线性代数重要知识点及典型例题答案.docx
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线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结
二三阶行列式
N阶行列式：
行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
与L=
hj对r
（奇偶）排列、逆序数、对换
行列式的性质：
①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=Dt）
2行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：
若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
3
（列）
（列）
（列）
（列）
成比例，则行列式值为零；
元素全为零，行列式为零。
可加性
的k倍加到另一行（列）上，值不变
常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：
若行列式中两行推论：
行列式中某一行
4行列式具有分行
5将行列式某一行
行列式依行（列）展开：
余子式」吃厂代数余子式=（一1）*4^
行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：
D,
非齐次线性方程组：
当系数行列式眼0时，有唯一解：
Xj=£（j=l、2......n）
齐次线性方程组：
当系数行列式。
=1#0时，则只有零解
逆否：
若方程组存在非零解，则D等于零
③反对称行列式:
气=一（％
奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式：
。
”g
%°
方法：
用4＜加把，⑶化为零，。
。
化为三角形行列式
特殊行列式:
《2《3
«21㈤
①转置行列式：
«21
。
22a23
。
22“32
㈤
Cl32“33
03
«23%3
②对称行列式:
与=财
⑤上（下）三角形行列式:
行列式运算常用方法（主要）
行列式定义法（二三阶或零元素多的）
化零法（比例）
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
矩阵的概念：
（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）
矩阵的运算：
加法（同型矩阵）交换、结合律
数乘kA=（k（%）g分配、结合律
I
A*B=（《*）*』*（bkJ扁=（工）心
乘法V注意什么时候有意义
一般AB产BA,不满足消去律：
由AB=O,不能得A=0或B=0
转置（Ar）r=A（A+B）『=A1'+B1
（M）r=kAT（AB）t=B*（反序定理）
方彩AklAkz=Ak^kl
（必产=as
几种特殊的矩阵：
对角年阵：
若AB都是N阶对角阵，k是数，贝」kA、A+B、A3都是n阶对角阵
数量矩阵：
相当于一个数（若……）
单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）
对称矩阵
反对称矩阵
阶梯型矩阵：
每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方
智是。
分块矩阵：
加法，数乘，乘法：
类似，转置：
每块转置并且每个子块也要转置
注：
把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵：
设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，
A~l=B（非奇异矩阵、奇异矩阵IAI=O、伴随矩阵）
初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K
仰加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆
初等矩阵：
单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）
（IO\
等价标准形矩阵Dr=r
O
矩阵的秩r（A）：
满秩矩阵降秩矩阵若A可逆.则满秩
若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩
求法：
1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别：
都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等,就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵（#%.）〃=灯与九，行列式
逆矩阵注：
①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B—定互逆:
③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律:
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且（kAyl=-A"[
K
3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且（疽尸=以->,
4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且048）-|=8-顷1
但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但（A+B）尹A-+BT
A为N阶方阵，若IAI=O,则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆，则A-'
=14*
伴随矩阵：
A为N阶方阵，伴随矩阵：
A=
*MilA2
1人21^22
（代数余子式）
特殊矩阵的逆矩阵：
（对1和2,前提是每个矩阵都可逆）
1、分块矩阵。
=
2、准对角矩阵A=
3、AA：
=AyA=\A\l
4、A*=|A|A-i（A可逆）
5^A=|/1|
6、
7、"=（刃
8、（AB）•顼A*
判断矩阵是否可逆：
充要条件是|川。
0,此时求逆矩阵的方法:
定义法AA—'=/
A
伴随矩阵法
初等变换法（A\In）=（/„IA-1）只能是行变换
初等矩阵与矩阵乘法的关系：
设A=（s）g是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等
于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：
对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘.列变右乘）
消元法非齐次线性方程组：
增广矩阵简化阶梯型矩阵
r（AB）=r（B）=r当r=n时，有唯一解：
当r^n时，有无穷多解
r（AB）”（B）,无解
齐次线性方程组：
仅有零解充要r（A）=n有非零解充要r（A）＜n当齐次线性方程组方程个数〈未知量个数，一定有非零解.当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要IAI=O齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个
N维向量：
由n个实数组成的n元有序数组。
希腊字母表示（加法数乘）
特殊的向量：
行（列）向量，零向量。
，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系：
线性组合或线性表示
句量组间的线性相关（无）：
定义犬79
向量组的秩：
极大无关组（定义P188）
定理：
如果％,%、,....％是向量组％，%，••…％的线性无关的部分组，则它是JlJJk
极大无关组的充要条件是：
..…％中的每一个向量都可由a.a.....a线性表出。
■二，JlJlJr
秩:
极大无关组中所含的向量个数。
定理：
设A为m*n矩阵，则r（A）=r的充要条件是：
A的列（行）秩为r°
现性方程组解的结构：
齐次非齐次、基础解系
线性组合或线性表示注：
两个向量a&,若a=kp则a是。
线性组合
单位向量组
任意向量都是单位向量组的线性组合
零向量是任意向量组的线性组合
任意向量组中的一个都是他本身的线性组合
向量组间的线性相关（无）注：
»个n维单位向量组-定是线性无关
一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关含有零向量的向量组一定是线性相关若两个向量成比例，则他们一定线性相关
向量B可由a，%,..%线性表示的充要条件是rCa/a,7..//,,7）=pl）判断是否为线性相关的方法•.
1、定义法:
设腮…》,求k】k,…、（适合维数低的）
2、向量间关系法^83：
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
3、分量法（n个m维向量组）匕妒线性相关（充要）
线性无关（充要）=＞尸（。
］「。
2「-0』）=〃
推论①当m=n时，相关,则|妒％浏=0；无关，则|%%2‘％'卜0
②当mvn时，线性相关
推广：
若向量组线性无关，则当S为奇数时，向量组％+%，…％+0
也线性无关：
当S为偶数时，向量组也线性相关。
定理：
如果向量组％,%,...%,”线性相关，则向量夕可由向量组线性表出，且
表示法唯一的充分必要条件是名,。
2,…％线性无关。
极大无关组注：
向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的：
不全为零的向量组的极大无关组一定存在；
无关的向量组的极大无关组是其本身：
向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组（I）解的结构：
解为％
（I）的两个解的和％+务仍是它的解：
（I）解的任意倍数还是它的解：
（I）解的线性组合C]%+C2%+....+G。
，也是它的解，cpc2,...c5是任意常数。
非齐次线性方程组（II）解的结构：
解为3"...
（II）的两个解的差外仍是它的解：
若/.I是非齐次线性方程组AX=B的一个解,v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。
定理：
如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩r（A）=r
且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。
若〃是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。
向量的积实向量
定义:
（a,P）=a伊=aybx+a2b2+....+anbn
性质
非负性、对称性、线性性
（a,k0）=k（a.B）;
（ka.kB）=妃（a,B）;
（a+化5>（a,/）+（a,J）+（p,/）+（"）;
交化立（《M）a,/3,yER”,
r=lJ=1<=1
向量的长度回=J（Q,Q）
|可=0的充要条件是a=0；a是单位向量的充要条件是（a,a）=1
单位化
向量的夹角
正交向量：
aB是正交向量的充要条件是（a,p）=0
正交的向量组必定线性无关
正交矩阵：
n阶矩阵A
AA1=ArA=I
性质:
1、若A为正交矩阵，则A可逆，且At=A「，且A-'也是正交矩阵;
2、若A为正交矩阵，则|A|=±1：
3、若A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；
4、n阶矩阵A=（%）是正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组是标准正交向量：
特征值、特征向量
A是N阶方阵，若数人使AX=2X,即（AI-A）=0有非零解，则称人为A的一个特征何，此时，非零解称为A的属于特征值/I的特征向量。
IA%*&*...&
注：
1、AX=AX
2、求特征值、特征向量的方法
|/l/-A|=O求&将人代入（/H-A）X=0求出所有非零解
3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的）
/\
q
特殊：
以/）”的特征向量为任意N阶非零向量或七（q不全为零）
4、特征值：
若2（20）是A的特征值
则AT
则/T
则kAU
若A2=A则
4=0或1
若命=1则2=-1或1
若A*=O则2=0
迹tr（A）：
迹（A）=an+a22++ann
性质：
I、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的
2、A与A-有相同的特征值
3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关
4、5、P281
相似矩阵
定义P283：
A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P,满足P~XAP=B,则矩阵A与B
相似,记作A~B
性质1、自身性：
A~A,P=I
2、对称性：
若A〜B则B~AP~'AP=BA=PBK1{P~xyxBP~}=A
3、传递性：
若A~B、B~C则A~CP^AP^BP~lBP2=C-
-一（？
9■项（E%=c
4、若AB,则A与B同（不）可逆
5、若4~8,则P'AP=B两边同取逆，P~lA~1P=B~l
（特征值相同的矩阵不一定相似）
7、若人~8,则r（A）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩
例子：
P~{AP=B则Ai°°=p盲°°pT
P-{AP=OA=0
P~{AP=IA=I
P~[AP=AIA=/IZ
矩阵对角化
定理:
N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量
注：
1、P与人中的凡与九顺序一致
2、A",则人与P不是唯一的
推论：
若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A〜八（P281）
定理：
n阶方阵A"的充要条件是对于每一个虬.重特征根人，都有
V-A）=n-
注：
三角形矩阵、数量矩阵刀的特征值为主对角线。
约当形矩阵
21
约当块：
形如•/=,,的n阶矩阵称为n阶约当块;
21
约当形矩阵：
由若干个约当块组成的对角分块矩阵/=j2（J,是约当块）
、%
称为约当形矩阵。
定理：
任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵P~'AP=J.
二次型与对称矩阵
只含有二次项的n元多项式f（）称为一个n元二次型，简称二次型。
标准型：
形如的二次型，称为标准型。
规型：
形如的二次型，称为规型。
线性变换
矩阵的合同：
设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C,使得则称A与B是合同的，记作AB。
合同的性质：
反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型：
配方法、做变换（二次型中不含有平方项）
第一章行列式
一.行列式的定义和性质
1.余子式•和代数余子式九的定义
0
例1行列式;
一1
1
0
-1
1
-1
1
0
-1
1
?
第二行第一列元素的代数余子式（1
A.-2B・-1
C.1D.2
测试点余子式和代数余子式的概念
01-11
1-111-11
解析c,,心=（_1严、=——1o1=-0-12=-1
1-101
1-1000-1
-11-10
答案B
2.
行列式按一行或一列展开的公式
1）
M=S=£%S，=1，2l〃；（|A|=叽=1，2,…〃）
2）
&=
/-I
>1
0
>1
0
k=i
顷
2设某3阶行列式的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1则此行列式的值
测试点行列式按行（列）展开的定理解。
=（_1）・42|+2人22+3总3=（_1）（_1）方“”+2（_1）2-2“翌+3（_1）2+3“23
=一3—4一3=—10
例3已知行列式的第一列的元素为1,4,—3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x问工=.
测试点行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.
解因第一列的元素为1,4,—3,2,第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故lx2+4x3+（—3）x4+2x=0所以x=-l
3.
行列式的性质
1）
2）
用数#乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的#倍.推论
3）
互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论
4）
如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.
5）
行列式可以按任一行（列）拆开.
6）
行列式的某一行（列）的#倍加到另一行（列）
上，所得新行列式与原行列式的值相等.
«12《3
2t/u2t/p2《3
a22a23
=3,那么
“21Cl22Cl23
%%
-2c知-2a32-2。
33
例4已知
B.-12
A.-24
D.12
测试点行列式的性质
2%
2an
2《3
《3
^21
%
。
23
=2x（-2）
«21
%■一
%
-2%i
一2%
一2%
%]
Cl32
"33
解析
=-12.
答案B
例5设行列式
q
Cl
A.—3
B・-1
C.1
D.3
测试点行列式的性质
b}+q
h\+
a2b2+c2
«2b2
%C2
=3
故应选D
答案D
二.行列式的计算
1.二阶行列式和三角形行列式的计算.
2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.
3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式
1114
1131
1211
1111
的值.
测试点
1
4
1
1
1
4
0
2
-3
3
1
—
0
0
2
-3
—
1
0
-3
I
1
0
1
0
-3
0
0
-3
1
1
0
0
0
-3
行列式的计算
I
1
=（—3）
2
1
=6
例7计算3阶行列式
123233
249499
367677
123233
249499
367677
10023
20049
30067
100
200
300
203
409
607
=0.
例8计算行列式:
xaaa
x+3aaaa
x+3aaaa
axaa
x+3axaa
0x-a00
aaxa
x+3aaxa
00x-a0
aaax
x+3aaax
000x-a
测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.
解D=
=（x+3«）（x-tz）3.
例9计算行列式
a
b
0
…0
0
0
a
b
…0
0
0
0
a
…0
0
.
.
.
.
♦•
.
0
0
0
・.•a
b
b
0
0
…0
a
测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算
a
b
0
…0
0
0
a
b
…0
0
0
0
a
…0
0
解2=
.
.
.
••
.
.
•♦•♦
•.
0
0
0
…a
b
b
0
0
…0
a
+bA91[=aMn+b（-l）n^Mlll=an+（-\）n^lbn
0
0…
0
1
0
0...
2
0
例10计算行列式。
6=
.•
.
♦•
••
••
.
.
.
.•
.
0
5…
0
0
6
0…
0
0
00
00
D&=：
•=
05
60
..0
•・2
11000
00200
••0
••0
:
=（—I）'
⑴一⑹
0⑵—⑸
⑶—（4）
0
00...50
00•••06
x3
8
27
64
X%2
24
39
416
问
（1）。
（工）中，尸项的系数=?
（2）方程D（x）=0有几个根？
试写出所有的根。
测试点1.德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行（列）展开的定理.
124
解
（1）y项的系数=A14=（-1）5139=-（3-2）（4-2）（4-3）=-2
1416
⑵因为D（x）=（2-x）（3-x）（4-x）（3一2）（4一2）（4一3）所以方程DM=0有三个根:
X]=2,管=3,与=4.
第二章矩阵
一、矩阵的概念
1.要弄清矩阵与行列式的区别
2.两个矩阵相等的概念
3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）
二、矩阵的运算
1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件
f12）,
c=
J23、
（34）
<456,
例1设矩阵A=（l,2）,B=
则下列矩阵运算中有意义的是（
ABC
B.
A.ACB
C.BAC
D.
CAB
2、
3）
3.
转置对称阵和反对称阵
1）
转置的性质
■11■
B=
'2
2'
-1-1_
.一2
—2.
（A+E）2=A2±2A+E
都不为零，但AB=O.
测试点：
矩阵相乘有意义的充分必要条件
120、
0O'
例2设矩阵A=
210
B=
021
【00h
答案：
B
则A+2B=
"120、
。
00、
r320、
解A+2B=
210
+
042
—
252
（001；
1026；
<027）
测试点：
矩阵运算的定义
则ArB=
例3设矩阵A=［；［B=
测试点：
矩阵运算的定义
=8.
2.矩阵运算的性质
比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律：
乘法关于加法的分配律：
）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.
（（A+B）2=A2+AB+BA+B2;（A+B）（A・B）=42+bA・AB・B2；
（AB）k=ABAB-AB^AkBk;
如果AB=O,可能A丰O、B=O,例如A=
（A±B）r=Ar±B7;（aA）t=AArAABC）T=CTB,A,
2）
若A1'=A{Ar=-A）,则称A为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，贝\\（ABCy（
B.CrBlAl
A.ATBTCr
C.CrArBl
答案：
B
例5设Q=（1,2,3）,P=（1,-1,1）,令A=。
『们试求疽.
测试点矩阵乘法的一个常用技巧
‘1
-1
1））
—
2
-2
2
0
一3
解因、为A=a‘/3
，所以
1
23
-11
-22
一33
A5=a『""""。
=a'）/3
=（/7/）V/7=[（l,-1,1）2]5
1-11
答案322-22
3-33
例6A为任意〃阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）
A.A+B.A—A’
C.A47D.A1A
解析（A+Ar）T=）r=A'+A=A+.故A+Ar为对称阵.
（A一Ar）r=Ar-A=-（A-）.故人一A!
为反对称阵.
（AAr）T=AAr.故44『为对称阵同理A，A也为对称阵.
答案B
1-1例7已知矩阵A=，《为2阶单位矩阵,令8=-3A+2E,求8
23
测试点方阵多项式的概念;
B=A-—3A+2E=
2
02"20
4.
|罚*「;
方阵的行列式的性质
I/F-1
京园M
例7设人为”阶方阵，/I为实数，则\AA\=（
答案：
C
例8矩阵A=
B=
:
；）,则行列式|a7b-'|=
解析|疽叶|疽||叶|A扃=（一2）.吉=：
答案|
5.逆矩阵1）方阵A可逆（也称
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