人教版数学高中必修5课件 16.docx

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人教版数学高中必修5课件16

[学习目标]　1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．

知识点一　等比数列的前n项和的变式

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝＝＝－；

当q＝1时，Sn＝na1.

2．当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）．

思考　在数列{an}中，an＋1＝can（c为非零常数）且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k等于________．

答案　－

解析　由题{an}是等比数列，

∴3n的系数与常数项互为相反数，

而3n的系数为，

∴k＝－.

知识点二　等比数列前n项和的性质

1．连续m项的和（如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m）仍构成等比数列．（注意：

q≠－1或m为奇数）

2．Sm＋n＝Sm＋qmSn（q为数列{an}的公比）．

3．若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.

思考　在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于（　　）

A．140B．120

C．210D．520

答案　A

解析　S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，

∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.

题型一　等比数列前n项和的性质

例1　

（1）等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝______.

（2）等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且（a1＋a3＋…＋a2n－1）－（a2＋a4＋…＋a2n）＝80，则公比q＝____.

答案　

（1）28　

（2）2

解析　

（1）∵数列{an}是等比数列，

∴S2，S4－S2，S6－S4也是等比数列，

即7，S4－7,91－S4也是等比数列，

∴（S4－7）2＝7（91－S4），

解得S4＝28或S4＝－21.

又∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2

＝（a1＋a2）（1＋q2）＝S2·（1＋q2）＞0，

∴S4＝28.

（2）由题S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，

∴S奇＝－80，S偶＝－160，

∴q＝＝2.

反思与感悟　解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地．

跟踪训练1　

（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于（　　）

A．2B.

C.D．3

答案　B　

解析　方法一　因为数列{an}是等比数列，所以S6＝S3＋q3S3，S9＝S6＋q6S3＝S3＋q3S3＋q6S3，于是＝＝3，

即1＋q3＝3，所以q3＝2.

于是＝＝＝.

方法二　由＝3，得S6＝3S3.

因为数列{an}是等比数列，且由题意知q≠－1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，所以（S6－S3）2＝S3（S9－S6），解得S9＝7S3，所以＝.

（2）一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．

解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知

S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．

∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.

又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，即a1＝12.

故所求通项公式为an＝12·n－1.

题型二　等比数列前n项和的实际应用

例2　小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：

购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．

解　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：

A2＝5000×（1＋0.008）2－x＝5000×1.0082－x，

A4＝A2（1＋0.008）2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，

…

A12＝5000×1.00812－（1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1）x＝0，

解得x＝

＝≈880.8.

故小华每期付款金额约为880.8元．

方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：

A2＝x；

A4＝A2（1＋0.008）2＋x＝x（1＋1.0082）；

A6＝A4（1＋0.008）2＋x＝x（1＋1.0082＋1.0084）；

…

A12＝x（1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810）．

∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，

即5000×1.00812＝x（1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810），

∴x＝≈880.8.

故小华每期付款金额约为880.8元．

反思与感悟　分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：

每期付款数相同，且每期间距相同．解决这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解．

跟踪训练2　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式．

解　第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元，

所以总投入an＝800＋800×＋…＋800×

n－1＝4000×（万元）．

同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×n－1万元．

所以总收入bn＝400＋400×＋…＋400×

n－1＝1600×.

综上，an＝4000×，bn＝1600×.

题型三　新情境问题

例3　定义：

若数列{An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点（an，an＋1）在函数f（x）＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数．

（1）证明：

数列{2an＋1}是“平方数列”，且数列{lg（2an＋1）}为等比数列；

（2）设

（1）中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn＝（2a1＋1）（2a2＋1）·…·（2an＋1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；

（3）对于

（2）中的Tn，记bn＝log2an＋1Tn，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞4024的n的最小值．

（1）证明　由条件得an＋1＝2a＋2an，

2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝（2an＋1）2.

∴数列{2an＋1}是“平方数列”．

∵lg（2an＋1＋1）＝lg（2an＋1）2＝2lg（2an＋1），

且lg（2a1＋1）＝lg5≠0，

∴＝2，

∴{lg（2an＋1）}是首项为lg5，公比为2的等比数列．

（2）解　∵lg（2a1＋1）＝lg5，∴lg（2an＋1）＝2n－1lg5.

∴2an＋1＝

，∴an＝（

－1）．

∵lgTn＝lg（2a1＋1）＋lg（2a2＋1）＋…＋lg（2an＋1）

＝

＝（2n－1）lg5，

∴Tn＝

－1.

（3）解　∵bn＝log

Tn＝＝

＝＝2－n－1，

∴Sn＝2n－

＝2n－

＝2n－2＋2n.

由Sn＞4024，得2n－2＋2n＞4024，

即n＋n＞2013.

当n≤2012时，n＋n＜2013；

当n≥2013时，n＋n＞2013.

∴n的最小值为2013.

反思与感悟　数列创新题的特点及解题关键

特点：

叙述复杂，关系条件较多，难度较大．

解题关键：

读清条件要求，理清关系，逐个分析．

跟踪训练3　把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图

（1））；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图

（2））；如此继续下去，则：

（1）图（3）共挖掉了________个正方形；

（2）第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________．

答案　

（1）73　

（2）　1－n

解析　

（1）8×9＋1＝73.

（2）设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1（n≥2），所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝（n≥2）．当n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝.

原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为

1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n.

1．等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于（　　）

A．2n－1B.

C.D.

答案　B

解析　由a1a2a3＝1得a＝1，

∴a2＝1，

又∵a4＝4，

∴＝4.

∴数列a2，a4，a6，…，a2n是首项为1，

公比为4的等比数列．

∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝.

2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　D

解析　设每天植树棵数为{an}，则{an}是等比数列，

∴an＝2n（n∈N*，n为天数）．

由题意得2＋22＋23＋…＋2n≥100，

∴2n－1≥50，

∴2n≥51，

∴n≥6.

∴需要的最少天数n＝6.

3．等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是（　　）

A．28B．48

C．36D．52

答案　A

解析　易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，

∴S3m－S2m＝16，

∴S3m＝12＋16＝28.

4．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列．求证：

2S3，S6，S12－S6成等比数列．

证明　设等比数列{an}的公比为q，由题意得2a7＝a1＋a4，

即2a1·q6＝a1＋a1·q3，

∴2q6－q3－1＝0.

令q3＝t，则2t2－t－1＝0，

∴t＝－或t＝1，

即q3＝－或q3＝1.

当q3＝1时，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，

∴S＝2S3·（S12－S6），

∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．

当q3＝－时，2S3＝2×＝＝，

S6＝＝，

S12－S6＝＝＝，

∴S＝2S3·（S12－S6），

∴2S3，S6，S12－S6成等比数列．

综上可知，2S3，S6，S12－S6成等比数列．

1．等比数列前n项和的性质．

2．等比数列中用到的数学思想

（1）分类讨论的思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；

②研究等比数列的单调性时应进行讨论：

当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0

（2）函数的思想：

等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn（q>0且q≠1）常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝·（qn－1）（q≠1）．设A＝，则Sn＝A（qn－1）也与指数函数相联系．

（3）整体思想：

应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．

一、选择题

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于（　　）

A．7B．8

C．15D．16

答案　C

解析　由题意得4a2＝4a1＋a3，

∴4（a1q）＝4a1＋a1·q2，

∴q＝2，

∴S4＝＝15.

2．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（　　）

A.B．Sqn－1

C．Sq1－nD.

答案　C

解析　易知数列也是等比数列，首项为1，公比为，则数列的前n项和为＝＝·＝＝S·q1－n.

3．已知等比数列{an}的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q等于（　　）

A.B．1

C．2D．4

答案　C

解析　S3＝1，S6＝9，

∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3（S3）＝q3，

∴q3＝8，∴q＝2.

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1（a是不为零的常数且a≠1），则数列{an}（　　）

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既非等差数列，也非等比数列

答案　B

解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（a－1）·an－1；

当n＝1时，a1＝S1＝a－1，也满足上式．

∴an＝（a－1）·an－1，n∈N*.

∴＝a，为常数．

∴数列{an}一定是等比数列．

5．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn（n∈N*），且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于（　　）

A．1025B．1024

C．10250D．20240

答案　C

解析　∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2（2xn），

∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，

∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，

∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故选C.

6．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为（　　）

A．S1B．S2

C．S3D．S4

答案　C

解析　由题S1正确．

若S4错误，则S2、S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65.

若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.

∴q＝，∴S4＝＝＝65，符合题意．

7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　由8a2＋a5＝0，得8a2＋a2q3＝0，

∵a2≠0，

∴q3＝－8，∴q＝－2，

∵＝q2＝4，

＝＝＝，

＝＝＝，

而D中＝与n有关，故不确定．

二、填空题

8．在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________.

答案　（9n－1）

解析　{an}的首项为2，公比为3，

∴{a}也为等比数列，首项为4，公比为9，

∴{a}的前n项和为＝（9n－1）

9．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.

答案　16

解析　方法一　∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，

∴（S6－S3）2＝S3·（S9－S6）．

又∵S3＝2，S6＝6，∴S9＝14.

再由S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，

即（S9－S6）2＝（S6－S3）·（S12－S9），

求出S12－S9＝16，即a10＋a11＋a12＝16.

方法二　由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2，

公比q′＝＝＝2，得S12－S9＝2×23＝16.

10．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，则公比q＝________.

答案　

解析　由210S30－（210＋1）S20＋S10＝0，

得210（S30－S20）＝S20－S10.

又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，

∴＝q10＝（）10.

又{an}为正项等比数列，∴q＝.

11．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）．若a1＝，an＝f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn＝________.

答案　1－

解析　令x＝n，y＝1，则f（n）·f

（1）＝f（n＋1），

又an＝f（n），∴＝＝f

（1）＝a1＝，

∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，

∴Sn＝＝1－.

三、解答题

12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝2x＋1上，其中n∈N*.

（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；

（2）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci·ci＋1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令cn＝（n∈N*），在

（1）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”．

解　

（1）由题意，当n≥2时，有，

两式相减，得an＋1－an＝2an，

即an＋1＝3an（n≥2），

所以，当n≥2时{an}是等比数列，

要使n≥1时{an}是等比数列，

则只需＝＝3，从而得出t＝1.

（2）由

（1）得，等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝3，∴an＝3n－1，

∴cn＝＝＝1－，

∵c1＝1－＝－3，c2＝1－＝，

∴c1c2＝－1＜0，

∵cn＋1－cn＝－

＝＞0，

∴数列{cn}递增．

由c2＝＞0得，当n≥2时，cn＞0.

∴数列{cn}的“积异号数”为1.

13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：

该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m（m＞0）万吨．

（1）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列{an}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；

（2）证明：

数列{an－10m}是等比数列；

（3）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．

（1）解　由已知得，

a1＝40×0.9＋m，

an＋1＝0.9an＋m（n≥1）．

（2）证明　由

（1）得：

an＋1－10m＝0.9an－9m＝0.9（an－10m），

所以数列{an－10m}是以a1－10m＝36－9m为首项，0.9为公比的等比数列．

（3）解　由

（2）得an－10m＝（36－9m）·0.9n－1，

即an＝（36－9m）·0.9n－1＋10m.

由（36－9m）·0.9n－1＋10m≤55，得

m≤＝＝＋4

恒成立（n∈N*），

解得m≤5.5，

又m＞0，

综上可得m∈（0,5.5]．