高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版.docx

高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版.docx

《高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版

第2课时　导数与函数的极值、最值

题型一　用导数解决函数极值问题

命题点1　根据函数图像判断极值

例1　

（1）（2016·青岛模拟）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）的图像最有可能是（　　）

（2）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）

B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（1）

C．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（－2）

D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（2）

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）由f′（x）图像可知，x＝0是函数f（x）的极大值点，x＝2是f（x）的极小值点，故选C.

（2）由题图可知，当x<－2时，f′（x）>0；

当－2

当1

当x>2时，f′（x）>0.

由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

命题点2　求函数的极值

例2　（2016·泉州模拟）已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

解　

（1）由f（x）＝x－1＋，得f′（x）＝1－.

又曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，

得f′

（1）＝0，即1－＝0，解得a＝e.

（2）f′（x）＝1－，

①当a≤0时，f′（x）>0，f（x）为（－∞，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值；

②当a>0时，令f′（x）＝0，得ex＝a，即x＝lna，

当x∈（－∞，lna）时，f′（x）<0；

当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>0，

所以f（x）在（－∞，lna）上是减少的，

在（lna，＋∞）上是增加的，故f（x）在x＝lna处取得极小值且极小值为f（lna）＝lna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a>0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．

命题点3　已知极值求参数

例3　

（1）（2016·广州模拟）已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.

（2）（2016·福州质检）若函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，）B．[2，）

C．（2，）D．[2，）

答案　

（1）－7　

（2）C

解析　

（1）由题意得f′（x）＝3x2＋6ax＋b，则

解得或

经检验当a＝1，b＝3时，函数f（x）在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.

（2）若函数f（x）在区间（，3）上无极值，

则当x∈（，3）时，f′（x）＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈（，3）时，f′（x）＝x2－ax＋1≤0恒成立．

当x∈（，3）时，y＝x＋的值域是[2，）；

当x∈（，3）时，f′（x）＝x2－ax＋1≥0，

即a≤x＋恒成立，a≤2；

当x∈（，3）时，f′（x）＝x2－ax＋1≤0，

即a≥x＋恒成立，a≥.

因此要使函数f（x）在（，3）上有极值点，

实数a的取值范围是（2，）．

思维升华　

（1）求函数f（x）极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数f′（x）；

③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值．

（2）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．

（1）函数f（x）＝（x2－1）2＋2的极值点是（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝1或－1或0D．x＝0

（2）函数y＝2x－的极大值是________．

答案　

（1）C　

（2）－3

解析　

（1）∵f（x）＝x4－2x2＋3，

∴由f′（x）＝4x3－4x＝4x（x＋1）（x－1）＝0，得

x＝0或x＝1或x＝－1.

又当x<－1时，f′（x）<0；

当－10；

当0

当x>1时，f′（x）>0，

∴x＝0,1，－1都是f（x）的极值点．

（2）y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.

当x<－1或x>0时，y′>0；当－1

∴当x＝－1时，y取极大值－3.

题型二　用导数求函数的最值

例4　已知a∈R，函数f（x）＝＋lnx－1.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）求f（x）在区间（0，e]上的最小值．

解　

（1）当a＝1时，f（x）＝＋lnx－1，x∈（0，＋∞），

所以f′（x）＝－＋＝，x∈（0，＋∞）．

因此f′

（2）＝，即曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线斜率为.

又f

（2）＝ln2－，

所以曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y－（ln2－）＝（x－2），即x－4y＋4ln2－4＝0.

（2）因为f（x）＝＋lnx－1，

所以f′（x）＝－＋＝，x∈（0，e]．

令f′（x）＝0，得x＝a.

①若a≤0，则f′（x）>0，f（x）在区间（0，e]上是增加的，此时函数f（x）无最小值；

②若00，函数f（x）在区间（a，e]上是增加的，

所以当x＝a时，函数f（x）取得最小值lna；

③若a≥e，则当x∈（0，e]时，f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上是减少的，

所以当x＝e时，函数f（x）取得最小值.

综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；

当0

当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为.

思维升华　求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

（1）求函数在（a，b）内的极值；

（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；

（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

　设函数f（x）＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f（x）>a，则实数a的取值范围是________________．

答案　（－∞，）

解析　由题意知，f′（x）＝3x2－x－2，

令f′（x）＝0，得3x2－x－2＝0，

解得x＝1或x＝－，

又f

（1）＝，f（－）＝，

f（－1）＝，f

（2）＝7，

故f（x）min＝，∴a<.

题型三　函数极值和最值的综合问题

例5　已知函数f（x）＝（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值．

解　

（1）f′（x）＝

＝.

令g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c，

因为ex>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c的零点且f′（x）与g（x）符号相同．

又因为a>0，所以当－30，

即f′（x）>0，

当x<－3或x>0时，g（x）<0，即f′（x）<0，

所以f（x）的增区间是（－3,0），减区间是（－∞，－3），（0，＋∞）．

（2）由

（1）知，x＝－3是f（x）的极小值点，

所以有

解得a＝1，b＝5，c＝5，

所以f（x）＝.

因为f（x）的递增区间是（－3,0），

递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞），

所以f（0）＝5为函数f（x）的极大值，

故f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值取f（－5）和f（0）中的最大者，而f（－5）＝＝5e5>5＝f（0），

所以函数f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5.

思维升华　求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间（或开区间）上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．

　若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－5,0）B．（－5,0）

C．[－3,0）D．（－3,0）

答案　C

解析　由题意，得f′（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），

故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上是增函数，

在（－2,0）上是减函数，作出其图像如图所示，

令x3＋x2－＝－，得

x＝0或x＝－3，则结合图像可知，

解得a∈[－3,0）．

3．利用导数求函数的最值

典例　（12分）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a>0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值．

思维点拨　

（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域．

（2）先研究f（x）在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．（3）两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．

规范解答　

解　

（1）f′（x）＝－a（x>0），

①当a≤0时，f′（x）＝－a>0，即函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）．[2分]

②当a>0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，

当00；

当x>时，f′（x）＝<0，

故函数f（x）的递增区间为，

递减区间为.[4分]

综上可知，当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）；

当a>0时，函数f（x）的递增区间为，递减区间为.[5分]

（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1,2]上是减函数，所以f（x）的最小值是f

（2）＝ln2－2a.[6分]

②当≥2，即0

（1）＝－a.[7分]

③当1<<2，即

（2）－f

（1）＝ln2－a，

所以当

（1）＝－a；

当ln2≤a<1时，最小值为f

（2）＝ln2－2a.[11分]

综上可知，

当0

当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2－2a.[12分]

用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：

第一步：

（求导数）求函数f（x）的导数f′（x）；

第二步：

（求极值）求f（x）在给定区间上的单调性和极值；

第三步：

（求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值；

第四步：

（求最值）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值；

第五步：

（反思）反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．

1．函数f（x）＝x3－4x＋4的极大值为（　　）

A.B．6C.D．7

答案　A

解析　f′（x）＝x2－4＝（x＋2）（x－2），

f（x）在（－∞，－2）上是增加的，在（－2,2）上是减少的，

在（2，＋∞）上是增加的，

所以f（x）的极大值为f（－2）＝.

2