四边形辅助线常用做法.docx
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四边形辅助线常用做法
四边形常用的辅助线做法
作辅助线的方法
一：
中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：
垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：
边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:
造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：
第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：
“造角、平、相似，和差积商见。
”
五：
面积找底高，多边变三边。
如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
添加辅助线解特殊四边形题
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往
需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.
1
1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.
求证:
OE与AD互相平分.
2．利用两组对边平行构造平行四边形
例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:
ED+FG=AC.
分析:
要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.
3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.
图3图4
二、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：
四边形CDEF是菱形.
2
例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.
图6
说明：
菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：
（1）作菱形的高；
（2）连结菱形的对角线.
与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种：
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问
题；
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的
辅助线的作法较少.
例6如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.
图7
说明：
本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.
四、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正
方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
1
例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：
∠BCF=2∠AEB.
3
说明：
本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方
形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.
与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：
（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特
殊三角形；
（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.
例8已知，如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：
CO=CD.
图9
说明：
在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.
例9如图10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.
分析：
根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.
图10
4
和中位线有关辅助线的作法
例10如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：
OG=OH.
梯形的辅助线
口诀：
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下：
作法图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。
平移对角线。
转化为三角形、平行四边形。
梯形
用辅
的添
延长两腰，转化为三
梯形
角形。
种特
四边
是平
边
作高，转化为直角三
角形
角形和矩形。
的综
过添
当的
线将
问题中位线与腰中点连为平线。
边形
AD
BC
E
AD
BE
C
E
AD
BC
AD
BC
EF
AD
E
BF
C
中常
助线
法
是一
殊的
形。
它
行四
形、三
知识
合，通
加适
辅助
梯形
化归
行四
问题
5
或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（1）在梯形内部平移一腰。
（2）梯形外平移一腰
（3）梯形内平移两腰
（4）延长两腰
（5）过梯形上底的两端点向下底作高
（6）平移对角线
（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。
（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（9）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。
通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
（一）、平移
1、平移一腰：
例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.
DC
AB
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
6
3、平移对角线：
例4、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
AD
B
H
CE
例5如图，在等腰梯形
ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5
2，求证：
AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：
AD=DE。
7
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过
点F作EF//AB，交AD于点E，求证：
四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：
（1）腰AB的长；
（2）梯形ABCD的面积．
AD
BEFC
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：
BD>AC。
证：
作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：
AB＋CD=AD。
8
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：
（1）EF//AD；
（2）
EF1（BCAD）
2。
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
例16、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：
线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
AD
E
BCF
例17、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD
的面积．
ADM
F
E
BNC
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【模拟试题】（答题时间：
30分钟）
1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.
2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）
A.19B.20C.21D.22
AD
BC
3.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）
A.130B.140C.150D.160
AB
DC
E
*4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，
求BD的长.
AD
BC
5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
AD
BC
6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
AD
BC
E
7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
DC
AB
10
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