数学与程序设计.docx
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数学与程序设计
数学与程序设计
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,是处理客观问题的强有力的工具,几乎在一切自然科学领域中都起着基础性的作用。
数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性，还在于它应用的广泛性。
数学方法在程序设计中的运用包括两个方面：
化简题目和直接解决问题。
应用数学方法化简题目是解决问题必不可少的重要步骤，也是分析题目的基本方法。
应用数学方法化简题目，发掘题目中的隐含条件，寻求更多的“已知”条件，从而为建立数学模型提供依据。
而用数学方法直接解题，其效率更是一般算法所不可及的。
下面以具体的问题为例，介绍有关的数学知识和数学方法，体会利用数学方法解决问题时的乐趣。
一．数论基础
1．欧几里德转辗相除法利用gcd（a,b）=gcd（b,amodb）求a，b的最大公约数：
functiongcd（a,b:
longint）:
longint;
begin
ifb=0thengcdd:
=a
elsegcd:
=gcd（b,amodb）;
end;
思考：
如何把上述算法写成迭代形式？
2．扩展的欧几里德算法如果gcd（a,b）=d，一定存在整数x和y满足gcd（a,b）=ax+by。
求d及满足gcd（a,b）=ax+by的整数对（x，y）的算法如下：
functionexgcd（a,b:
longint;varx,y:
longint）:
longint;
var
t:
longint;
begin
ifb=0then
begin
exgcd:
=a;
x:
=1;
y:
=0;
end
else
begin
exgcd:
=exgcd（b,amodb,x,y）;
t:
=x;
x:
=y;
y:
=t-（adivb）*y;
end;
end;
注释1
思考：
1）如何把上述算法写成迭代形式？
2）满足gcd（a,b）=ax+by的整数对（x，y）是否是唯一的？
3.求解二元一次不定方程ax+by=c整数解
我们的任务是解二元一次不定方程
ax+by=c①
其中a,b,c都是整数，所求的解（x,y）也是整数
关于方程①的可解性，有下面的两个重要的结论：
（1）设gcd（a,b）表示整数a,b的最大公约数。
方程①有解的充分必要条件是gcd（a,b）|c。
（记号“x|y”表示x能整除y，即存在整数k，使y=kx）。
（2）如果（x0,y0）是方程①的一组解，则对任何整数t,（x0+bt,y0-at）也都是方程①的解。
下面我们讨论具体求解的方法。
为了避免计算中对负数和0的讨论，我们假定a>0，b>0，并且a>=b。
假定方程①有解，即系数满足：
gcd（a,b）|c，这时，c’=c/gcd（a,b）一定是个整数。
我们先讨论下面的方程：
ax+by=gcd（a,b）②
根据上述扩展的欧几里德算法，一定存在整数x0和y0满足ax+by=gcd（a,b）。
显然，如果（x0,y0）是方程②的一组解，则（c’x0,c’y0）也是方程①的一组解，即
a（c’x0）+b（c’y0）=（c’f）=c。
下面给出求二元一次不定方程ax+by=c一组整数解（x0,y0）的算法：
procedureequation（a,b,c:
longint;varx0,y0:
longint）;
vard,x,y:
longint;
begin
d:
=exgcd（a,b,x,y）;{参见扩展的欧几里德算法}
ifcmodd<>0then
begin
writeln（'noanswer'）;
halt;
endelse
begin
x0:
=x*（cdivd）;
y0:
=y*（cdivd）;
end;
end;
说明：
（1）如果a,b中有一个小于0，例如a<0，可以令x’=-x，解方程
ax’+by=c。
求解后，再令x=-x’就可以了。
（2）利用前面讲过的性质：
“如果（x0,y0）是方程①的一组解，则对任何整数t,（x0+bt,y0-at）也都是方程①的解”。
可以通过任何整数t得到方程①的其余解。
方程ax+by=c整数解的应用
例1：
有三个分别装有a升水、b升水和c升水的量筒（c>b>a>0）,现c筒装满水，
问能否在c筒中量出d升水（a+b+d>=c>d>0）。
若能，请列出一种方案。
算法分析：
量水过程实际上就是倒来倒去，每次倒的时候总有如下几个持点：
1.总有一个筒中的水没有变动；
2．不是一个筒被倒满就是另一个筒被倒光；
3．c筒仅起中转作用，而本身容积除了必须足够装下a筒和b筒的全部水外，别无其它限制。
因此，问题的实质是水总是按a筒或b筒的容积倒来倒去，最后量出d升水来。
即通过c筒的中转作用，把倒满a筒一次记为a+1次，从a筒中倒出a升记为a-1次；对b筒同样如此定义。
若a筒累计x次，b筒累计y次,使得ax+by=c-d，则c中量出d升水。
于是，能否在c筒中量出d升水，取决于方程ax+by=c-d是否存在整数解。
参考程序如下:
programmw;
type
node=array[0..1]oflongint;
var
a,b,c:
node;
d,step,x,y:
longint;
functionexgcd（a,b:
longint;varx,y:
longint）:
longint;
vart:
longint;
begin
ifb=0then
begin
exgcd:
=a;;x:
=1;y:
=0;
end
else
begin
exgcd:
=exgcd（b,amodb,x,y）;
t:
=x;x:
=y;y:
=t-（adivb）*y
end;
end;
procedureequation（a,b,c:
longint;varx0,y0:
longint）;
vard,x,y:
longint;
begin
d:
=exgcd（a,b,x,y）;
ifcmodd>0then
begin
writeln（'noanswer'）;
halt;
endelse
begin
x0:
=x*（cdivd）;
y0:
=y*（cdivd）;
end;
end;
procedurefill（vara,b:
node）;{a筒向b筒倒}
vart:
longint;
begin
ifa[1]=a[1]
elset:
=b[0]-b[1];
a[1]:
=a[1]-t;
b[1]:
=b[1]+t
end;
begin
write（'a,b,c,d='）;
readln（a[0],b[0],c[0],d）;
equation（a[0],b[0],c-d,x,y）;
step:
=0;
a[1]:
=0;b[1]:
=0;c[1]:
=c[0];
writeln（step:
5,':
',a[1]:
5,b[1]:
5,c[1]:
5）;
ifx>0then
repeat
ifa[1]=0thenfill（c,a）else
ifb[1]=b[0]thenfill（b,c）elsefill（a,b）;
inc（step）;
writeln（step:
5,':
',a[1]:
5,b[1]:
5,c[1]:
5）;
untilc[1]=d
else
repeat
ifb[1]=0thenfill（c,b）else
ifa[1]=a[0]thenfill（a,c）elsefill（b,a）;
inc（step）;
writeln（step:
5,':
',a[1]:
5,b[1]:
5,c[1]:
5）;
untilc[1]=d;
end.
4．素数的快速测试----Miller-Rabbin算法
同余若amodc=bmodc,称a和b关于模c同余，记作a≡b（modc）.
伪素数对正整数n，如果an-1≡1（modn）,则称n是基于a的伪素数。
如果一个数是伪素数，它几乎肯定是素数。
另一方面，如果一个数不是伪素数，它一定不是素数。
计算abmodc
（1）直接迭代法求abmodn根据模算术的基本知识（a*b）modc=（（amodc）*b）modc得到abmodn的迭代式
算法描述如下：
functionf1（a,b,n:
longint）:
longint;
vard,i:
longint;
begin
d:
=a;
fori:
=2tobdod:
=dmodn*a;
d:
=dmodn;
f1:
=d;
end;
（2）加速叠代法求abmodn
把b化为二进制（btbt-1.···b1b0）,这样有：
b=bt2t+bt-12t-1+···+b121+b020（其中bi=0或1）
bt2t+bt-12t-1+···+b121+b020
于是abmodn=（a）modn
=（（
算法描述：
functionf2（a,b,n:
longint）:
longint;
vard,t:
longint;
begin
d:
=1;t:
=a;
whileb>0do
begin
ift=1thenbegin
f:
=d;exitend ;
ifbmod2=1thend:
=d*tmodn;
b:
=bdiv2;
t:
=t*tmodn;
end;
f2:
=d
end;
Miller-Rabbin算法是基于概率论的素数测试算法，对于an-1≡1（modn），随机选取s个基a,若an-1≡1（modn）都成立，则n为素数，否则为合数。
下面给出的Miller-Rabbin算法采用计算an-1modn的函数f2（a,n-1,n）,对于随机选取s个基a,f2（a,n-1,n）都等于1，则认为n为素数。
FunctionMiller_Rabbin（n:
longint）:
boolean;
VarI,a:
longint;
Bl:
Boolean;
functionf2（a,b,n:
longint）:
longint;
vard,t:
longint;
begin
d:
=1;t:
=a;
whileb>0do
begin
ift=1thenbegin
f:
=d;exitend ;
ifbmod2=1thend:
=d*tmodn;
b:
=bdiv2;
t:
=t*tmodn;
end;
f2:
=d
end;
begin
i:
=0;
bl:
=tuue;
while（ibegin
int（i）;
a:
=random（n-2）+2;
iff2（a,n-1,n）<>1thenbl:
=false;
end;
miller_rabbin:
=bl
end;
二组合数学基础
1．加法原理与乘法原理
1．1加法原理：
做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn种不同的方法。
1．2乘法原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有种mn不同的方法，那么完成这件事有N=m1*m2*...*mn种不同的方法。
1．3两个原理的区别：
一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。
2．排列与组合的概念与计算公式
2．1排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p（n,m）表示.
p（n,m）=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）=n!
/（n-m）!
（规定0!
=1）.
2．2组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c（n,m）表示.
c（n,m）=p（n,m）/m!
=n!
/（（n-m）!
*m!
）；c（n,m）=c（n,n-m）;
2．3n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p（n,r）/r=n!
/r（n-r）!
.
2．4n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!
/（n1!
*n2!
*...*nk!
）.
2．5可重复组合
如果上述组合定义中每一个元素可重复选取，则称为n元集中的可重复r-组合。
n元集中的可重复r-组合的总数为C（n+r-1,r）。
证明：
从n元集中可重复地选取r个元素，设第一个元素选x1个，第二个元素选x2个，……，第n个元素选xn个，则议程x1+x2+……+xn=r的非负整数解的个数就是n元集中的可重复r-组合的总数。
将r个1排成一排，插入n-1个分隔符，把r个1分成n段，n段中的1的个数即是方程的一个解。
插入n-1个分隔符的过程实际上就是从n+r-1个位置中选择n-1个位置放分隔符，其余r个位置放1，共有C（n+r-1,n-1）=C（n+r-1,r）。
可重复组合也可解释为：
有n类元素,每类的个数无限,从中取出r个元素的组合。
3.排列与组合的产生算法
3．1排列的产生
方法１：
（递归，深度优先产生）
程序如下：
programpailei;
constm=4;
vara:
array[1..m]ofinteger;
b:
array[1..m]ofboolean;
procedureprint;
vari:
integer;
begin
fori:
=1tomdo
write（a[i]）;
writeln;
end;
proceduretry（dep:
integer）;
vari:
integer;
begin
fori:
=1tomdo
if b[i]then
begin
a[dep]:
=i;b[i]:
=false;
ifdep=mthenprintelsetry（dep+1）;
b[i]:
=true;
end;
end;
begin
fillchar（b,sizeof（b）,true）;
try
（1）;
end.
方法２．根据上一个排列产生下一个排列．
程序如下：
programpailei;
constm=5;
vara:
array[1..m]ofinteger;
i,j,temp,k,l:
integer;
procedureprint;
vari:
integer;
begin
fori:
=1tomdo
write（a[i]）;
writeln;
end;
begin
fori:
=1tomdoa[i]:
=i;
repeat
print;
i:
=m-1;
while（i>0）and（a[i]>a[i+1]）doi:
=i-1;
ifi>0then
begin
j:
=m;
while a[j]=j-1;
temp:
=a[i];a[i]:
=a[j];a[j]:
=temp;
k:
=i+1;l:
=m;
whilek begin
temp:
=a[k];a[k]:
=a[l];a[l]:
=temp;
k:
=k+1;l:
=l-1
end;
end;
untili=0;
end.
3.2组合的产生算法
算法１：
（递归，深度优先产生）
程序如下：
programzuhe;
constn=6;m=4;
vara:
array[0..m]ofinteger;
i,j:
integer;
procedureprint;
vari:
integer;
begin
fori:
=1tomdowrite（a[i]）;
writeln;
end;
proceduretry（dep:
integer）;
vari:
integer;
begin
fori:
=a[dep-1]+1 ton-（m-dep）do
begin
a[dep]:
=i;
ifdep=mthenprintelsetry（dep+1）;
end
end;
begin
a[0]:
=0;
try
（1）;
end.
算法２：
根据前一个组合产生下一个组合
程序如下：
programzuhe;
constn=6;m=4;
vara:
array[1..m]ofinteger;
i,j:
integer;
procedureprint;
vari:
integer;
begin
fori:
=1tomdowrite（a[i]）;
writeln;
end;
begin
fori:
=1tomdo
a[i]:
=i;
repeat
print;
i:
=m;
while（i>0）and（a[i]=n-（m-i））dodec（i）;
ifi>0then
begin
a[i]:
=a[i]+1;
forj:
=i+1tomdoa[j]:
=a[j-1]+1;
end;
untili=0;
end.
4．二项式定理
C（n,0）+C（n,1）+…+C（n,n-1）+C（n,n）=2n
证明：
等式左边包含了n元集的从零个元素到n个元素的全部组合，每一种组合与一个n位二进制数一一对应，对应方式为：
n位二进制数共有n位，每一位对应n元集的一个元素，如果n位二进制数某一位上为1，则表示选中该位对应的元素，否则表示未选中该位对应的元素，这样一个n位二进制数就对应一种组合；反过来每一种组合同样对应一个n位二进制数，而n位二进制数的总数为2n。
杨辉三角
11112113311464115101051
1615201561
172135352171
18285670562881
193684126126843691
……
杨辉三角的每一行中的第一个数和最后一个数均为1,其余位置上的数可利用其上一行中的数递推计算出来,其值为上一行中位于同一列和前一列的两个数之和。
5.鸽巢原理
5.1简单形式
如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。
例2：
在13个人中必存在两个人，他们的生日在同一月份里。
例3：
设有n对已婚夫妇。
为保证有一对夫妇被选出，至少要从这2n个人中选出多少人？
（n+1）
5.2加强形式
令q1,q2,...qn为正整数。
如果将
q1+q2+...+qn-n+1个物体放入n个盒子内,那么或者第一个盒子至少含有q1个物体,或者第二个盒子
至少含有q2个物体,...,或者第n个盒子含有qn个物体.
例4:
一篮子水果装有苹果、香蕉、和橘子。
为了保证篮子内或者至少8个苹果或者至少6个香蕉或者至少9
个橘子，则放入篮子中的水果的最小件数是多少？
（21件）
6.容斥原理及应用
设S为有穷集，P1，P2，……，Pn是n条性质。
S中的任一元素x对于这n条性质可能具有其中的一种、二种、……、n种，也可能任何性质都没有。
设Ai（i=1,2,……,n）表示S中具有Pi的元素构成的子集。
这时容斥原理可叙述为：
定理：
S中不具有性质P1，P2，……，Pn的元素数是：
如:
m=3,时上式为：
=|S|-（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）－|A1∩A2∩A3|
推论:
至少具有性质P1,P2,...Pm之一的集合S的物体的个数有：
|A1∪A2∪....∪Am|=|S|—|A1∩A2∩...∩Am|=
∑|Ai|-∑|Ai∩Aj|+∑|Ai∩Aj∩Ak|+...+（-1）m+1|A1∩A2∩...∩Am|
例4：
求从1到1000不能被5，6，和8整除的整数的个数？
（1000-（200+166+125）+（33+25+41）-8=600）
7.常见递推关系及应用
7.1算术序列
每一项比前一项大一个常数d；
若初始项为h0：
则递推关系为hn=hn-1+d=h0+nd；
对应的各项为：
h0，h0+d，h0+2d，....,h0+nd;
前n项的和为（n+1）h0+dn（n+1）/2
例5:
1,2,3,...
例6:
1,3,5,7...等都是算术序列。
7.2几何序列
每一项是前面一项的常数q倍
若初始项为h0：
则递推关系为hn=h0qn-1q=h0qn；
对应的各项为:
h0，h0q1，h0q2，....,h0qn
例7:
1,2,4,8,16,...
例8:
5,15,45,135,...等都是几何序列;
前n项和为（（qn+1-1）/（q-1））h0
7.3Fibonacci序列
除第一、第二项外每一项是它前两项的和；
若首项为f0为0,则序列为0，1，1，2，3，5，8...递推关系为（n>=2）fn=fn-1+fn-2
前n项的和Sn=f0+f1+f2+...+fn=fn+2-1
例9:
以下是Fibonacci的示例:
（1）楼梯有n阶台阶,上楼可以一步上1阶,也可以一步上2阶,编一程序计算共有多少种不同的走法?
（2）有一对雌雄兔,每两个月就繁殖雌雄各一对兔子.问n个月后共有多少对兔子?
（3）有n*2的一个长方形方格,用一个1*2的骨牌铺满方格。
求铺法总数？
7.4错位排列
首先看例题：
例10：
在书架上放有编号为1,2,....n的n本书。
现将n本书全部取下然后再放回去,当放回去时要求每本书都不能
放在原来的位置上。
例如:
n=3时:
原来位置为:
123
放回去时只能为:
312或231这两种
问题:
求当n=5时满足以上条件的放法共有多少种?
（不用列出每种放法）（44）
{1，2，3，....,n}错位排列是{1,2,3,..
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