数学模型课程设计经济计划.docx
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数学模型课程设计经济计划
《数学模型》
课程设计报告书
安徽工业大学数理学院
姓名
专业
班级
学号
指导教师
2014年6月20日
经济计划
1.摘要：
本文要解决的是一个经济系统的经济计划问题，这是一个动态规划模型，一个经济系统，包括煤炭，钢铁和运输三种产业，生产煤炭，钢铁和提供运输服务。
一产业的单位产出，所需要的各产业产品的投入（也以价值单位“元”计算）见表1，同时又为了提高生产力，进一步投资，为使一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位，所需在第t年度各产业产品和人力的投入量（见表2）。
本文就是要研究这个经济系统未来五年的不同的增长模式。
我们通过建立了线性规划模型了来解决所给问题，并通过LINGO数学软件来求解并解除对第
（1）个问题要求第五年年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭，0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求，我们解出第五年的生产能力为9.84亿元，并且得出煤炭、钢铁和运输个年度的产出情况，对第
（2）个问题，我们有那个同样的方法也可以得到第四年和第五年产业产出的最大总量为19.12439亿元。
对第三个问题，我们解出最大人力需求为11.05亿元价值。
关键词：
线性规划经济计划
2.问题重述：
一个经济系统，包括煤炭，钢铁和运输三种产业，生产煤炭，钢铁和提供运输服务。
各产业产量以及价值计算，单位为“元”。
一产业的单位产出，所需要的各产业产品的投入量，以及人力的投入量（也以价值单位“元”计算）见表1。
第t+1年度的产出需要的是第t年度的投入
表1
年度（t+1）单位产出
煤炭钢铁运输
年度t
投入
煤炭
钢铁
运输
人力
0.10.50.4
0.10.10.2
0.20.10.2
0.60.30.2
为提高生产能力，需要进一步投资。
为使一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位，所需
在第t年度各产业产品和人力的投入量见表2。
表2
年度（t+2）单位产出
煤炭钢铁运输
年度t
投入
煤炭
钢铁
运输
人力
0.00.70.9
0.10.10.2
0.20.10.2
0.40.20.1
假设存货可以无费用地从一年转入下一年。
现在（第0年）存货量和年生产能力见表3。
人力的年供应量限制不超过4.7亿元。
表3（单位：
亿元）
存货生产能力
煤炭
钢铁
运输
1.53.0
0.83.5
1.02.8
试研究该经济系统未来五年的不同的增长模式。
具体说，按下述的不同目标，分别求各产业各年度的产出应为何？
目标：
（1）第五年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭，0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求。
（第0年除外）
（2）第4年和第5年度总产出（不是生产能力）为最大，但忽略每年的外部消费。
（3）在满足如
（1）的外部消费要求的同时，使人力要求最大（即就业机会最多）。
忽略人力供应量的限制。
3.问题分析：
对于表一，我们可以看出，产出1单位的煤炭、钢铁和运输个都需要煤炭、钢铁、运输和人力的不同量的投入。
对于表二，前提是说为了提高生产能力，进一步投资，从这里我们可以知道如果只按表一生产的话就不一定能达到一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位的标准，另外根据题目得的意思，存货可以无费用地从一年转入下一年所以我们认为两个表是两个不同的生产模式。
所以每一年的产出就是两个生产模式生产的结果。
对于第一个问题，要求五年末生产能力总和最大，我们问经过讨论分析，因为产业的产出都已经化为价值来计算，所以解决该问题我们应该以为求取第五年末的最大剩余价值为目标函数。
这样我们通过建立线性规划模型，并通过LINGO数学软件变程求解就可以得出该经济系统未来五年的不同的增产模式
第二个问题目标函数已经很明确，即第四年和第五年的总产出最大。
第三个问题是以人力要求为目标，求人力要求最大，即增加就业机会。
从问题的总体上看，是要研究该经济系统未来五年的不同的增长模式，则人力要求应该的未来五年的人力要求总和。
4.模型假设：
1.假设从第0年开始投入生产，从第一年开始有产品产出。
2.假设每一年都有按照两个增产模式投入的可能性。
3.假设每年产出可以用于下一年的投入。
4.假设在第五年继续按照第二个模式进行投入生产，虽然题目是要求我们求出未来五年的不同的增长模式，但不代表第五年后就停止生产。
5.假设第二个模式在第0年投入生产，那么在第二年开始这个模式增产有产品产出。
5.符号说明：
1．xi,yi,zi:
分别表示按照原生产模式生产，第i年产出的煤矿、钢铁和运输的单位量。
2．ai,bi,ci（i=,2,...5,6:
分别表示为了提高生产力，进一步投资，在第j年产出的煤矿、钢铁和运输的单位量,因为第二个模式的生产只能在第二年开始才有产出。
3．S,M,L：
分别表示第五年末生产能力总量、第四年和第五年总产出、五年的人力总和。
6.模型的建立：
根据题目所给的意思，还有以上的问题分析，按照两个生产模式进行生产。
，为了提高生产能力，进一步投资，使一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位，我们可以知道表一模式生产没有办法满足这个要求，只有加以表二这样的投入才能满足这样的生产需要。
本文是要我们实现按照各个问题的不同目标分别求各产业各年度的产出应为何。
（1）首先我们先解决这个问题，就要明确其目标函数，这个问题以第五年末生产能力总量最大目标，即通过以上分析讨论，为第五年末剩余价值最大，为了解决这个问题，我们通过建立线性规划的模型，这是一个动态规划的过程，模型如下：
目标函数为（最大）第五年末的生产能力总量=煤炭生产能力总量+钢铁生产能力总量+运输生产能力总量
即
以上就是解决问题一的目标函数，我们可以看到这个目标函数很长，所以我们对它进一步花简得
Max
S=
对于以上的目标函数的实现，它的约束条件如下：
煤炭第n年前（包括第n年）的投入总和小于等于原有存货量与ｎ年前（不包括第n年煤炭的产出量之和。
这就是煤炭的投入约束：
（n=1,2,3…5）（下同）
同样，钢铁也受像以上的约束，即第n年前（包括第n年）的投入总和小于等于原有存货量与ｎ年前（不包括第n年）钢铁的产出量之和。
如下不等式表示：
同理，运输的投入约束如下不等式表示：
接下来就是人力的约束，人力的年供应量限制不超过4.7亿元。
另外还有生产能力的限制，即产业的产出必须在生产能力的范围之内，即
（ｉ＝1,..5）
除此之外，我们从题中为了提高生产能力，进一步投资，为使一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位，因此我们的另一个约束条件，即
由于从第0年开始生产，这一年没有产出产品，根据第t+2年比第t年多产出一个单位，所以第二年产出的产品为一个单位。
第一年只有第一模式产出产品。
其他都是根据一产业第t+2年度较第t年度多产出一单位来进行比较（下同）
非负约束
以上是对第一个问题的解决方案，接着我们继续进行下一个问题的求解
（2）第二个问题是要我们求出第4年和第5年度最大总产出，即以第4年和第5年度总产出（不是生产能力）最大为目标，但忽略每年的外部消费.同样的方法，我们还是用动态的线性规划的方法建立线性规划模型，目标函数如下：
max
第四年产出第五年产出
这个问题的约束条件与第一个问题稍微有点不同，这个问题时忽略每年的外部消费,因此，根据同样的思想，它的约束条件如下：
煤炭投入的约束：
钢铁投入的约束：
运输投入的约束：
另外还要满足我们解决第一个问题的所有其他的约束条件不变。
这样，问题很快就可以解决了。
（3）第三个问题是要求我们在满足如
（1）的外部消费要求的同时，使人力要求最大（即就业机会最多）。
忽略人力供应量的限制，显然，我们很快就可以知道人力要求为本模型的目标，目标函数显而易见，
Max
这个问题它是忽略人力供应量的限制，所以它的约束条件是问题一中除了人力约束之外的所有的约束条件。
按照这个方法去解决这个问题，显然快得多了。
7.模型求解：
这个模块是为了解决以上所建立的模型解出结果。
（1）对于问题一的目标函数，我们进一步化简，得
MaxS=
那些约束条件也要进一步的简化，然后通过用lingo数学软件编出程序，直接就可以得出我们想要的结果了，结果即S=9.84亿元的价值，即第五年末的最大生产能力总和为9.84亿元。
根据每年两个模式不同产业的不同产出，绘出下列的图形表示。
从这个图形我们可以看出，第1年，第2年，第4年第二模式不用参与投入就可以产出满足需要的产品煤矿。
第一种模式每年都要进行生产。
这一个图表示钢铁不同年份的产出，我们可以看出这五年完全不用按照第二个模式生产就可以得出满足需要的产业的产出。
同样，从这个途中可以看出只有第三年用到第二模式的生产，另外四年只按照第一模式就可以生产出满足需要的产量。
（2）同样，解决第二个问题，也是直接用lingo数学软件编程求解，解出来的答案如下：
M=19.12439亿元价值的产出。
根据每年两个模式不同产业的不同产出，也可以绘出下列的图形表示。
从这个图形可以看出第一年不用第二个生产模式。
只有第五年用第二个生产模式
五年都不用第二个生产模式就可以达到生产要求
（3）同上，按照上一个模块所建立的模型用lingo软件求解，直接得出我问向直到的结果。
答案如下：
L=11.05亿元，即最大人力需求为11.05亿元价值。
根据每年两个模式不同产业的不同产出，也可以绘出下列的图形表示
只有第二和第五年用第二个生产模式
五年都不用第二个生产模式就可以达到生产要求
只有第三年用第二个生产模式
8.模型检验：
根据上面所得的结果，我们可以得出每年各产业产出的数据，依题目的意思，第t+2年度较第t年度多产出一单位，从所得结果和出来的数据我们可以看出符合题目的要求。
9.优缺点分析:
优点：
本文是解决经济计划的问题，研究该经济系统未来五年的不同的增长模式，我们直接用线性规划的办法，这个办法简单易懂，是把复杂的问题简单化，一目了然，好了解，然后用lingo数学软件直接进行求解，这个软件也比较容易实现。
缺点：
用这个线性规划方法对于解决规模比较小模型，数据繁多的问题是很难实现的，单单想到用这个线性规划方法去解决时相当困难的事情，在操作上相当的麻烦，同样lingo软件也有一定局限性。
10.模型推广：
本文是解决上述的经济系统的问题研究该系统未来未来五年的不同的增长模式的问题，即按各个问题的不同目标，分别求各产业各年度的产出。
我们通过建立线性规划的模型解决这个问题，对于这个问题我们可以进一步的推广，这是一个五年的经济计划，那么如果是n年的经济计划呢，我们也可以对以上的模型进一步推广那么，对于与生产能力为目标，目标函数为
ki,li,mi分别为对应产业的产出所需要各产业得投入量。
这是对这个问题的解答，对与其他的生产计划照样可以用这个线性规划的方法进行求解，比如说，食品加工生产，机器使用计划等等，都可以采用这样的一个动态过程的线性规划。
Lingo软件业可以更好的使用于其他非线性规划的领域。
11．参考文献：
[1]姜启源，谢金星，叶俊编著。
《数学模型》-3版，——北京：
高等教育出版社，2003.8
12.附件：
第一题的程序：
model:
sets:
year/1..5/:
x,y,z;
year1/1..6/:
a,b,c;
endsets
!
目标函数;
max=-2.7+0.6*@sum（year（i）:
x（i））+0.3*@sum（year（i）:
y（i））+0.2*@sum（year（i）:
z（i））+0.7*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#5:
a（j））-0.3*a（6）+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#5:
b（j））-0.9*b（6）-0.3*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#5:
c（j））-1.3*c（6）;
a
（1）=0;
b
（1）=0;
c
（1）=0;
!
煤炭;
0.1*x
（1）+0.5*y
（1）+0.4*z
（1）+0.0*a
（2）+0.7*b
（2）+0.9*c
（2）<=1.5;
0.1*x
（1）+0.1*x
（2）+0.5*y
（1）+0.5*y
（2）+0.4*z
（1）+0.4*z
（2）+0.0*a
（2）+0.0*a（3）+0.7*b
（2）+0.7*b（3）+0.9*c
（2）+0.9*c（3）+0.6<1.5+x
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.5*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.4*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.0*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.7*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.9*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））+0.6*（n-1）<=1.5+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
x（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
a（j）））;
!
钢铁;
0.1*x
（1）+0.1*y
（1）+0.2*z
（1）+0.1*a
（2）+0.1*b
（2）+0.2*c
（2）<=0.8;
0.1*x
（1）+0.1*x
（2）+0.1*y
（1）+0.1*y
（2）+0.2*z
（1）+0.2*z
（2）+0.1*a
（2）+0.1*a（3）+0.1*b
（2）+0.1*b（3）+0.2*c
（2）+0.2*c（3）+0.6<0.8+y
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））+0.6*（n-1）<=0.8+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
y（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
b（j）））;
!
运输;
0.2*x
（1）+0.1*y
（1）+0.2*z
（1）+0.2*a
（2）+0.1*b
（2）+0.2*c
（2）<=1.0;
0.2*x
（1）+0.2*x
（2）+0.1*y
（1）+0.1*y
（2）+0.2*z
（1）+0.2*z
（2）+0.2*a
（2）+0.2*a（3）+0.1*b
（2）+0.1*b（3）+0.2*c
（2）+0.2*c（3）+0.3<1.0+z
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））+0.3*（n-1）<=1.0+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
z（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
c（j）））;
!
人力;
@for（year（i）:
0.6*x（i）+0.3*y（i）+0.2*z（i）+0.4*a（i+1）+0.2*b（i+1）+0.1*c（i+1）<4.7）;
!
生产能力约束;
@for（year（i）:
x（i）<3.0）;
@for（year（i）:
y（i）<3.5）;
@for（year（i）:
z（i）<2.8）;
!
第t+2年比第t年多产出一个单位
x
（2）+a
（2）=1;
x（3）+a（3）-x
（1）=1;
x（4）+a（4）-x
（2）-a
（2）=1;
x（5）+a（5）-x（3）-a（3）=1;
y
（2）+b
（2）=1;
y（3）+b（3）-y
（1）=1;
y（4）+b（4）-y
（2）-b
（2）=1;
y（5）+b（5）-y（3）-b（3）=1;
z
（2）+c
（2）=1;
z（3）+c（3）-z
（1）=1;
z（4）+c（4）-z
（2）-a
（2）=1;
z（5）+c（5）-z（3）-a（3）=1;
End
第二题的程序：
model:
sets:
year/1..5/:
x,y,z;
year1/1..6/:
a,b,c;
endsets
!
目标函数;
max=x（4）+a（4）+y（4）+b（4）+z（4）+c（4）+x（5）+a（5）+y（5）+b（5）+z（5）+c（5）;
a
（1）=0;
b
（1）=0;
c
（1）=0;
!
煤炭;
0.1*x
（1）+0.5*y
（1）+0.4*z
（1）+0.0*a
（2）+0.7*b
（2）+0.9*c
（2）<=1.5;
0.1*x
（1）+0.1*x
（2）+0.5*y
（1）+0.5*y
（2）+0.4*z
（1）+0.4*z
（2）+0.0*a
（2）+0.0*a（3）+0.7*b
（2）+0.7*b（3）+0.9*c
（2）+0.9*c（3）<1.5+x
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.5*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.4*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.0*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.7*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.9*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））<=1.5+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
x（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
a（j）））;
!
钢铁;
0.1*x
（1）+0.1*y
（1）+0.2*z
（1）+0.1*a
（2）+0.1*b
（2）+0.2*c
（2）<=0.8;
0.1*x
（1）+0.1*x
（2）+0.1*y
（1）+0.1*y
（2）+0.2*z
（1）+0.2*z
（2）+0.1*a
（2）+0.1*a（3）+0.1*b
（2）+0.1*b（3）+0.2*c
（2）+0.2*c（3）<0.8+y
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））<=0.8+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
y（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
b（j）））;
!
运输;
0.2*x
（1）+0.1*y
（1）+0.2*z
（1）+0.2*a
（2）+0.1*b
（2）+0.2*c
（2）<=1.0;
0.2*x
（1）+0.2*x
（2）+0.1*y
（1）+0.1*y
（2）+0.2*z
（1）+0.2*z
（2）+0.2*a
（2）+0.2*a（3）+0.1*b
（2）+0.1*b（3）+0.2*c
（2）+0.2*c（3）<1.0+z
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
y（i））+0.2*@sum（year（i）|i#le#n:
z（i））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
a（j））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
b（j））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n+1）:
c（j））<=1.0+@sum（year（i）|i#le#（n-1）:
z（i））+@sum（year1（j）|j#ge#2#and#j#le#（n-1）:
c（j）））;
!
人力;
@for（year（i）:
0.6*x（i）+0.3*y（i）+0.2*z（i）+0.4*a（i+1）+0.2*b（i+1）+0.1*c（i+1）<4.7）;
!
生产能力约束;
@for（year（i）:
x（i）<3.0）;
@for（year（i）:
y（i）<3.5）;
@for（year（i）:
z（i）<2.8）;
!
第t+2年比第t年多产出一个单位;
x
（2）+a
（2）=1;
x（3）+a（3）-x
（1）=1;
x（4）+a（4）-x
（2）-a
（2）=1;
x（5）+a（5）-x（3）-a（3）=1;
y
（2）+b
（2）=1;
y（3）+b（3）-y
（1）=1;
y（4）+b（4）-y
（2）-b
（2）=1;
y（5）+b（5）-y（3）-b（3）=1;
z
（2）+c
（2）=1;
z（3）+c（3）-z
（1）=1;
z（4）+c（4）-z
（2）-a
（2）=1;
z（5）+c（5）-z（3）-a（3）=1;
end
第三题的程序：
model:
sets:
year/1..5/:
x,y,z;
year1/1..6/:
a,b,c;
endsets
!
目标函数;
max=0.6*@sum（year（i）:
x（i））+0.3*@sum（year（i）:
y（i））+0.2*@sum（year（i）:
z（i））+0.4*@sum（year1（j）|j#ge#2:
a（j））+0.2*@sum（year1（j）|j#ge#2:
b（j））+0.1*@sum（year1（j）|j#ge#2:
c（j））;
a
（1）=0;
b
（1）=0;
c
（1）=0;
!
煤炭;
0.1*x
（1）+0.5*y
（1）+0.4*z
（1）+0.0*a
（2）+0.7*b
（2）+0.9*c
（2）<=1.5;
0.1*x
（1）+0.1*x
（2）+0.5*y
（1）+0.5*y
（2）+0.4*z
（1）+0.4*z
（2）+0.0*a
（2）+0.0*a（3）+0.7*b
（2）+0.7*b（3）+0.9*c
（2）+0.9*c（3）+0.6<1.5+x
（1）;
@for（year（n）|n#ge#3:
0.1*@sum（year（i）|i#le#n:
x（i））+0.5*@sum（y
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