完整版高等数学笔记.docx
《完整版高等数学笔记.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等数学笔记.docx（47页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版高等数学笔记
第一章函数、极限和连续
§1.1函数
一、主要内容
㈠函数的概念
1.函数的定义:
y=f（x）,x∈D
定义域:
D（f）,值域:
Z（f）.
2.分段函数:
3.隐函数:
F（x,y）=0
4.反函数:
y=f（x）→x=φ（y）=f-1（y）
y=f-1（x）
定理:
如果函数:
y=f（x）,D（f）=X,Z（f）=Y
是严格单调增加（或减少）的；
则它必定存在反函数：
y=f-1（x）,D（f-1）=Y,Z（f-1）=X
且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性:
y=f（x）,x∈D,x1、x2∈D
当x1＜x2时,若f（x1）≤f（x2）,
则称f（x）在D内单调增加（）；
若f（x1）≥f（x2）,
则称f（x）在D内单调减少（）；
若f（x1）＜f（x2）,
则称f（x）在D内严格单调增加（）；
若f（x1）＞f（x2）,
则称f（x）在D内严格单调减少（）。
2.函数的奇偶性：
D（f）关于原点对称
偶函数：
f（-x）=f（x）
奇函数：
f（-x）=-f（x）
3.函数的周期性：
周期函数：
f（x+T）=f（x）,x∈（-∞，+∞）
周期：
T——最小的正数
4.函数的有界性：
|f（x）|≤M,x∈（a,b）
㈢基本初等函数
1.常数函数：
y=c，（c为常数）
2.幂函数：
y=xn,（n为实数）
3.指数函数：
y=ax,（a＞0、a≠1）
4.对数函数：
y=logax,（a＞0、a≠1）
5.三角函数：
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
6.反三角函数：
y=arcsinx,y=arcconx
y=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数：
y=f（u）,u=φ（x）
y=f[φ（x）],x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2极限
一、主要内容
㈠极限的概念
1.数列的极限:
称数列
以常数A为极限;或称数列
收敛于A.
定理:
若
的极限存在
必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
时，
的极限：
⑵当
时，
的极限：
左极限：
右极限：
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
㈡无穷大量和无穷小量
1．无穷大量：
称在该变化过程中
为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
2．无穷小量：
称在该变化过程中
为无穷小量。
3．无穷大量与无穷小量的关系：
定理：
4．无穷小量的比较：
⑴若
则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若
（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
，则称β与α是等价的无穷小量，记作：
β～α；
⑷若
则称β是比α较低阶的无穷小量
定理：
若：
则：
㈢两面夹定理
1．数列极限存在的判定准则：
设：
（n=1、2、3…）
且：
则：
2．函数极限存在的判定准则：
设：
对于点x0的某个邻域内的一切点
（点x0除外）有：
且：
则：
㈣极限的运算规则
若：
则：
①
②
③
推论：
①
②
③
㈤两个重要极限
1．
或
2．
§1.3连续
一、主要内容
㈠函数的连续性
1.函数在
处连续：
在
的邻域内有定义，
1o
2o
左连续：
右连续：
2.函数在
处连续的必要条件：
定理：
在
处连续
在
处极限存在
3.函数在
处连续的充要条件：
定理：
4.函数在
上连续：
在
上每一点都连续。
在端点
和
连续是指：
左端点右连续；
右端点左连续。
a+0b-x
5.函数的间断点：
若
在
处不连续，则
为
的间断点。
间断点有三种情况：
1o
在
处无定义；2o
不存在；
3o
在
处有定义，且
存在，
但
。
两类间断点的判断：
1o第一类间断点：
特点：
和
都存在。
可去间断点：
存在，但
，或
在
处无定义。
2o第二类间断点：
特点：
和
至少有一个为∞，
或
振荡不存在。
无穷间断点：
和
至少有一个为∞
㈡函数在
处连续的性质
1.连续函数的四则运算：
设
，
1o
2o
3o
2.复合函数的连续性：
则：
3.反函数的连续性：
㈢函数在
上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
在
上连续
在
上一定存在最大值与最小值。
yy
+MM
f（x）f（x）
0abx
m
-M
0abx
2.有界定理：
在
上连续
在
上一定有界。
3.介值定理：
在
上连续
在
内至少存在一点
，使得：
，
其中：
yy
M
f（x）
Cf（x）
0aξbx
m
0aξ1ξ2bx
推论：
在
上连续，且
与
异号
在
内至少存在一点
，使得：
。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
§2.1导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：
在
的某个邻域内有定义，
2．左导数：
右导数：
定理：
在
的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
（或：
）
3.函数可导的必要条件：
定理：
在
处可导
在
处连续
4.函数可导的充要条件：
定理：
存在
，
且存在。
5.导函数：
在
内处处可导。
y
6.导数的几何性质：
是曲线
上点
处切线的斜率。
ox0x
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算：
1o
2o
3o
3.复合函数的导数：
，或
☆注意
与
的区别：
表示复合函数对自变量
求导；
表示复合函数对中间变量
求导。
4.高阶导数：
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.微分：
在
的某个邻域内有定义，
其中：
与
无关，
是比
较高
阶的无穷小量，即：
则称
在
处可微，记作：
2.导数与微分的等价关系：
定理：
在
处可微
在
处可导，
且：
3.微分形式不变性：
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分
都具有相同的形式。
§2.2中值定理及导数的应用
一、主要内容
㈠中值定理
1.罗尔定理:
满足条件:
y
aoξbxaoξbx
2.拉格朗日定理：
满足条件:
㈡罗必塔法则：
（
型未定式）
定理：
和
满足条件：
1o
；
2o在点a的某个邻域内可导，且
；
3o
则：
☆注意：
1o法则的意义：
把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母
求导，而不是对整个分式求导。
4o若
和
还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
5o若函数是
型可采用代数变
形，化成
或
型；若是
型可
采用对数或指数变形，化成
或
型。
㈢导数的应用
1．切线方程和法线方程：
设：
切线方程：
法线方程：
2．曲线的单调性：
⑴
⑵
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设
在
内有定义，
是
内的一点；
若对于
的某个邻域内的任意点
，都有：
则称
是
的一个极大值（或极小值），
称
为
的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
称为
的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
当
渐增通过
时，
由（+）变（-）；
则
为极大值；
当
渐增通过
时，
由（-）变（+）；则
为极小值。
定理二：
若
，则
为极大值；
若
，则
为极小值。
☆注意：
驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
；则
在
内是上凹的（或凹的），（∪）；
⑵若
；则
在
内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶
5。
曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
⑵铅直渐近线：
第三章一元函数积分学
§3.1不定积分
一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：
设：
若：
则称
是
的一个原函数，
并称
是
的所有原函数,
其中C是任意常数。
2．不定积分：
函数
的所有原函数的全体，
称为函数
的不定积分；记作：
其中：
称为被积函数；
称为被积表达式；
称为积分变量。
3.不定积分的性质：
⑴
或：
⑵
或：
⑶
—分项积分法
⑷
（k为非零常数）
4.基本积分公式：
㈡换元积分法：
⒈第一换元法：
（又称“凑微元”法）
常用的凑微元函数有：
1o
2o
3o
4o
5o
6o
2.第二换元法：
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换：
1o
（当被积函数中有
时）
2o
（当被积函数中有
时）
3o
（当被积函数中有
时）
4o
（当被积函数中有
时）
㈢分部积分法：
1.分部积分公式：
2.分部积分法主要针对的类型：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
其中：
（多项式）
3.选u规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令
，
其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中，令
，
其余记作dv;简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中，令
，
其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数
为u，其余记作dv;简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数
为u，其余记作dv;简称“指三任选”。
㈣简单有理函数积分：
1.有理函数：
其中
是多项式。
2.简单有理函数：
⑴
⑵
⑶
§3.2定积分f（x）
一．主要内容
（一）.重要概念与性质
1.定积分的定义：
Oax1x2xi-1ξixixn-1bx
定积分含四步
升级会员 