二次函数基础讲义docx.docx

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二次函数

、基础知识

1・定义：

一般地，如JUy=ax2+bx+c{a,b,c是常数，dH0）,那么y叫做兀的二

次函数.

2.二次函数的表示方法：

数表法、图像法、表达式.

3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

②y=ax1+k；（aH0）

③y=a（x-/?

）2（aH0）顶点式）；

®y=a（x-+k；（a工0）

⑤y=加+c.它们的图像都是对称轴平行于（或重合）y轴的抛物线.

4.各种形式的二次函数的图像性质如下表：

函数解析式

开【1方向

对称轴

顶点坐标

y=ax2

当a＞0吋开口向上当aV0时开口向下

x=0（y轴）

（0,0）

y=ax^+k

x=0（y轴）

（0,k）

y=a{x-ltf

x=h

0,0）

y=a（x-/?

）2+k

x=h

（h,k）

y=ax2+hx+c

h

x=

2a

（b4ac-b2）2a'4a

1.抛物线=ax2+加+c中的系数a,b,c

（1）Q决定开口方向：

几个不同的二次函数，如果二次项系数g相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当。

＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当。

＜0吋，抛物线开口向下，顶点为其最高点.

（2）b和。

共同决定抛物线对称轴的位置：

当b=0时，对称轴为y轴；当°、

b同号吋，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧.

（3）c决定抛物线与y轴交点位置：

当c=0时，抛物线经过原点；当c〉0时,

相交于y轴的正半轴；当c<0吋,则相交于y轴的负半轴.

2.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

y=加+c=°L+_L[+4dc—庆,顶点是（丄,4心"）,

I2d丿4a2a4a

对称轴是直线X=~—・

2a

（2）配方法：

运用配方的方法，将抛物线y=ax2^bx^c的解析式化为

y=a（x-h）2^k的形式，得到顶点为（h,k）,对称轴是宜线x=h•其中

“丄，“如土.

2a4a

（3）运用抛物线的对称性：

抛物线是轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点・・

3.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：

y=ax2+bx-\-c.B知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择一

般式.

（2）顶点式：

y=a（x-l^^k.L1知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）两点式：

已知图像与x轴的交点坐标坷、x2,通常选用交点式:

y=a（x-x,X兀—兀2）・

4.抛物线与兀轴的交点

设二次函数y=ax2+bx+c的图像与兀轴的两个交点的横坐标州、x2,是对

应一元二次方程ax2-^bx+c=0的两个实数根•抛物线与兀轴的交点情况可以由

对应的一元二次方程的根的判别式来判定：

（1）b2-4ac>0o抛物线与兀轴有两个交点；

（2）h2-4ac=0o抛物线与兀轴冇一个交点（顶点在兀轴上）;

（3）b2-4ac<0o抛物线与x轴没有交点.

典型例题y=ax2+bx+c的性质

例1.已知二次函数y=kx2-lx-1与x轴有交点，则1＜的取值范围是

例2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则直线y=ax+be的图象不经过第

例3.二次函数y=ax2^-bx+c的图象如图，试判断a、b、c和A的符号。

巩固练习

4•二次函数y=ax2^bx+c的图象如图，下列结论（l）cVO；

（2）b>0；（3）4a+2b+c>0；（4）（a+c）2<0,其屮正确的是：

（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.

二次函数ym'+bx+c的图象如图，那么obc、2a+b、a+b卜c、a-b+c这四个代数式屮，值为正数的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.己知直线）处+b的图象经过笫一、二、三象限，那么y=ax2+bx+1的图象为（）

7.

A.x<1

x的取值范围是（

-x-4,当函数值y随x的增大而减小时,

B.x>l

C.x>—2

D.-2

典型例题——函数图象综合

1、（2011ill东德州6,3分）已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a>b）的图象如下面图所

示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是

3、（2011山东聊城，9,3分）下列四个函数图象中，当x〈0吋，函数值y随自变量x的增

大而减小的是（）

典型例题^答题

例1张大爷要围成i个矩形花1甫|.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.

（2）当x为何值时,S有最大值?

并求出最大值.

（1）求S与xZ间的函数关系式（不要求写出白变量x的取值范围）.

A

花圃

B

巩固练习

1、用一个长为6分米的铁比丝做成一个一条边长为x分米的矩形，设矩形面积是y平方分

米，求①y关于x的函数关系式②当边长为多少时这个矩表面积最大?

2、.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）己知砖墙在地面上占地总长度160m,问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积授大？

并求这个授大面积。

典型例题y=ax2+bx+c的最值

例1：

心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x（单位：

分）之间大体满足函数关系式：

y=-0.2+2.6兀+43（0WxW30）。

y的值越大，表示接受能力越强。

试根据关系式回答：

（1）若提出概念用10分钟，学牛的接受能力是多少？

（2）概念提出多少时间时？

学牛•的接受能力达到最强？

例2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池屮央垂頁于水面安装一个尼形柱T0A,°恰在水血中心，安宜在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状和同的抛物线路径落下，口在过0A的任一平而上，抛物线形状如图

（1）所示。

图

（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）Z间的关系是y=+#。

请回答下列问题:

（1）柱子0A的高度是多少米?

（2）

喷出的水流距水平血的最大高度是多少米?

巩固练习

（2008-巴中中考）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，克飞行路线满足抛物线y=-l?

+-x,K中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离

・55•

球洞的水平距离述有2m.

（1）请耳出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴•

（2）请求出球飞行的最人水平距离.

（3）若土强再一次从此处击球，要想止球飞行的最人高度不变且球刚好进洞，则球飞

行路线应满足怎样的抛物线，求出英解析式.

P（m）

典型例题——函数解析式的求法⑴

1.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图：

（1）根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式；

（2）若菜农身高为1.60米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有儿米？

（粹确到0.01米）

2.根据下列条件求抛物线的解析式：

（1）图象过点（-1,-6）、（1,-2）和（2,3）；

（2）图象的顶点坐标为（-1,-1）,且与y轴交点的纵坐标为-3；

（3）图彖过点（1,-5）,对称轴是直线x=l,H图象与x轴的两个交点之间的距离为4。

作业

一、1•下列关系式中，属于二次函数的是仪为自变量）（）

B.八庐71C”？

D.严兴

2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是（）

A.（1,-4）2）C.（1,2）D.（0,3）

3・抛物线y=2（x・3）2的顶点在（）

A.第一象限B.第二象限C.x轴上D・y轴上

y=-—4

4.抛物线*的对称轴是（）

A.x=-2B.x=2C.x=-4D・x=4

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（

y

A>ab>（）,c>0ab>0,c<0C・abvO,c>0

D.ab<0,c<0

6•二次函数y=ax?

+bx+c的图象如图所示,

（）

A・一B•二C・三D・四

7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的图象的顶点P

的横坐标是4,图象交x轴于点A（m,0）和点B,且m>4,那么

AB的长是（）

A.4+mm

&若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（）

9.已知抛物线和直线？

在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-l,Pi（xi，y）P2（x2,y2）是抛物线上的点,Psgy3）是直线/上的点,且-l

人丿=-2（定-D*+6by=-2（x—I）3-6

C尸=—+6°才=力—6

11.二次函数y=x2-2x+l的对称轴方程是・

12.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=（x-h）2+k的形式，则y=・

13.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.

14.抛物线y=x2+bx+c,经过A（・l,0）,B（3,0）两点，则这条抛物线的解析

式为.