分式方程及分式化简.docx
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分式方程及分式化简
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分式方程及分式化简
【知识精读】
1.解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程。
2.解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：
把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】
例1.
x
2
解方程：
1
1
x
x1
分析：
首先要确定各分式分母的最简公分母，
在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，
解
完后记着要验根
解：
方程两边都乘以
（x
1）（x1），得
x2
2（x1）
（x1）（x1），
即x2
2x
x2
1
2，
x
3
2
经检验：
x
3是原方程的根。
2
x
1
x
6
x
2
x
5
例2.解方程
2
x
7
x
3
x
6
x
分析：
直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
（x
6）与（x
7）、
（x
2）与（x
3）的值相差
1，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差
1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，
利用分
式的等值性质求值。
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x
6
x
5
x
2
x
1
解：
原方程变形为：
7
x
6
x
3
x
2
x
方程两边通分，得
1
1
（x6）（x
7）（x
2）（x
3）
所以（x6）（x7）（x2）（x3）
即8x
36
9
x
2
经检验：
原方程的根是
x
9。
2
例3.
解方程：
12x
10
32x
34
24x
23
16x
19
4x
3
8x
9
8x
7
4x
5
分析：
方程中的每个分式都相当于一个假分数，
因此，可化为一个整数与一个简单的分
数式之和。
解：
由原方程得：
3
1
4
2
3
2
1
4x
3
9
8x7
4
8x
4x5
2
2
2
2
即
9
8x
6
8x
10
8x
7
8x
于是
1
1
，
9）（8x
6）
（8x
10）（8x
（8x
7）
所以（8x
9）（8x
6）
（8x
10）（8x
7）
解得：
1
x
经检验：
x1是原方程的根。
6y
12
y2
4
y2
0
例4.解方程：
4y4y2
4y4y2
y
4
分析：
此题若用一般解法，则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与
分母有相同的因式，于是可先约分。
解：
原方程变形为：
6（y
2）
（y
2）（y2）
y2
（y
2）2
（y2）2
0
（y2）（y2）
6
y
2
y2
0
约分，得
y
2
（y
2）（y
y2
2）
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方程两边都乘以（y2）（y2），得
6（y2）（y2）2y20
整理，得2y16
y8
经检验：
y8是原方程的根。
注：
分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解：
例1．若解分式方程
2x
m
1
x1产生增根，则
m的值是（
）
x
1
x
x
x
A.1或2
B.
1或2
C.1或2
D.
1或
2
分析：
分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是：
x0或x1，化简原方程为：
2x2（m1）（x1）2，把x0或x1代入解得
m1或2，故选择D。
例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲
班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
分析：
利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：
设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
6066
由题意得：
xx2
60x12066x
x20
经检验：
x20是原方程的根
x222
答：
甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：
在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
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例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析：
在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，
取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：
设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
8042
7
xyxy
由题意，得
4070
7
xyxy
x17
解得：
y3
经检验：
x17是原方程的根
y3
答：
水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。
例2.m为何值时，关于
x的方程
2
mx
3
会产生增根？
x
2
x
4
x
2
解：
方程两边都乘以x2
4
，得2x
4
mx
3x
6
整理，得（m
1）x
10
10
当m1时，x
1
m
2
4
0
，即
2
或
x
2
如果方程产生增根，么那
x
x
（1）若x
2，则
10
2
m
4
m
1
（2）若x
2，则
10
2m6
m
1
（
3
）综上所述，当
4
或
6
时，原方程产生增根
m
说明：
分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（
v千米/小时的速度步行，走了
）
a小时后
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S
S
av
S
av
2S
A.
b
B.
C.
b
D.
b
a
b
a
a
2.如果关于x的方程
2
m
有增根，则
的值等于（
）
x
1
x
3
m
3
A.3
B.2
C.
1
D.3
3.解方程：
1
1
1
1
⋯
1
x10
（x1）（x2）
（x2）（x3）
2
（x
9）（x10）
（2）
x
x
2x
4x
0
1x
1x
1x2
1x4
2x912
4.求x为何值时，代数式的值等于2？
x3x3x
5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做
1天后，再由两队合作
2天就完
成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的
2，求甲、
3
乙两队单独完成各需多少天？
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分式化简
已知x
y
z，则
x2
y2
z2
___________．
xy
yz
zx
2
3
4
【巩固】已知
3
4
5
，则
x2
y2
z2
x
y
y
z
z
x
xy
=__________.
yzzx
【巩固】若a
b
c
d，求a
b
c
d的值.
b
c
d
a
a
b
c
d
【例1】已知（b
c）2
（c
a）2
（a
b）2
（b
c
2a）2
（c
a
2b）2
（a
b
2c）2，
求分式（bc
1）（ca1）（ab
1）的值.
（a2
1）（b2
1）（c2
1）
【例2】设x
y
z
u
1
，
2x
y
:
1
2y
z
:
2
2z
u:
3
（2u
x）:
4
，
则
7x
3y
3z
u
___________．
【例3】若x
y
z
xyz
x
y
z，求（x
y）（y
z）（z
x）的值.
z
y
x
xyz
【巩固】已知
x
y
z
u
．求xy
y
z
z
u
u
x
的值．
yzuzuxuxyxyz
zuuxxyyz
【例4】已知p
q
r
9，且
p
q
r
，则
yz
y2
zx
z2
x2
xy
px
qy
rz的值等于（
）A.9
B.10
C.8
D.
x
y
z
7
2
2
2
2
2
2
，求证：
a
ab.
【例5】已知x
yz
y
zx
z
xy
0（xyz
0）
x
bc
b
cac
a
b
c
y
z
【例6】已知xy
2
yz
2
zx
2
xy2z
2
yz2x
2
zx2y
2
，
求
xy
1
yz
1
zx
1
的值。
x2
1
y2
1
z2
1
【例7】已知x
x
0，求x1
2x
2
4
2
1
的值.
2
x
2
x
2x
1
x
1
【例8】已知，ab
1，a
b
2，则b
a＝_______.
a
b
【巩固】已知x
y
1
xy
1，求代数式2x
2y
（x
y）2的值.
2
3xy
【例9】已知
2a
b
1
0
，求代数式（a2
b2）（
a
b
1）
（ab）的值．
a
【巩固】已知a2
2a
4，求
1
1
1
1
a2
a
1
的值．
a
a2
2a
1
【例10】已知a
b
3，求代数式2（a
b）
4（a
b）的值
a
b
a
b
3（a
b）
【例11】已知：
x2
3x
8
0，求代数式
x
1
x2
4x
4x
1的值．
2
x
1
x
2
【例12】已知：
xy
12，x
y
4，求x
1
y
1的值.
y
1
x
1
【巩固】已知2x
y
10xy，求代数式4x
xy
2y的值.
2x
4xy
y
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【例13】已知：
1
1
x
1
，求y
x的值.
x
y
y
x
y
【巩固】设1
1
1，求2y
3xy
2x
x
y
4
y
x
2xy
【例14】设1
1
3
，求3y
2xy
3x的值
x
y
x
7xy
y
【巩固】如果2x
3y
5，求
4x2
10xy
6y2
的值.
y
x
2x2
3y2
【例15】已知1
1
1，求5m
7mn
5n的值.
m
n
2n
3mn
2m
【例16】已知a，b，c为实数，且
ab
1，bc
1，
ca1，求
abc
.
ab3bc4
ca5
abbcca
【例17】已知x
1
3
，则代数式
2
1
的值为_________．
x
x
2
x
【巩固】已知：
x
1
7，求x2
12
的值.
x
x
【巩固】已知：
2
1
3，求a
1
a
2
的值.
a
a
【巩固】设x
1
5，求x
1的值.
【巩固】若1
x
1，求1
x
a
a的值.
a
a
x2
【例18】若x
1
2，求
的值.
x
x2
1
x4
1
x3
1
7
【巩固】若x
3，则
x3
=___________
x
4
1
x
3
x4
升级会员 