中北大学 数值分析14实验报告.docx
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中北大学数值分析14实验报告
实验类别：
数值分析
专业：
信息与计算科学
班级：
13080241
学号：
1308024120
姓名：
杨燕
中北大学理学院
实验一函数插值方法
【实验内容】
给定一元函数
的
个节点值
，数据如下：
0.4
0.55
0.65
0.80
0.95
1.05
0.41075
0.57815
0.69675
0.90
1.00
1.25382
求五次Lagrange多项式
或分段三次插值多项式或Newton插值多项式，并计
的值。
（提示：
结果为
≈0.625732,
≈1.05423）
【实验方法与步骤】
利用Lagrange插值公式
，用C语言编写出插值多项式程序如下：
#include
#defineN5
floatx[]={0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05};
floaty[]={0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382};
floatp（floatxx）
{
inti,k;
floatpp=0,m1,m2;
for（i=0;i<=N;i++）
{
m1=1;m2=1;
for（k=0;k<=N;k++）
if（k!
=i）
{
m1*=xx-x[k];
m2*=x[i]-x[k];
}
pp+=y[i]*m1/m2;
}
returnpp;
}
main（）
{
printf（"f（0.596）=%lf\n",p（0.596））;
printf（"f（0.99）=%lf\n",p（0.99））;
}
【实验结果】
【思考】
1、给出的程序求
行不行，精度高不高？
2、五次Lagrange多项式与Newton插值多项式是同一个多项式吗？
五次Lagrange多项式与Newton插值多项式是同一个多项式。
3、为什么高次插值不能令人满意？
一般来说，节点个数越多，插值函数和被插值函数就有越多的地方相等。
但是随着插值节点个数的增加，两个插值节点之间插值函数并不一定能够很好地逼近被插值函数。
再次，从舍入误差看，高次插值由于计算量大，可能会产生更严重的误差积累，所以，稳定性得不到保证。
此时就会出现龙格现象。
实验类别：
数值分析
专业：
信息与计算科学
班级：
13080241
学号：
1308024120
姓名：
杨燕
中北大学理学院
实验二函数逼近与曲线拟合
【实验内容】
1、编写出Legendre、Chebyshev多项式的程序；
2、从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
例如在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量
与时间
的拟合曲线。
（
分）
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0
1.7
2.16
2.86
3.44
3.87
4.15
4.37
4.51
4.58
4.02
4.64
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
【实验方法与步骤】
1、用C编写语言出Legendre多项式的程序如下：
#include
doublep（intn,doublex）
{
if（n==0）
return1;
else
if（n==1）
returnx;
else
return（（2*n-1）*x*p（n-1,x）-（n-1）*p（n-2,x））/n;
}
intmain（）
{
intn;
doublex;
doubley;
printf（"inputn,x:
\n"）;
scanf（"%d%lf",&n,&x）;
y=p（n,x）;
printf（"%lf\n",y）;
return0;
}
2、给出表格数据的近似解析表达式为；
，选取基函数
，
，则得到
，
，
，
，
，
于是得方程组
，用C语言编写曲线拟合的程序如下：
#include
#defineMax_N25
main（）
{
inti,n;
doublex[Max_N],y[Max_N];
doublea11,a12,a21,a22,d1,d2;
doublea,b;
printf（"\nInputnvalue:
"）;
do
{
scanf（"%d",&n）;
if（n>Max_N）
printf（"\npleasere_inputnvalue:
"）;
}
while（n>Max_N||n<=0）;
printf（"inputx[i],i=0,...%d:
\n",n-1）;
for（i=0;iscanf（"%lf",&x[i]）;
printf（"inputy[i],i=0,...%d:
\n",n-1）;
for（i=0;iscanf（"%lf",&y[i]）;
for（i=0;i{
a21+=x[i];
a22+=x[i]*x[i];
d1+=y[i];
d2+=x[i]*y[i];
}
a12=a21;
a11=n;
a=（d1*a22-d2*a12）/（a11*a22-a12*a21）;
b=（d1*a21-d2*a11）/（a21*a12-a22*a11）;
printf（"slove:
P（x）=%f+%fx\n",a,b）;
getchar（）;
return0;
}
3、为作比较，用MATLAB进行曲线拟合，编写的程序如下：
x=[0510152025303540455055];
y=[01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64];
p=polyfit（x,y,1）;
disp（[num2str（p
（1））,'*x+',num2str（p
（2））]）;
xx=linspace（0,60,60）;
yy=polyval（p,xx）;
plot（x,y,'rx',xx,yy）
【实验结果】
1、C语言编写的Legendre多项式的程序结果如下：
2、C语言拟合的曲线结果如下：
3、MATLAB拟合的曲线结果和误差分析结果如下：
拟合的方程为：
【思考】
1、最佳一致逼近与最佳平方逼近的区别是什么？
最佳一致逼近中的范数取的是无穷大范数，公式为：
。
最佳平方逼近中的范数取的是二范数，公式为：
。
2、曲线拟合与最佳平方逼近的区别是什么？
曲线拟合中的
是
上的一个列表函数，公式为：
。
最佳平方逼近中的
是一个未知函数，公式为：
。
3、能用什么方法确定最小二乘法的拟合函数？
拟合的方法除了最小二乘法外，还有拉格朗日插值法、牛顿插值法、区间二分法、雅克比迭代法和牛顿科特斯数值积分法等，都可以确定拟合函数。
实验类别：
数值分析
专业：
信息与计算科学
班级：
13080241
学号：
1308024120
姓名：
杨燕
中北大学理学院
实验三数值积分与数值微分
【实验内容】
选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法、高斯算法计算
（1）
（2）
（3）
【实验方法与步骤】
1、用C语言编写Romberg算法数值积分的程序如下：
#include
#include
#defineepsilon0.0001/*求基函数*/
floatf（floatx）
{
return（sqrt（4-sin（x）*sin（x）））;
}/*梯形公式*/
floatRomberg（floata,floatb）
{
intk=1;
floatS,x,T1,T2,S1,S2,C1,C2,R1,R2,h=b-a;
T1=h/2*（f（a）+f（b））;
while
（1）
{
S=0;x=a+h/2;
do
{
S+=f（x）;
x+=h;
}
while（xT2=（T1+h*S）/2.0;
if（fabs（T2-T1）return（T2）;
S2=T2+（T2-T1）/3.0;
if（k==1）
{
T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;
continue;
}
if（fabs（S2-S1）return（S2）;
C2=S2+（S2-S1）/15.0;
if（k==2）
{
C1=C2;T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;
continue;
}
if（fabs（C2-C1）return（C2）;
R2=C2+（C2-C1）/63.0;
if（k==3）
{
R1=R2;C1=C2;T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;
continue;}
if（fabs（R2-R1）return（R2）;
R1=R2;C1=C2;T1=T2;S1=S2;h/=2;k+=1;
}
}
main（）
{
inti;
floata,b,S;
printf（"\nInputbeginandend:
"）;
scanf（"%f%f",&a,&b）;
S=Romberg（a,b）;
printf（"Solveis:
%f",S）;
scanf（"%",S）;
}
2、再用复合Simpson公式计算同一个积分，并比较其结果，且用C语言编写的程序如下：
#include
#include
floatf（floatx）
{
return（sqrt（4-sin（x）*sin（x）））;
}
floatSimpson（floata,floatb）
{
intk=1,n=20;
floats,x1,x2,h=（b-a）/n,c=a+h/2;
s=h/6*（f（a）+f（b）+4*f（c））;
for（k=1;k<=n-1;k++）
{
x1=a+k*h;
x2=x1+h/2;
s=s+（2*h/3）*f（x2）+（h/3）*f（x1）;
}
return（s）;
}
main（）
{
inti;
floata,b,s;
printf（"请输入a,b:
"）;
scanf（"%f%f",&a,&b）;
s=Simpson（a,b）;
printf（"解为:
%f",s）;
scanf（"%",s）;
}
3、分别取不同步长
，试比较计算结果（如
等）；
4、给定精度要求
，试用变步长算法，确定最佳步长。
【实验结果】
1、所给三个定积分的结果如下：
2、对第一个定积分
用Romberg算法和复合Simpson公式计算的结果分别如下：
3、步长为
时，所给三个定积分的结果如下：
4、步长为
时，所给三个定积分的结果如下：
【思考】
1、复合求积公式的优点是什么？
复合求积公式通过把区间分成若干个子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式来提高求积的精度。
2、Romberg算法与与牛顿-柯特斯求积算法的联系是什么？
Romberg算法与与牛顿-柯特斯求积算法的节点都是等距选取均匀分布的，且
的牛顿-柯特斯公式因为误差太大而不能使用。
3、高斯算法的求积节点如何确定？
以这些节点为零的多项式
与任何次数不超过
的多项式
带权
正交，即：
。
4、牛顿-柯特斯求积与高斯算法的节点分布有什么不同？
牛顿-柯特斯求积的节点是等距选取均匀分布的，而高斯算法的节点是满足以这些节点为零的多项式
与任何次数不超过
的多项式
带权
正交，即是不均匀分布的。
实验类别：
数值分析
专业：
信息与计算科学
班级：
13080241
学号：
1308024120
姓名：
杨燕
中北大学理学院
实验四线性方程组的直接解法
【实验内容】
（用追赶法）
【实验方法与步骤】
1、对上述方程组用追赶法求解，用C语言编程如下：
#include
#include
#include
#defineN5
main（）
{
floata[N]={0,0,-1,-2,-2};
floatb[N]={0,2,3,4,5};
floatc[N]={0,-1,-2,-2,0};
floatd[N]={0,3,1,0,-5};
floatx[N]={0,0,0,0};
floatr[N]={0,0,0,0};
floaty[N]={0,0,0,0};
floatq;
intk;
r[1]=c[1]/b[1];
y[1]=d[1]/b[1];
for（k=2;k<=N-1;k++）
{
q=b[k]-r[k-1]*a[k];
r[k]=c[k]/q;
y[k]=（d[k]-y[k-1]*a[k]）/q;
}
y[N-1]=（d[N-1]-y[N-2]*a[N-1]）/（b[N-1]-r[N-2]*a[N-1]）;
x[N-1]=y[N-1];
for（k=N-2;k>=1;k--）
x[k]=y[k]-r[k]*x[k+1];
for（k=1;kprintf（"x[%d]=%lf\n",k,x[k]）;
}
2、将结果与精确值进行比较；
3、分析数值解误差的原因。
【实验结果】
1、追赶法求解结果：
2、追赶法求解结果与精确值进行比较：
因为此方程组的精确解为
，
，
，
；与追赶法求解结果一样。
3、分析数值解误差的原因：
此方程组用追赶法求解时没有出现误差，但如果出现误差，我觉得就是在计算过程中的舍入误差逐步累积导致的。
【思考】
1、列主元消去法为什么选主元？
由高斯消去法知道，小主元可能产生麻烦，应避免采用绝对值小的主元素
，最好每一步选取隶属矩阵中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性。
2、全主元消去法与列主元消去法各自的优缺点是什么？
全主元素消去法就是找所有元素的最大值放在顺序主子阵左上角，它的优点是计算值的误差较小，缺点是计算量太大；列主元素消去法就是找一列中元素的最大值放在顺序主子阵左上角，它的优点是计算量较全主元素消去法来说要小很多，缺点是计算值的误差比用全主元素消去法计算出来的值得误差要大。
3、什么样的线性方程组可用追赶法求解？
线性方程组的系数矩阵为对角占优三对角线矩阵。
4、什么是矩阵的条件数，在算法的误差分析中起什么作用？
为非奇异矩阵，称
为矩阵
的条件数。
的条件数越大，方程组的病态越严重，也就越难用一般的计算方法求得比较准确的解。
5、矩阵的三角分解是什么？
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵
的元素得到计算
元素的递推公式，而不需要任何中间步骤，即将
的问题等价于求解两个三角形方程组：
，求
，
，求
。
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