB的值即可,但是15°不是特殊角怎么办呢?

可以使用计算器进行解决.

[设计意图]　用多媒体演示学生熟悉的现实生活中的问题,进而引出非特殊角的三角函数值,自然地引出本节课的课题.

导入二:

如图所示,已知一商场自动扶梯的长l为13m,高度h为5m,自动扶梯与地面所成的夹角为θ,你能求出夹角θ的度数吗?

【教师活动】　要求学生注意观察夹角θ,l,h三者之间的关系,确定夹角θ的三角函数.

【学生活动】　通过观察发现sinθ==,由于不是特殊角的三角函数值,尝试使用科学计算器求夹角θ的方法.

[设计意图]　通过对非特殊角的三角函数值的分析,让学生初步感知非特殊角的三角函数的计算方法——使用科学计算器,在引出课题的同时,又引导学生初步掌握了利用三角函数值求角度的方法.

　　[过渡语]　日常生活中我们经常会遇到含有角度的运算,并且有些角度并非我们上节课所学的30°,45°,60°角等特殊角,对于非特殊角我们如何求出它们的三角函数值呢?

一、用计算器计算非特殊角的三角函数值

课件出示:

如图所示,当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少?

（结果精确到0.01m）

教师引导学生回答:

1.缆车垂直上升的距离是线段　　　　. 

2.本题的已知条件是　　　　,需要求出的条件是　　　　. 

3.这三个量之间的关系是　　　　. 

学生思考并反馈:

1.缆车垂直上升的距离是线段BC.

2.已知条件是∠α=16°,AB=200m,需要求出的是线段BC的长.

3.这三个量之间的关系为sinα=.

根据学生分析,师课件出示解题过程:

解:

在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,

根据正弦的定义,得sin16°==,

∴BC=ABsin16°=200·sin16°.

想一想:

200·sin16°中的“sin16°”是多少呢?

我们需借助于科学计算器求出这个锐角的三角函数值,怎样用科学计算器求三角函数值呢?

用科学计算器求三角函数值时,需要用到sin,cos键和tan键.

【教师活动】　例如,求sin16°,cos72°38'25″,tan85°的按键顺序如下表所示.

（课件演示操作步骤）

【学生活动】　同学们用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°,cos72°38'25″,tan85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.

【教师强调】

1.不同的计算器按键方式可能不同,所以同学们可以利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤,也可以和其他同学互相交流其他计算器计算三角函数值的方法.

2.用计算器求三角函数值时,计算结果一般精确到万分位.

【做一做】　下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.

生得出:

BC=200sin16°≈55.12（m）.

[设计意图]　引导学生利用计算器求三角函数值的具体步骤,并注意在使用计算器求值的过程中出现的问题.

[知识拓展]　用计算器求三角函数值的按键顺序:

第一步:

按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;

第二步:

按下角度;

第三步:

按“=”键得到相应的三角函数值.

二、用计算器计算非特殊角的三角函数值的运用

　　[过渡语]　看来同学们已经能熟练地用计算器计算一个锐角的三角函数值了.下面我们运用计算器辅助解决一个含有三角函数值计算的实际问题.

课件出示:

【议一议】　在本节一开始的问题中,当缆车继续由点B到达点D时,它又走过了200m,缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能算出什么?

【教师活动】　留出时间和空间让学生思考问题如何解决,不要代替学生思考,进而培养学生的思维能力.

【学生活动】　生独立思考后,小组交流,代表发言:

思路一

缆车从A→B→D上升的垂直高度:

在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,

所以缆车上升的垂直高度DE=BDsin42°=200sin42°≈133.83（m）,

所以缆车从A→B→D上升的垂直高度为BC+DE≈55.12+133.83=188.95（m）.

思路二

缆车从A→B→D移动的水平距离:

在Rt△ABC中,∠α=16°,AB=200m,AC=ABcos16°≈192.25（m）.

在Rt△DBE中,∠β=42°,BD=200m,BE=BD·cos42°≈148.63（m）.

所以缆车从A→B→D水平移动的距离为AC+BE≈192.25+148.63=340.88（m）.

[设计意图]　让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中用计算器求锐角三角函数值的过程.

三、利用计算器根据三角函数值求锐角的度数

　　[过渡语]　同学们已经掌握了用计算器计算一个锐角的三角函数值.如果知道了一个角的三角函数值,那么我们如何运用计算器求出这个角度呢?

【想一想】　为了方便行人推自行车过天桥,市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道（如图所示）.这条斜道的倾斜角是多少?

【教师活动】　由已知条件如何求出倾斜角∠A的度数?

【学生活动】　生思考后,展示:

解:

如图所示,在Rt△ABC中,BC=10m,AC=40m,∴sinA===.

【议一议】　我们知道,给定一个锐角的度数,这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个锐角的三角函数值,这个锐角的大小也唯一确定吗?

为什么?

【教师总结】　我们曾学习过两个直角三角形的判定定理——HL定理.在上图中,斜边AC和直角边BC是定值,根据HL定理可知这样的直角三角形形状和大小是唯一确定的,当然∠A的大小也是唯一确定的.

【教师点拨】　和第一部分探究活动一样,如果已知三角函数值我们同样可以利用计算器求角度.

【师生活动】　探究学习用科学计算器根据已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的方法.

已知三角函数值求角度,要用到sin,cos,tan键的第二功能“sin-1,cos-1,tan-1”和2ndf键.

例如,已知sinA,cosB,tanC,求∠A,∠B,∠C的度数的按键顺序如下表所示.

学生根据课本和说明书,自己探究计算器的操作方法:

　　给学生充分交流的时间和空间,及时引导学生根据自己使用的计算器,探索具体操作步骤.

学生按照教师展示的按键顺序,进行练习.

【教师强调】

1.显示结果是以“度”为单位的.再按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.

2.以后在用计算器求角度时如果没有特别说明,计算结果精确到1″即可.

【做一做】　你能求出上图中∠A的大小吗?

【学生展示】　sinA==0.25.按键顺序为:

2ndfsin0·25=,显示结果为sin-10.25=14.47751219,再按°'″键可显示14°28'39.04″,即∠A≈14°28'39″.

[设计意图]　相信学生完全可以通过自学、互助,求出锐角的度数,可由学生讲解调动其主动性,尤其让那些动手能力强的来做这项工作.然后再总结利用计算器由三角函数值求角度的按键顺序,让学生学会及时总结规律,为进一步的学习与应用做好基础.

[知识拓展]　用计算器根据三角函数值求角度的按键顺序:

第一步:

按2ndf键;

第二步:

按相应的三角函数键,即按下“sin,cos或tan”键;

第三步:

按已知的三角函数值;

第四步:

按“=”键得到相应角度;

第五步:

按°'″键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.

1.运用计算器求锐角的三角函数值及根据三角函数值求角度的方法.

2.运用三角函数解决实际问题的方法.

1.四位学生用计算器求sin62°20'的值正确的是（小数点后保留四位）（　　）

A.0.8857B.0.8856

C.0.8852D.0.8851

解析:

根据科学计算器给出的结果进行判断,sin62°20'≈0.8857.故选A.

2.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24m,则旗杆的高度约为（　　）

A.24mB.20m

C.16mD.12m

解析:

如图所示,∵AB⊥BC,BC=24m,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan27°,把BC=24,tan27°≈0.51代入,得AB≈24×0.51≈12（m）.故选D.

3.利用计算器求下列各角（精确到1'）.

（1）sinA=0.75,求∠A;

（2）cosB=0.8889,求∠B;

（3）tanC=45.43,求∠C;

解:

（1）∵sinA=0.75,∴∠A≈48°35'.

（2）∵cosB=0.8889,∴∠B≈27°16'.

（3）∵tanC=45.43,∴∠C≈88°44'.

4.有人说,数学家就是不用爬树或者把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高,如图所示,她测得BC=10m,∠ACB=50°,请你帮助她算出树高AB约为多少米?

（注:

①树垂直于地面;②供选用数据:

sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.2）

解:

在Rt△ABC中,BC=10,∠ACB=50°,

则AB=BC×tan50°≈12,即树高约为12m.

3　三角函数的计算

1.用计算器求锐角的三角函数值

2.用计算器根据三角函数值求锐角的度数

一、教材作业

【必做题】

1.教材第14页随堂练习第1~4题.

2.教材第15页习题1.4第1~3题.

【选做题】

教材第15页习题1.4第4,5,6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.（2015·威海中考）如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=26°,BC=5,若用科学计算器求边AC的长,则下列按键顺序正确的是（　　）

2.用计算器求sin20°+tan54°33'的结果等于（结果精确到0.01）（　　）

A.2.25B.1.55

C.1.73D.1.75

3.（2014·陕西中考）用科学计算器计算:

+3tan56°≈　　　　.（结果精确到0.01） 

4.如图所示,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8m的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是　　　　m（结果保留整数）.（参考数据:

sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483） 

【能力提升】

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AC=3∶4,运用计算器计算,则∠A的度数是（精确到1°）（　　）

A.30°B.37°C.38°D.39°

6.（2015·南昌中考）如下左图所示的是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如下右图所示的几何图形,已知BC=BD=15cm,∠CBD=40°,则点B到CD的距离为

cm.（参考数据:

sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,结果精确到0.1cm,可用科学计算器）

7.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）:

（1）sin47°;

（2）cos25°18';

（3）tan44°59'59″.

8.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=9,∠A=48°.求:

（1）AB边上的高;（精确到0.01）

（2）∠B的度数.（精确到1'）

9.如图所示,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:

AB=80.0m,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5°.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道AB上的位置（以A,B为参照点,结果精确到0.1m）.（参考数据:

sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tan38.5°≈0.80,sin26.5°≈0.45,cos26.5°≈0.89,tan26.5°≈0.50）

【答案与解析】

1.D（解析:

由tanB=,得AC=BC·tanB=5×tan26°.故选D.）

2.D（解析:

sin20°+tan54°33'≈0.3420+1.4045=1.7465≈1.75.故选D.）

3.10.02（解析:

≈5.5678,tan56°≈1.4826,则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02.故填10.02.）

4.12（解析:

由题意知BC=8,∠C=56°,故AB=BC·tan56°≈8×1.483≈12（m）.故填12.）

5.B（解析:

∵BC∶AC=3∶4,∴设BC=3x,则AC=4x,由勾股定理得AB=5x,∴sinA===0.6,运用科学计算器得∠A≈37°.故选B.）

6.14.1（解析:

如图所示,作BE⊥CD于E,∵BC=BD,∠CBD=40°,∴∠CBE=20°.在Rt△CBE中,cos∠CBE=,∴BE=BC·cos∠CBE≈15×0.940=14.1（cm）.故填14.1.）

7.解:

（1）sin47°≈0.7314.　

（2）cos25°18'≈0.9041.　（3）tan44°59'59″≈1.0000.

8.解:

（1）如图所示,过C作AB边上的垂线CH,垂足为H,∵在Rt△ACH中,sinA=,∴CH=AC·sinA=9sin48°≈6.69.　

（2）∵在Rt△ACH中,cosA=,∴AH=AC·cosA=9cos48°,∴在Rt△BCH中,tanB===≈3.382,∴∠B≈73°32'.

9.解:

设PD=x,∵PD⊥AB,∴∠ADP=∠BDP=90°,在Rt△PAD中,tan∠PAD=,∴AD=≈=x,在Rt△PBD中,tan∠PBD=,∴DB=≈=2x.又∵AB=80.0,∴x+2x=80.0,解得x≈24.6,即PD≈24.6m,∴DB≈2x=49.2（m）.答:

小桥PD的长度约为24.6m,小桥位于AB上距B点约49.2m处.

随堂练习（教材第14页）

1.

（1）0.8290　

（2）0.9367　（3）1.0000　（4）4.7544

2.∠θ≈56°1″

3.山高约242.8m.

4.约为51°19'4″

习题1.4（教材第15页）

1.

（1）0.6249　

（2）0.9097　（3）0.8844　（4）0.8291

2.

（1）1.5087　

（2）-0.2432

3.

（1）71°30'2″　

（2）23°18'35″　（3）38°16'46″　（4）41°53'54″

4.解:

如图所示,在Rt△ADB中,BD=ADtan45°=60×1=60（m）.在Rt△ADC中,DC=ADtan37°≈60×0.7536≈45.22（m）,∴BC=BD+DC≈105.2（m）.答:

大厦的高度约为105.2m.

5.约2°51'58″

6.甲、乙两地间的坡角为5°8'34″.

　（2014·荆门中考）钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图所示,我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航,某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处,这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务,并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC,BC方向航行,其平均速度分别是20nmile/h,18nmile/h,试估算哪艘船先赶到C处.（参考数据:

cos59°≈0.52,cos44°≈0.72）

〔解析〕　过点C作CD⊥AB于点D,如图所示,由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°,设CD的长为anmile,分别在Rt△ACD中和Rt△BCD中,用a表示出AC和BC,然后除以速度即可求得时间,比较即可确定答案.

解:

如图所示,过点C作CD⊥AB于点D,

由题意得∠ACD=59°,∠DCB=44°.

设CD的长为anmile,

∵在Rt△ACD中,cos∠ACD=,

∴AC=≈≈1.92a.

∵在Rt△BCD中,cos∠BCD=,

∴BC=≈≈1.39a.

∵其平均速度分别是20nmile/h,18nmile/h,

∴1.92a÷20=0.096a,1.39a÷18≈0.077a.

∵a>0,∴0.096a>0.077a,

∴乙船先到达C处.