常见题型
一､求不等式（组）的解集
1．不等式2（x+1）-
的解集为_____________。
2．同时满足不等式7x+4≥5x–8和
的整解为______________。
3．如果不等式
的解集为x>5，则m值为___________。
二求参数
1．求满足下列条件的最小的正确整数，n：
对于n，存在正整数k，使
成立。
2．若不等式组
的整数解只有x=-2，求实数k的取值范围
三证明题
1.已知a,b,c是三角形的三边，求证：
四应用题,即运用不等式（组）解实际问题.
1一山区学校为部分住得较远的学生安排住宿,将部分教室改造成若干间住房.如果每间住5人,那么有12人安排不下;如果每间住8人,那么有1间还余一些床位.则该校有几间学生住房,住宿的学生有多少人?
第二讲分解因式
知识点一分解因式含义
因式分解（分解因式）把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
知识点二注意事项及方法
1）三原则
1分解要彻底
2最后结果只有小括号
3最后结果中多项式首项系数为正（例如：
-3x^2+x=x（-3x+1））
2）方法：
1、提公因式法。
2、公式法。
3、分组分解法。
4、十字相乘法。
5、双十字相乘法。
6、配方法。
7、拆项法。
8、待定系数法。
9、特殊值法。
知识点三常用方法
1）提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数（最大公因数）
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“一”号时，多项式的各项都要变号。
2）公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式:
（a+b）（a-b）=a^2-b^2反过来为a^2-b^2=（a+b）（a-b）
完全平方公式：
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2反过来为a^2+2ab+b^2=（a+b）^2
（a-b）^2=a^2-2ab+b^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2
注意：
能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
两根式：
ax^2+bx+c=a（x-（-b+√（b^2-4ac））/2a）（x-（-b-√（b^2-4ac））/2a）
立方和公式：
a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）；
立方差公式：
a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）；
完全立方公式：
a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=（a±b）^3
知识点四分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：
分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同
题型
一定义类
1下列变形，是因式分解的是-----------------------------------------------------------（）
A
B
C
D
）下列各式中，不含因式
的是-----------------------------------------------------（）
A
B
C
D
1、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）。
A．a（a－b）＝a2－ab
B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1
C．x2－x＝x（x－1）
D．x2－
＝（x＋
）（x－
）
二求值
1已知
，则
的值是-------------------
已知
，则
的值是--（）
A0B
C3D9
2、已知x+y=1，求
的值
三计算
因式分解
1）
2）
3）
四应用
1、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：
如对于多项式x4–y4，因式分解的结果是（x–y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是（x–y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码对于多项式4x3–xy2，取x=10，y=10时，上述方法产生的密码可以是．
第三讲分式
知识点一分式含义
形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式（fraction）。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
注:
分式的概念包括3个方面：
①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
1.约分：
把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。
分式的约分步骤:
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.
（2）分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.
2.通分：
异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。
通分的关键是确定最简分母,其方法如下:
最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.
知识点二分式的四则运算
1.同分母分式加减法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
用字母表示为：
a/c±b/c=a±b/c
2.异分母分式加减法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
用字母表示为：
a/b±c/d=ad±cb/bd
3.分式的乘法法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.
用字母表示为：
a/b*c/d=ac/bd
4.分式的除法法则:
（1）.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.a/b÷c/d=ad/bc
（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:
a/b÷c/d=a/b*d/c
知识点三分式方程
1.解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
②解这个整式方程;
③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.
2.列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意;
②设未知数;
③根据题意找相等关系,列出（分式）方程;
④解方程,并验根;
⑤写出答案.
题型
一求值
1、当1/x-1/y=5时，求分式（3x+5xy-3y）÷（x-3xy-y）的值。
2、已知a+b+c=0,求a（1/b+1/c）+b（1/c+1/a）+c（1/a+1/b）的值。
3若使分式
没有意义，则
的值为_____________________；
4若
，则
的值等于______________________．
二计算
（1）
；
（2）
；
三解因式方程：
1）（x-8）/（x-3）-（x-9）/（x-4）=（x+7）/（x+8）-（x+2）/（x+3）
2）当a为何值时，关于x的方程x/（x-3）=2+a/（x-3）会产生增根？
3）方程（x-3）/（x-1）=m/（x-1）有增根，则增根为_____，m的值为______
四实际应用
1）华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预计能畅销，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元。
商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按8折销售，很快售完，问这笔生意商厦赢利多少元？
2）小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独作4周后，剩下的由乙公司来作，还需9周才能完成，需工钱4.8万元。
若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司还是乙公司？
请你说明理由。
第四讲相似图形
知识点一线段的比
1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:
CD=m:
n,或写成.
2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
3.注意点:
①a:
b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:
b≠b:
a,与互为倒数;
⑤比例的基本性质:
若,则ad=bc;若ad=bc,则
知识点二黄金分割
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
1、人的体温37度，室温25度是人们感受最舒适的温度，而25÷37＝0.676很接近0.618。
2、电脑显示器长与宽比值约为1.6。
（1/0.618=1.618）
3、理想体重计算很接近身高×（1－0.618）。
4、普通人一天上班8小时，8×0.618＝4.944，上班第5个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候。
若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形
知识点三相似三角形
含义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。
注意:
两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,
那么这两个三角形相似
判定定理2如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,
那么这两个三角形相似
判定定理3如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似
相似三角（多边）形的性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内，外切圆直径比和周长比都和相似比相同，内，外切圆面积比是相似比的平方
知识点四图形的放大与缩小
1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.
2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
题型
一定义
1.如图，
是
斜边上的高，则图中相似三角形的对数有
A．
对B．
对C．
对D．
对
二性质定理应用
1.如图，在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1m和
6m，小华的身高约为1.6m，则旗杆的高约为m．
2.如图，已知
，
，
，
，则
3.如图所示，在四边形
中，
，如果要使
，那么还要补充的一个条件是（只要求写出一个条件即可）．
三证明题
1.如图，梯形
中，
，
与
相交于
点，过点
作
交
的延长线于点
．
求证：
．（8分）
2.如图10，点
是
外的一点，分别在射线
上取一点
，使得
，连结
，所得
与
是否相似？
证明你的结论．（10分）
四实际应用
1数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为
米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在
地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为
米，落在地面上的影长为
米，则树高为多少米．
第五章数据的收集与处理
一.每周干家务活的时间
1.所要考察的对象的全体叫做总体;
把组成总体的每一个考察对象叫做个体;
从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
2.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查;
为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查.
二.数据的收集
1.抽样调查的特点:
调查的范围小、节省时间和人力物力优点.但不如普查得到的调查结果精确,它得到的只是估计值.
而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.
题型
一定义类
1．为了了解某校初三年级400名学生的体重情况,从中抽查了50名学生的体重进行统计分析,在这个问题中,总体是指（）
A.400名学生B.被抽取的50名学生
C.400名学生的体重D.被抽取的50名学生的体重
2．下列几项调查，适合作普查的是（）
A．调查全省食品市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
B．调查某城市某天的空气质量
C．调查你所在班级全体学生的身高
D．调查全省初中生每人每周的零花钱数
二图表类
1为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级
（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图。
如下所示：
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第组；
2．2007年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．
①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元）
4.8
6
7.2
9
10
被调查的消费者人数（人）
200
500
200
70
30
②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分．
注：
每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题．
（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是______万元．
（2）请在图中补全这个频数分布直方图．
（3）打算购买价格
万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是______．
第六章证明
（一）
知识点一.定义与命题
1.一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.
2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.
正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.
3.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
4.有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
5.根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
知识点二平行定理
1.平行判定公理:
同位角相等,两直线平行.（并由此得到平行的判定定理）
2.平行判定定理:
同旁内互补,两直线平行.
3.平行判定定理:
同错角相等,两直线平行.
四.两条直线平行性质
1.两条直线平行的性质公理:
两直线平行,同位角相等;
2.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,内错角相等;
3.两条直线平行的性质定理:
两直线平行,同旁内角互补.
五.三角形和定理的证明
1.三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
2.一个三角形中至多只有一个直角
3.一个三角形中至多只有一个钝角
4.一个三角形中至少有两个锐角
六.关注三角形的外角
1.三角形内角和定理的两个推论:
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
题型
一定义类
1．下列语句中，是命题的是（）
A、两点确定一条直线吗？
B、在线段AB上任取一点
C、作∠A的平分线AMD、两个锐角的和大于直角
2．下列命题中，假命题是（）
A、垂直于同一条直线的两直线平行B、已知直线a、b、c，若a⊥b,a∥c,则b⊥c,
C、同位角相等，两直线平行D、一个角的补角大于这个角
3.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.
二性质
1.已知，如图
AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=__________.
2.如图，△A
BC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于（）
A.63°B.62°
C.55°
D.118°
三证明类
1.已知，如图6－82，AD⊥BC，EF⊥BC，∠
4=∠C.求证：
∠1=∠2.
2已知,如图：
AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,求证：
∠1＝∠2.
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