专题二立体几何线面垂直面面垂直汇总.docx

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专题二立体几何线面垂直面面垂直汇总

专题二：

立体几何---线面垂直、面面垂直

一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1．如图1，在正方体中，为的中点，AC交BD于点O，求证：

平面MBD．

证明：

连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，

∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥．

设正方体棱长为，则，．

　　在Rt△中，．∵，∴．∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD．

评注：

在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：

BC⊥平面PAC．

　证明：

在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

评注：

已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

　　一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：

线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：

，．

　　证明：

∵平面ABCD，

　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证．

评注：

本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：

AH⊥平面BCD．

证明：

取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵，∴．

∵，∴．

又，∴平面CDF．

∵平面CDF，∴．

又，，　

∴平面ABE，．

∵，，，

∴平面BCD．

评注：

本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：

平面AEF⊥平面PBC．

证明：

∵AB是圆Ｏ的直径，∴．

∵平面ABC，平面ABC，

∴．∴平面APC．

∵平面PBC，　

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：

证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

10．如图,在空间四边形SABC中,SA⊥平面ABC,∠ABC=90︒,AN⊥SB于N,AM⊥SC于M。

求证:

①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM

分析:

①要证AN⊥BC,转证,BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM,转证,SC垂直于平面ANM内的两条相交直线,即证SC⊥AM,SC⊥AN。

要证SC⊥AN,转证AN⊥平面SBC,就可以了。

证明:

①∵SA⊥平面ABC

∴SA⊥BC

又∵BC⊥AB,且ABSA=A

∴BC⊥平面SAB

∵AN平面SAB

∴AN⊥BC

②∵AN⊥BC,AN⊥SB,且SBBC=B

∴AN⊥平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN⊥SC

又∵AM⊥SC,且AMAN=A

∴SC⊥平面ANM

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40

（1）求证：

AB⊥BC；

（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．

求证：

平面MND⊥平面PCD

【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则ENCDAM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．

∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．

【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．

［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．

图9—42

求证：

平面MNF⊥平面ENF．

【证明】∵M、N、E是中点，∴∴

∴即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN平面MNF，

∴平面MNF⊥平面ENF．

4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

图9—45

（1）求证：

平面PCE⊥平面PCD；

（2）求点A到平面PCE的距离．

（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，

又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，

∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF面PAD∴CD⊥AF，

又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GFCD又AECD，

∴GFAE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG平面PEC，

∴平面PEC⊥平面PCD．

（2）【解】由

（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC

∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与△PCD中，∠P为公共角，

而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴，设AD=2，∴PF=，PC=，

∴FH=∴A到平面PEC的距离为．

【拓展练习】

一、备选题

1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．

（1）求证：

平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．

∵BC平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．

2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝a，EC＝a．

（1）求证：

平面ADE⊥平面ACC′A′；

（2）求截面△ADE的面积．

（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，

则MN∥A′A∥B′B，

∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′

∴B′M⊥平面A′ACC′．

设MN交AE于P，

∵CE＝AC，∴PN＝NA＝．

又DB＝a，∴PN＝BD．

∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，

∴PD∥B′M．

∵B′M⊥平面ACC′A′，

∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ACC′A′．

（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，

∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝a，

AE＝a．

∴S△ADE＝×AE×PD

＝×．

二、练习题