高等数学教学大纲.docx

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高等数学教学大纲

高等数学教学大纲

高等数学A—物理计算机类专业

一、说明

（一）课程性质

高等数学A是非数学理工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

它内容丰富，学时较多，既要为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，为学生进一步学好其它数学奠定基础；又具有培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

本大纲适应物理类、计算机类专业2006级学生，在大学一年级开设

开课单位：

数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过本课程的学习，要使学生获得：

函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用，常微分方程，向量代数与空间解极几何，多元函数微积分学及其应用，无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

通过各个教学环节逐步培养学生以下几方面的能力：

比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。

使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。

为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数（包括傅立叶级数）；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

（四）教学时数及学分

总学时:

180学时，分两学期授课，每学期各90学时；总学分:

2×5学分=10学分

（五）教学方式

（1）用“案例教学法”引入数学概念

在微积分的教学过程中,对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。

（2）用“讨论法”展开习题课的教学

在高等数学习题课的教学过程中，提出问题，并引导大家讨论问题，不但可以达到释难解疑的目的，而且还能培养锻炼学生的表达能力，激发学生学习热情。

（3）用“对比法”引入新的数学概念与运算

在高等数学课程的教学过程中，根据教学内容的需要，适时采用对比法引入新的数学概念与运算。

这样，有利于学生消化吸收新的数学概念与运算，达到事半功倍的教学效果。

（4）适时地利用直观性教学原则处理抽象的数学概念

在高等数学课程的教学过程中，适时地利用直观性教学原则处理抽象的数学概念是非常重要的.直观性教学法不但可以帮助学生理解抽象的数学概念,而且还可以帮助学生记忆,培养学生形象思维能力。

（5）《高等数学》教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。

在讲授传统内容时，应注意运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系。

淡化运算技巧训练。

二、本文

高等数学A

（一）

一函数、极限、连续（16学时）

教学要点：

集合的概念，函数的概念与运算性质、函数作图，几类特殊函数；函数的几何特性；极限的概念及其性质、计算；无穷小的比较；函数的连续与间断；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其应用。

教学内容：

1）函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2）复合函数和反函数的概念。

3）基本初等函数的性质及其图形。

4）建立简单实际问题中的函数关系式。

5）极限的概念（对极限的

-N、

-

定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出

求N或

不作过高的要求。

），极限四则运算法则及换元法则。

6）极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。

7）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。

等价无穷小求极限。

8）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，间断点的概念，判别间断点的类型。

9）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。

二一元函数微分学（28学时）

教学要点：

导数和微分的概念，导数的四则运算及其复合运算，初等函数的导数计算，一阶微分形式不变性；五个微分中值定理；洛必达（L’Hospital）法则，用导数判断函数的单调性、极值与最值、凹凸性与拐点、曲率；函数作图。

教学内容：

1）导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

用导数描述一些物理量。

2）导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3）高阶导数的概念与计算。

4）初等函数一阶、二阶导数的求法。

5）隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。

6）罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。

7）洛必达（L’Hospital）法则求不定式的极限。

8）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

较简单的最大值和最小值的应用问题。

9）用导数判断函数图形的凹凸性，拐点，函数的图形（包括水平和铅直渐进线）。

10）有向弧与弧微分的概念。

曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11）求方程近似解的二分法和切线法。

三一元函数积分学（30学时）

教学要点：

原函数与不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

定积分的概念及性质，可积条件，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式与定积分的计算。

定积分的物理应用与几何应用。

教学内容：

1）原函数与不定积分的概念及性质。

不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2）定积分的概念及性质，可积条件。

有理函数的积分。

3）变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4）定积分的换元法和分部积分法。

5）广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。

6）定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）。

7）用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。

四向量代数与空间解析几何（16学时）

教学要点：

向量的概念及其表，向量的运算；平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程。

教学内容：

1）空间直角坐标系。

2）向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4）平面的方程和直线的方程及其求法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5）曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6）空间曲线的参数方程和一般方程。

7）曲面的交线在坐标平面上的投影。

高等数学A

（二）

五多元函数微分学（18学时）

教学要点：

多元函数的概念，极限与连续性的概念；偏导数和全微分的概念及其与连续的关系，计算；链式法则；高阶导数；隐函数的导数，微分法的几何应用；多云函数极值的概念及其计算。

教学内容：

1）多元函数的概念。

2）二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3）偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4）方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5）复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数。

6）隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。

7）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线方程的求法。

8）多元函数极值和条件极值的概念，二元函数的极值。

条件极值的拉格朗日乘数法，一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

六多元函数积分学（32学时）

教学要点：

二重积分、三重积分的概念及其性质；二重积分、三重积分的计算；曲线积分与曲面积分的概念、性质与计算；格林（Green）公式、高斯（Guass）、斯托克斯（Stokes）公式。

各类积分的几何应用与物理应用。

教学内容：

1）二重积分、三重积分的概念，重积分的性质。

2）二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

3）两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4）会计算两类曲线积分。

5）格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

6）两类曲面积分的概念及高斯（Guass）、斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。

7）散度、旋度的计算公式。

8）重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。

七无穷级数（22学时）

教学要点：

无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数基本性质；正项级数的审敛法；条件收敛与绝对收敛的概念及其判别；幂级数的概念与性质、和函数的性质；初等函数的幂级数展开；近似计算；付利叶级数的概念、性质，函数的三角级数展开。

教学内容：

1）无穷级数收敛、发散以及和的概念，无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2）几何级数和p-级数的收敛性。

3）正项级数的比较审敛法，正项级数的比值审敛法。

4）交错级数的莱布尼兹定理，交错级数的截断误差的估计。

5）无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6）函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7）比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。

8）幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9）函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10）

和

的马克劳林（Maclaurin）展开式，一些简单函数的幂级数展开。

11）幂级数在近似计算上的简单应用。

12）函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，定义在

和

上函数的傅里叶级展开，定义在

上函数展开为正弦或余弦级数。

八常微分方程（18学时）

教学要点：

微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念，一阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的通解与特解的求解。

应用。

教学内容：

1）微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2）变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，用变量代换求方程的思想。

3）解全微分方程。

4）用降阶法解下列方程：

。

5）二阶线性微分方程解的结构。

6）二阶常系数齐次线性微分方程的解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7）自由项形如

、

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8）微分方程解一些简单的几何和物理问题。

三、参考教材

1、《高等数学》（第五版）上、下册，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社

2、《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

3、《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

4、《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

5、《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

线性代数—物理计算机类专业

一、说明

（一）课程性质

线性代数在高等理工科类各专业的教学计划中是一门必修的基础理论课，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。

本大纲适应物理类、计算机类专业2006级学生，在大学一年级第一学期开设

开课单位：

数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过教学，使学生掌握该课程的理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1、行列式；2、矩阵；3、向量；4、线性方程组；5、矩阵的特征值与特征向量；6、二次型.

（四）教学时数及学分

学时：

54学时，学分：

3分。

（五）教学方式

讲授与讨论相结合，同时注重基本理论和实际问题的密切结合．

二、本文

一行列式（8学时）

教学要点：

二阶、三阶行列式的概念与计算，n阶行列式的概念与性质、展开定理，克来姆法则

教学内容：

1）行列式的概念，行列式的定义与性质。

2）应用行列式的性质和行列式的展开定理计算行列式。

3）克来姆法则。

4）应用克来姆法则解二、三元线性方程组。

重点：

利用性质、展开法则计算行列式

难点：

计算行列式

二矩阵（8学时）

教学要点：

矩阵的概念、性质、运算，几种特殊的矩阵，逆矩阵，矩阵的秩，矩阵的初等变换

教学内容：

1）矩阵概念，单位矩阵、对角阵、对称阵等性质；

2）矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；

3）逆阵的概念，逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法；

4）矩阵的初等变换，满秩矩阵定义和性质，矩阵秩的概念及其求法，分块矩阵及其运算。

重点：

矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法、矩阵的秩。

三向量（10学时）

教学要点：

向量的概念及其相关运算；线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。

n维向量空间、子空间、基底，维数与坐标等概念

教学内容：

1）n维向量的概念，向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的重要结论；

2）向量组的最大无关组与向量组秩的概念，

3）n维向量空间、子空间、基底，维数与坐标等概念

重点：

线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。

难点：

线性相关、线性无关，向量组的最大无关组和向量组的秩。

四线性方程组（8学时）

教学要点：

线性方程组的概念、解的解构，基础解系、通解与特解。

教学内容：

1）齐次线性方程组有非零解的充要条件及齐次线性方程组有解的充要条件。

2）齐次线性方程组的基础解系通解等概念及解的结构。

3）用行初等变换求线性方程组通解的方法。

重点：

掌握求解方程组解的方法、齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系、非齐次线性方程组有解的充要条件。

五矩阵的特征值与特征向量（10学时）

教学要点：

矩阵的特征值与特征向量的概念及其求法，矩阵对角化的充要条件，向量组正交化。

教学内容：

1）矩阵的特征值与特征向量的概念及其求法。

2）相似矩阵的概念和性质及矩阵对角化的充要条件，实对称矩阵的相似对角阵。

3）线性无关的向量组正交规范化的方法。

4）正交变换与正交矩阵的概念和性质。

重点：

矩阵的特征值、特征向量及其求法，矩阵对角化及其求法。

难点：

矩阵对角化及其求法。

六二次型（10学时）

教学要点：

二次型及矩阵表示；化二次型为标准形，二次型的正定性及其判别法。

教学内容：

1）二次型及矩阵表示，正交变换法化二次型为标准形；

2）惯性定理、二次型的秩和二次型的正定性及其判别法。

重点：

利用正交变换把二次型化为标准型。

难点：

利用正交变换把二次型化为标准型。

三、参考教材

《线性代数》同济大学数学教研室《线性代数》（第三版）同济大学出版社

《线性代数》金一明中国物资出版社

《线性代数》同济大学数学教研室《线性代数》（第四版）高等教育出版社

高等数学B—生化专业

一、说明

（一）课程性质

高等数学B是理工科本科对数学要求较低的专业（如生化专业）的一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

它内容丰富，学时较多，既要为理工类专业后继课程提供基本的数学工具，为学生进一步学好其它数学奠定基础；又具有培养学生应用数学知识解决本专业实际问题的意识与能力的任务，因此可以说《高等数学》是基础中的基础。

本大纲适应生化学院各专业2006级学生，在大学一年级开设

开课单位：

数理与信息科学学院数学系

（二）教学目的及要求

通过本课程的学习，要使学生获得：

函数、极限、连续、一元函数微积分学及其应用，常微分方程，向量代数与空间解极几何，多元函数微积分学及其应用等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

通过各个教学环节逐步培养学生以下几方面的能力：

比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力。

使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。

为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

（三）教学内容

1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.常微分方程4.向量代数和空间解析几何；5.多元函数微积分学等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。

（四）教学时数及学分

总学时:

108学时，分两学期授课，总学分:

6学分；

部分专业72学时在第一学期开设，总学分：

4学分。

（五）教学方式

以讲授为主。

在微积分的教学过程中,对于极限、导数、微分、不定积分、定积分、微分方程、向量、偏导数、全微分、重积分、级数、极值与最值等重要数学概念都通过不同的实例引入，以增加学生的学习兴趣和学习动力，为学生利用所学知识解决类似的实际问题奠定基础。

《高等数学》教学内容的系统性和严谨性是必要的，但在教学上不能过分形式化。

在讲授传统内容时，应注意运用现代数学的观点、概念、方法以及术语等符号，加强与其它不同分支之间的相互渗透，不同内容之间的相互联系。

淡化运算技巧训练。

二、本文

一函数、极限、连续（15学时）

教学要点：

集合的概念，函数的概念与运算性质、函数作图，几类特殊函数；函数的几何特性；极限的概念及其性质、计算；无穷小的比较；函数的连续与间断；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质及其应用。

教学内容：

1）函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

2）复合函数和反函数的概念。

3）基本初等函数的性质及其图形。

4）建立简单实际问题中的函数关系式。

5）极限的概念（对极限的

-N、

-

定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出

求N或

不作过高的要求。

），极限四则运算法则及换元法则。

6）极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。

7）无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。

等价无穷小求极限。

8）函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，间断点的概念，判别间断点的类型。

9）初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）。

二一元函数微分学（21学时）

教学要点：

导数和微分的概念，导数的四则运算及其复合运算，初等函数的导数计算，一阶微分形式不变性；五个微分中值定理；洛必达（L’Hospital）法则，用导数判断函数的单调性、极值与最值、凹凸性与拐点、曲率；函数作图。

教学内容：

1）导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

用导数描述一些物理量。

2）导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3）高阶导数的概念与计算。

4）初等函数一阶、二阶导数的求法。

5）隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；反函数的导数。

6）罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。

7）洛必达（L’Hospital）法则求不定式的极限。

8）函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

较简单的最大值和最小值的应用问题。

9）用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，函数图形的描绘（包括水平和铅直渐进线）。

10）有向弧与弧微分的概念。

曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径。

11）方程近似解的二分法和切线法。

三一元函数积分学（24学时）

教学要点：

原函数与不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

定积分的概念及性质，可积条件，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式与定积分的计算。

定积分的物理应用与几何应用。

教学内容：

1）原函数与不定积分的概念及性质。

不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2）定积分的概念及性质，了解可积条件。

会求简单的有理函数的积分。

3）变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4）定积分的换元法和分部积分法。

5）广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。

6）定积分的近似计算法（矩形法、梯形法和抛物线法）。

7）用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。

四常微分方程（14学时）

教学要点：

微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念，一阶微分方程的求解；二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的通解与特解的求解。

应用。

教学内容：

1）微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2）变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，用变量代换求方程的思想。

3）解全微分方程。

4）用降阶法解下列方程：

。

5）二阶线性微分方程解的结构。

6）二阶常系数齐次线性微分方程的解法，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7）自由项形如

、

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

8）微分方程解一些简单的几何和物理问题。

五向量代数与空间解析几何（12学时）

教学要点：

向量的概念及其表，向量的运算；平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程。

教学内容：

1）空间直角坐标系。

2）向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3）单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4）平面的方程和直线的方程及其求法，利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5）曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6）空间曲线的参数方程和一般方程。

7）曲面的交线在坐标平面上的投影。

六多元函数微分学（12学时）

教学要点：

多元函数的概念，极限与连续性的概念；偏导数和全微分的概念及其与连续的关系，计算；链式法则；高阶导数；隐函数的导数，微分法的几何应用；多云函数极值的概念及其计算。

教学内容：

1）多元函数的概念。

2）二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3）偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4）方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5）复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数。

6）隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。

7）曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线方程的求法。

8）多元函数极值和条件极值的概念，二元函数的极值。

条件极值的拉格朗日乘数法，一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

七多元函数积分学（10学时）

教学要点：

二重积分、三重积分的