浙江省宁波市镇海中学学年高二上学期期末考试数学试题附答案解析docx.docx
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浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高二上学期期末考试
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A.B.C.D.或
【答案】C
【解析】
【分析】
求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.
【详解】由得：
或，即或
则
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
2.设，，则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单调性，可得，再验证可得最终结果.
【详解】在上单调递增
，即
又
又
本题正确选项：
-1-
【点睛】本题考查与对数函数有关的比较大小类问题，属于基础题.
3.曲线在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（）
A.2B.C.-1D.0
【答案】A
【解析】
【分析】
求导得，代入，可得切线斜率，即的值.
【详解】由题意得：
代入，可得切线斜率
又，得
本题正确选项：
【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
4.已知定义在R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数不一
定存在零点的是（）
x
1
2
3
5
3-120
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又
为的子集，则
区间有零点，则
区间也必有零点；
上有零
点，则
上必有零点；由此可得结果.
【详解】由题意可得：
在
上必有零点
又
，
在
上必有零点
在
上必有零点
又
，
在
上必有零点
在
上不一定存在零点
本题正确选项：
-2-
【点睛】本题主要考查零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结
论，需要进一步判断.
5.已知函数
，若
，则
（
）
A.1
B.-1C.-2
D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
判断
的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.
【详解】由题意得：
即
定义域为
，关于原点对称
又
可得：
为奇函数
本题正确选项：
【点睛】本题考查通过函数奇偶性求函数值。
关键在于判断出函数的奇偶性，要注意判断函数奇偶性首先要确
定函数定义域是否关于原点对称，再判断与的关系.
6.在
，
，
这三个函数中，当
时，
恒成立的函数的个数是（
）
A.0
B.1C.2
D.3
【答案】B
【解析】
试题分析：
函数
只有在区间
上的函数图象是上凸型的，才能满足
＞
，由于函数
和
在区间
上的函数图象是都下凹型的，故不满足条件，函数
在区间
上的函数图象是上凸
型的，满足条件，故选选B．
考点：
函数的图象与性质．
7.已知函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
-3-
【分析】
确定定义域后，可知函数在定义域内单调递增；根据零点存在定理，求得的取值范围.
【详解】①当时，在上单调递增
又，只需，函数存在零点
即
②当时，在上单调递增
函数值域为，函数存在零点
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数的单调性与零点问题，关键在于通过对于函数单调性的判断，得到函数值域，从而根据零点存在定理解决问题.
8.函数存在两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求解出，将在上有两个不等实根，转化为二次函数图像与轴有两个交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出的范围.
【详解】由题意得：
设，又，
可知存在两个不同的极值点等价于在上存在两个不同零点
由此可得：
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区间内的零
点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：
①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.
9.已知函数，则“”是“的值域与的值域相同”的（）
-4-
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过
求得函数
的值域；再根据
的值域，求得
值域.
【详解】①当
时，
可得：
值域为
设
，则
，
当
时，
可得：
值域为
②由题意可知，
值域为
设
，则
，
当
即
时，
值域为
即
时，
与
值域相同
当
即
时，
值域为
若
与
值域相同，则
，不合题意
综上所述：
若
与
值域相同，则
由此可知，“
”是“
与
值域相同”的充分不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充要条件的判断，解题关键是正确区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件的结论.
10.已知函数
，记
，当
时，
，则对于下列结论正确的是（
）
A.
在
单调递增
B.
在
单调递减
C.
在
单调递减，
单调递增
D.
在
单调递增，
单调递减
【答案】A
-5-
【解析】
【分析】
判断出
的单调性，利用复合函数单调性推得结果.
【详解】
在
上单调递增
又
，
与
在
上单调递增
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递增
又
，
与
在
上单调递增
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递增
以此类推，可知
在
上单调递增
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，关键在于明确复合函数单调性遵循“同增异减”的原则
.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：
本大题共
7小题。
11.是虚数单位，设
，则z=______，_____.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】
【分析】
将化简为
的形式，求得结果.
【详解】
则
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
12.已知函数，则_____，_____.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】
【分析】
将代入，求得，再代入解析式求出的值.
【详解】由题意得：
-6-
【点睛】本题考查根据分段函数解析式求解函数值，关键是根据自变量的取值代入不同的解析式中.
13.设条件，，若p是q的充分条件，则m的最大值为____，若p是q的必要条件，
则m的最小值为____.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】
【分析】
求解出条件中的取值范围，根据条件类型，得到与的关系，建立不等式，求解出结果.
【详解】由得：
是的充分条件
的最大值为
是的必要条件
的最小值为
【点睛】本题考查根据充分条件和必要条件求解参数取值范围问题，属于基础题.
14.已知函数，设x=1是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】
【分析】
根据时，可求得的值；再利用求得单调递增区间.
【详解】由题意可得：
是的极值点
即
令，可得
的单调递增区间为
【点睛】本题主要考查导数与极值、单调性之间的关系，要明确极值点即为导函数等于零的点，属于基础题.
15.已知偶函数对任意都有，则___.
【答案】
【解析】
-7-
【分析】
利用的特点，赋值可求得，从而可推得函数的周期为，将利用周期转化为即
可.
【详解】是定义在上的偶函数
又
令可得，
即：
为周期为的函数
【点睛】本题考查函数性质的综合应用，关键在于能够通过赋值的方式将已知关系式变成函数周期的表达式，得到函数的周期.
16.函数，若对于在意实数，，则实数a的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过函数解析式，确定函数的奇偶性和单调性，将转化为，再结合单调性，利用恒成立的思想来解决.
【详解】当时，
，即为上的奇函数
又在上单调递增在上单调递增
当时，
当时，
原不等式可转化为：
，即恒成立
本题正确结果：
【点睛】本题解题的关键在于利用函数解析式求解出分段函数的单调性和奇偶性，然后利用单调性将不等式转
化为自变量之间的关系.
17.已知函数，若方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为____.
【答案】
【解析】
-8-
【分析】
通过的范围，得到的图像与取值范围；设，根据图像可知，若时，每个的取值对
应唯一的，即有两个不同解；若，每个的取值对应两个不同的的，即有唯
一解即可。
根据图像，求得的取值范围.
【详解】当时，图像如下：
设，则
当时，若方程有两个不同解，只需与图像只有一个交点
当时，若方程有两个不同解，需与图像有两个交点，不合题意
当时，若方程有两个不同解，需与图像有两个交点
综上所述：
本题正确结果：
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的范围，求出与二次函数有关的复合函数的值域问题.易错点在于将函
数转化为二次函数后，忽略了与的对应关系，错误的认为只需与在上有两个交点即可，
从而错误求得部分结果.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.记函数的定义域为M，的定义域为N.
（1）求M；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
-9-
（1）真数必须大于零，得到不等式，求出；
（2）求解出集合，利用得到关于的不等式组，求解得
到结果.
【详解】
（1）定义域要求：
即：
（2）定义域要求：
即：
若，则
即：
【点睛】本题考查函数定义域以及集合间的关系，关键在于通过集合关系，确定两个集合端点值的大小关系.
19..
（1）若函数在上的最大值为3，求a的值；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式.
【答案】
（1）或；
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴位置，确定最大值的位置，然后依次验证得到的取值；
（2）根据对称轴位置，确定最小值取
值位置，得到表达式.
【详解】由题意可得：
对称轴为
（1）①当，即时，在上单调递减
，不合题意
②当，即时，在上单调递增
，不合题意
③当即时，在上单调递减；上单调递增
为或
当时，，此时，符合题意
当时，，此时，符合题意
-10-
综上所述：
或
（2）①当，即时，在上单调递减
②当，即时，在上单调递增
③当即时，在上单调递减；上单调递增
综上所述：
【点睛】本题考查二次函数图像问题，关键在于通过对称轴的不同位置，确定最值取得的具体点，得到所求结
果.
20.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线与x轴和y轴围成的三角形面积；
（2）若过点可作三条不同直线与曲线相切，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
（1）对求导，求得切线方程，解得与坐标轴的交点，从而得到三角形面积；
（2）通过假设切点，得到切线
方程；将问题转化为与有三个不同的交点，通过图像交点求得取值范围.
【详解】
（1）由题意得：
即切线斜率，可得切线方程为，整理得：
直线与轴交于，与轴交于
三角形面积
（2）设切点坐标为，则切线斜率
切线方程为：
-11-
又在切线上，则
过点可作三条不同的切线，等价于与有三个不同的交点
设，则
令，解得，
可解得：
【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解切线方程的问题，要注意区分“在”某点的切线和“过”某点
的切线的不同求法；解题关键在于将过某点作曲线切线条数问题转化为方程根的个数问题、函数图像交点问题
来进行求解.
21.已知函数.
（）当a=1，b=1时，求在上的值域；
（2）若对于任意实数x，恒成立，求的最大值.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
（1）通过求导求得函数的单调性，从而求得函数值域；
（2）通过对，，三个范围进行讨论，通
过图像讨论，排除的情况；将情况转化为二次函数问题，最终求得所求最大值.
【详解】
（1）由题意得：
当时，；当时，
在上单调递增
当时，；
值域为
（2）恒成立
由题意得：
①当时，
-12-
此时
②当
时，由
得：
恒成立
当
时，
，
，不等式不恒成立
因此，
不合题意
③当
时，
在上单调递增
令
，即
设
时，
则
时，
；
时，
即
即
综上所述：
的最大值为
【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用问题，难点在于求解最大值时，由于函数单调性不统一，需要通过
假设零点的方式进行讨论，将问题转化为二次函数恒成立问题，利用判别式来进行求解，对学生转化与化归思想应用要求较高.
22.已知，函数，
（1）若函数在上单调递减，求a的取值范围；
（2）对任意恒成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为在区间内恒成立即可求解；
（2），首先要求区间端点处满足要求，得到的
一个范围；根据的范围可知存在零点，即有最小值点，利用最小值与最大值之和小于等于零，得到不等关
系，从而进一步确定的范围.
【详解】
（1）由题意得：
即在上单调递增；在上单调递增
在上单调递增
-13-
又在上单调递减，等价于在上恒成立
即
解得：
（2）
由
（1）知在上单调递增，且，
设时，
即：
则在上单调递减；在上单调递增
若，只需即可
又
当即时，，解得：
当即时，，解得：
综上所述：
【点睛】本题考查导数的恒成立问题，难点在于处理时，直接处理难度较大，将其转化为最大值与
最小值之差大于等于零，从而利用自身所带范围，回归到关于最大值的不等关系中，求得最终结果.
-14-
-15-
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