立体几何初步.docx

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立体几何初步

《立体几何初步》复习教案

授课人：

课题

简单的集合体、直观图

课时

总课时

授课

时间

检查

签名

目

的

及

要

求

重点

难点

课型

教法

教

具

简单的集合体、直观图

考纲要求：

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．

空间几何体一方面是立体几何中考查点、线、面的关系的依托体，因此而成为高考的必考内容；另一方面空间几何体与现实生活有着密切联系，因而也成为高考考查考生实际应用能力的命题点．

近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和棱台的结构特征，借助三视图考查几何体中点、线、面的位置关系，以及几何体表面积与体积．由于三视图是高中数学新添内容，又是学习立体几何的基础，并且在现实中应用广泛，因此，我们复习时不可忽视．

知识梳理

1．以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．

2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．

3．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．

4．两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的几何体叫作棱柱．

5．我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．

6．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的几何体叫作棱锥．

如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．

7．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．

8．用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形．

11．在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．

基础自测

1．有以下四个命题：

①棱台的两条不相邻的侧棱延长后相交于一点；

②四条侧棱长都相等的棱台，两底面一定是正方形；

③棱台的高可以和它的某一条侧棱长相等；

④有两个面是相互平行的相似多边形，其余各面都是梯形的多面体一定是棱台．

其中假命题有（　　）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

【答案】C

【解析】①正确，棱台是被平行于棱锥底面的平面所截得的，因此棱台的所有侧棱交于一点，则两条不相邻的侧棱延长后也相交于一点．②不正确，四条侧棱长都相等的棱台，底面不一定是正方形．③显然不正确．

2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如右图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为　　　　.

【答案】2.5

【解析】由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线长为2.5.

3．如下图，若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是　　　　.

【解析】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高是

，

∵

·2r·

＝8，∴r＝2

.

4.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短距离的长为　　　　.

【答案】10

【解析】正

三棱柱的侧面展开图如图所

示．取AA1上一点P.连AP、A1P与BB1、CC1的交点为与棱的交点，当P为AA1中点时，AP＋A1P最小为10.

考点突破：

考点1　柱、锥、台、球的结构特征

1.由于球的大圆圆心、半径也是球的球心和半径，因而球的问题常常转化为圆的问题来解决．

2．圆柱、圆锥与圆台的基本要素就是旋转轴、母线和底面半径，这些要素的关系都集中在轴截面中．因此，研究与它们相关的问题时，主要的途径就是研究它们的轴截面．

3．圆台可以看作用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分就是圆台．因此，经常将圆台还原为圆锥，利用圆锥的轴截面所在的三角形，解决圆台问题．

4．掌握棱柱、棱锥和棱台的侧面、底面、截面等平面图形的性质，这是将空间问题转化为平面问题的关键点．

例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了

（1）、

（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（　　）

A．

（1）是棱柱，

（2）是棱台

B．

（1）是棱台，

（2）是棱柱

C．

（1）

（2）都是棱柱

D．

（1）

（2）都是棱台

【分析】我们想知道几何体的形状，只要观察它的特征，严格按照定义来判断即可．

【解】

（1）中，有两个平行的平面BB1E与平面CC1F，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以

（1）是三棱柱；

（2）中，有两个平行的平面ABEA1与平面DCFD1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以

（2）是四棱柱．

故选C.

【点评】本题易出现的错误是把

（2）看成棱台．我们知道台体是由锥体截得的，但是题中的部分

（2）是如何都不能还原成锥体的，故

（2）不是棱台．这一点你考虑到了吗？

1．（2011广东卷·文）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（　　）

A．20　　　B．15　　　

C．12　　　D．10

【答案】D

【解析】如图，在正五棱柱ABCDE—A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：

AC1、AD1，

同理从B、C、D、E点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．

故选择D.

2．（2010福建卷·理）如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

【答案】D

【解析】根据棱台的定义（侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥）．因此，几何体Ω不是棱台，应选D

考点2三视图与斜二测画法

1.用斜二侧画法的要领是：

画水平放置的平面图形直观图，要建立适当的坐标系，使已知图形上的顶点尽可能多的落在坐标轴上，这样不仅可以减少添加辅助线，而且还可以使作直观图的过程更简便．

2．关于三视图的画法注意以下几点：

（1）三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．

（2）一个物体的三视图的排列规则是：

俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．

（3）在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计．

例2（2010北京卷·理）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

【解】由三视图中的正（主）、侧（左）视图得到几何体的直观图如图所示，

所以该几何体的俯视图为C.

故选择C.

【点评】本题考查了三视图的知识，解题的关键是理解、掌握三视图与直观图的关系，特别是应明确三视图是从几何体的哪个方向看到的．

题组训练：

1．（2011浙江卷·理）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

【答案】D

【解析】A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求．

故选择D.

2．（2011辽宁卷·文）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（　　）

【答案】B

课时小结：

1．对于圆柱、圆锥、圆台来说，平行于底面的截面都是圆，而过轴的圆柱、圆锥、圆台的截面（简称轴截面）分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．

2．球的任何截面都是圆面，过球心的截面都是轴截面（也称为球的大圆）．由于球的大圆圆心、半径也是球的球心和半径，球心和截面圆心的连线垂直于截面．因而球的问题常常转化为圆的问题来解决．由球半径（R），截面圆半径（r）及球心到截面的距离d构成直角三角形，有关系式r＝

.

3．棱柱、棱锥的概念和性质是研究解决问题的依据，要能正确利用这些知识进行图中点、线、面的位置关系的分析和计算．

4．三视图的画法要求

（1）三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．

（2）一个物体的三视图的排列规则是：

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．

作业：

课题

空间图形的基本关系与公理

课时

总课时

授课

时间

检查

签名

目

的

及

要

求

重点

难点

课型

教法

教

具

空间图形的基本关系与公理

考纲要就：

1．理解空间直线、平面位置关系的定义；

2．了解三个公理及等角定理可以作为推理依据的公理和定理．

3．以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识空间中直线、平面的位置关系．

4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形位置关系的简单命题．

考情分析：

近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中．以棱柱、棱锥、棱台为依托体，在考查空间点、线、面间的位置关系的同时，考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、分析与解决实际问题的能力．空间点、线、面概念，以及它们的位置关系以三个公理为出发点，形成一个严密的逻辑体系，本节内容的复习是后续内容的基础，应引起足够的重视．

知识梳理：

1．空间点与直线的位置关系有两种：

点在直线上和点在直线外．如下图

（1）中，点B在直线b上，但在直线a外，记作：

B∈b，B∉a.

2．空间点与平面的位置关系有两种：

点在平面内和点在平面外．如下图

（1）中，点B在平面α内，但点A在平面α外，记作：

B∈α，A∉α.

1．空间两条直线的位置关系

位置关系

共面情况

公共点个数

相交直线

在同一平面内

有且只有一个

平行直线

在同一平面内

没有

异面直线

不同在任何一个平面内

没有

2.直线与平面的位置关系

位置

关系

直线a在

平面α内

直线a与

平面α相交

直线a与

平面α平行

公共

点

有无数个

公共点

有且只有一

个公共点

没有公共点

图形

表示

3.两个平面的位置关系

位置关系

两平面平行

两平面相交

公共点

没有公共点

有一条公共直线

图形表示

4.公理1　如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即此直线在平面内）．

这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．

直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα.

5．公理2　经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）．

6．公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点．那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫做两个平面的交线．

平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a.

7．公理4　平行于同一条直线的两条直线互相平行．

8．定理　空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

9．经过空间任意一点P作分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2（a∥l1，b∥l2），这两条相交直线所成的锐角（或直角）就是异面直线a，b所成的角．

10．如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.

基础自测：

1．下列命题中正确命题的个数是（　　）

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形．

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

【答案】B

【解析】四边形的四个顶点不一定共面；四边相等的四边形的四个顶点也不一定共面，故选B.

2．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则（　　）

A．必有三点共线

B．任三点必不共线

C．AB、CD、BC、AD四直线中至少有2条相交

D．以上结论都不正确

【答案】D

【解析】由平行四边形的四个顶点知A错误；B显然错误；由AB、CD、BC、AD四直线中都平行且共面时知C错误；故选D.

3．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（　　）

A．异面直线B．相交直线

C．不相交直线D．不平行直线

【答案】D

【解析】和两条异面直线a、b都相交的两条直线可能相交、异面，但一定不平行，否则a，b不是异面直线．

4．把下列符号叙述所对应的图形（见下图）填在题后横线上．（　　）

（1）A∉α，aα　　　　.

（2）α∩β＝a，P∉α且P∉β　　　　.

（3）aα，a∩α＝A　　　　.

（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O　　　　.

【答案】

（1）C；

（2）D；（3）A；（4）B

5．有下列六个命题，其中正确命题的序号是　　　　.

（1）同时垂直于同一条直线的两条直线一定平行；

（2）到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；

（3）过直线外一点P只能作一条直线与已知直线l垂直；

（4）用六根火柴棒，以每根火柴棒为一边，最多可以搭出四个正三角形；

（5）过空间任意一点，可以引出三条射线，使它们两两垂直；

（6）人们无法搭出一个对角线不相交的四边形．

【答案】（4）（5）

【解析】

（1）中可以以相交于墙角的三条直线示之，可知

（1）不正确；

（2）的反例是球面上各点均符合条件；

（3）的反例可以是门轴所在直线与地平面上任一直线均垂直；

（6）中可以以下图为反例．图中空间四边形ABCD的对角线AC和BD是不相交的，关于这一点，在以后将详细地研究；

（5）是正确的，如墙角

考点突破：

考点1　平面性质的应用

1.¡°公理1¡±说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的¡°直¡±来刻划平面的¡°平¡±，通过直线的¡°无限延伸¡±来描述平面的¡°无限延展性¡±，它既是判断直线在平面内，又是判断点在平面内的基本方法．

2．¡°公理2¡±是确定平面或证明两个平面重合的依据．

2．¡°公理2¡±是确定平面或证明两个平面重合的依据．

例1在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图所示．

（1）点D、B、F、E共面吗？

（2）作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置；

（3）点P、Q、R共线吗？

【分析】论证三点共线可借助模型，如图所示：

假设三点P、Q、R中P、Q的连线为l，设法让l成为平面α、β的交线，然后证R∈α，R∈β，这样R∈l，从而有P、Q、R三点共线．

（3）证明：

由

（2）知，PQ＝平面BDEF∩平面A1ACC1，R∈A1C，而A1C平面A1ACC1，故R∈平面A1ACC1.同理R∈平面BDEF，故R∈PQ，即P、Q、R三点共线．

【点评】

（1）论证四点共面，可证其中两点连线与其余两点连线相交或平行．

（2）作线面的交点，应设法找一个包含已知直线的平面，再确定两平面的交线，然后作出已知直线与这条交线的交点．

题组训练：

1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（　　）

A．两两相交的三条直线

B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交

C．三个点

D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

【答案】D

【解析】A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；

B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；

对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；

只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由公理2知其确定一个平面，∴应选D.

2．（2011浙江卷·文）若直线l不平行于平面α，且lα，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

【答案】B

【解析】由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．

3．（2012南京模拟）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（　　）

A．5部分　　B．6部分　　C．7部分　　D．8部分

【答案】C

【解析】如三棱柱的三个侧面，将其延伸可知将空间分了7部分．故选择C.

考点2空间图形的基本关系

空间图形的基本关系依托于空间几何体，例如长方体就是我们研究空间点、线、面的位置关系的基本模型．也是高考命题部分的载体．在学习中我们应加强长方体的使用意识．

例2（2010江西卷·文）如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；

②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；

③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．

其中真命题是（　　）

A．②③④　　　　B．①③④

C．①②④D．①②③

【解】①中要求过M点作直线与AB，B1C1均相交，因为AB与B1C1异面且垂直，所以该直线可得唯一一条，故①正确．

又③中过M点与对角面AA1C1C平行的平面与AB，B1C1均相交，旋转该面仍可能与AB，B1C1均相交，故③错．

故选择C.

【点评】本题考查直线、平面的位置关系及空间中点、线、面的位置关系，同时考查空间想象能力

题组训练：

1．（2010重庆卷·文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（　　）

A．只有1个　　　　　B．恰有3个

C．恰有4个D．有无穷多个

【答案】D

2．（2012菏泽一轮检测题）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线（　　）

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

【答案】D

【解析】如图，在平面ADD1A1内延长DE与D1A1的延长线相交于一点H，则DH为所求直线，在平面DCC1D1内延长D1F与DC的延长线相交于点G，则D1G为满足条件的直线．取EF的中点O，则A1C一定经过O，这样就找到了满足条件的三条直线．

若取DC的中点K，OE的中点M，A1H的中点N，则K、M、N三点共线．

3．（2012苏州测试题）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（　　）

A．EF与BB1垂直

B．EF与BD垂直

C．EF与CD异面

D．EF与A1C1异面

【答案】D

【解析】如图，取BB1的中点O，连结OE，OF，易知EF与A1C1平行．

故选择D.

考点3　两条异面直线所成的角

研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．等角定理是将空间问题转化为平面问题的重要工具，在立体几何计算中起着重要作用．

例3（2010江西卷·理）过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（　　）

A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条

【解】如图，以AA1为一条公共棱，在正方体ABCD－A1B1C1D1的上侧、左侧、后侧分别补上一个棱长与AA1相等的正方体，

易知直线AC1，AC2，AC3，AC4与棱AB，AD，AA1所成的角都相等.

故选择D.

【点评】本小题以正方体为载体，考查了空间两条直线、直线与平面的位置关系、空间角等问题．试题新颖且对空间想象能力要求较高．对于本题，补形法是首选方法，同时也可借助正方体模型（如正方体盒子，房间等）来寻找解题的突破口．

题组训练：

1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有（　　）

A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条

【答案】D

【解析】分类讨论，在底面A1B1C1D1中A1C1与BD垂直，在四个侧面中AD1、AB1、B1C、CD1与A1C1异面且成60°角，共有4条满足条件

2．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，FD折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为　　　　.

【答案】60°

【解析】折成三棱锥以后如图，显然，GH与IJ所成角就是直线AD与GH所成的角，即为∠AHG，因此，GH与IJ所成角为60°.

3．（2011大纲全国卷·文）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为　　　　.

【解析】取A1B1的中点F，连接EF，AF.

∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

EF∥B1C1，B1C1∥BC，

∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角

课时小结：

1．¡°公理3¡±揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．也是判定¡°点在直线上¡±的方法．

2．在异面直线所成的角定义中，空间一点O是任意选取的，根据等角定理，可以肯定异面直线a和b所成的角与a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而和点O的位置无关．因此，常把O点选在两条异面直线中的一条上，这样可少作一条平行线，还可把O选在图形的特殊位置上，然后利用三角形的有关知识加以解决，应用时注意异面直线所成角的范围，常常出现三角形内角的补角为异面直线所成角的情况．

3．证明若干点或若干线共面，通常有两种途径：

第一种途径是先由部分元素确定一个平面，其他元素也在该平面内；第二种途径是全体元素确定若干个平面，再让这些平面重合．

4．证明若干线共点，可先证明其中两条相交于一点，其他线也过该点即可．经常用到了¡°两个相交平面的公共点必然在它们的交线上¡±这一重要结论．

5．¡°公理4¡±这个公理表明，空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据．

作