数论之完全平方数.docx
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数论之完全平方数
第十章数论之完全平方数
概念
在整数中，如果a=b,则称a为完全平方数。
【相关公式】a2-b2=（a+b）（a-b）
（a±b）2=a2±2ab+b2
12+22+32+,,+n2=n（n+1）（2n+1）十6
【解题思路及方法】运用完全平方数的性质来解题，如：
（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9；
（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；
（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数；
（4）若质数p满足p|2，那么p|a。
例题
1.在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个
3.证明：
形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数
4.证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数。
5.一个自然数X加上60,为一完全平方数。
如果加上43,则为另一完全平
方数,求X。
6.一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
7.求一个能被180整除的最小完全平方数X。
8.一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和,是一个完全平方数,求这样的两位数
9.若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少
10.判断600，1234567，2209，333331哪些是完全平方数，如果不是请说
明理由。
11.两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986问这两个数是什么
12.两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么
13.有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。
例如：
29就是这样的两位数，29+92=121，而121是11的完全平方数。
14.求一个四位完全平方数n,并且它的前两位数字相同，后两位数字也相
15.自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方数，这样的自然数有几个。
16.一个三位数abc,是个完全平方数，它的前两位数ab和个位c也都是
17.将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：
649
6481100…第11位上的数字是9,第88位上的数字是多少。
18.一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少
19.有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么
20.祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁。
21.快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。
参加排练的学生至少要有多少人。
22.两个自然数A、B的平方和637，最大公约数M与最小公倍数G的和
49。
求A、B。
23.n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：
n+l是3个完全平方数之和.
24.己知Z=169是3n+1型的完全平方数。
反算：
N+1是哪3个完全平方数之和。
25.己知Z=29929是3n+1型的完全平方数，反算：
N+1是哪3个完全平方数之和．
26.证明：
每四个连续自然数的积加1，必定是一个完全平方数
27.两个奇数的平方和一定不是完全平方数。
如32+52=34工y2
92+152=306^y2等等
28.证明：
两个质数的平方和一定不是完全平方数
29.（真题）若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数
30.从360到630的自然数中，有奇数个因数的数有哪些有且仅有三个因数
的数有哪些
31.证明：
不存在一个平方数的2倍，等于另一个平方数。
即2n2丰吊
32.1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少。
33.已知x19是一个完全平方数，求它是谁的平方。
34.已知自然数n满足：
12!
除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为
多少。
35.下面是一个算式：
1+2X1+3X2X1+……+20X19X18X……X2x1,这
个算式的得数是否是某个数的平方如果是，写出是谁的平方，如果不是请说
明理由。
36.由5个1和5个6和3个5组成的13位数中，有没有平方数。
如果
有，写出是谁的平方，如果没有请说明理由。
37.从3601到5000的自然数中，有奇数个因数的数有哪些有且仅有三个因
数的数有哪些
38.1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是多少
39.把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数6……,请问这个
多位数共有多少位数字。
40.写出60到150之间存在哪些平方数，他们是谁的平方
41.请估算2304是谁的平方
42.495乘以一个自然数a,或者除以一个自然数b后，变成了一个完全平方数，请问a和b最小是几
43.请写出200到300之间那一个数仅存在3个因数
45.n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：
n+l是3个完全平方数之和.
46.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168,则是另一个平方数，求这个正整数。
47.A是由2002个4组成的多位数，A是不是某个自然数B的平方如果是，写出B,如果不是请说明理由。
48.自然数的平方按大小拍成1,4,9,16,25,...，请问第612个位置数字是
49.证明如11,111,1111,11111，的数中有没有完全平方数
50.有一个正整数的平方，最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件
的最小正整数。
51.能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由。
52.已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数有哪些
53.A是一个两位数,它的6倍是一个三位数B,如果把B放在A的左边或者
右边得到两个不同的五位数,并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整
数的平方），那么A的所有可能取值之和为
54.有两个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个平方数末两位数相同，那么这两个两位数是多少
55.（真题）两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是
多少最小是多少
56.求一个最小的自然数,它乘以2后是是完全平方数,乘以3后是完全立方数,乘以5后是完全5次方数.
57.有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则
这五个数中最小数的最小值为多少
58.有一个数加24,和减去30所得的两个数都是完全平方数,求这个数是几
59.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多
少
60.已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少
答案与解析
1.奇数的平方是4N+1型奇数。
一位数字为奇数的，只有1、9。
二位数字
以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。
例如1111111、13579、315351
9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。
答：
2个，即1、9。
2.根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：
00042444
6484、163656769625012141810929496989。
只有625681的尾是81，可能是完全平方数。
但还要作充份条件的判别：
完全平方数的必要、充份条件是：
它的各因数一定是偶次方。
最直接的
方法是质因数分解。
62568仁72X1132，合符充份条件，所以625681是完全平方数。
答：
只有625681是完全平方数。
3.答：
奇数为2n+1,则它的平方为4n2+4n+1,显然除以4余1。
现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数。
且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
4.答：
555...550000的数字和为39X5=195，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。
但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。
所以它不可能是完全平方数。
5.设这个自然数为x，x+60=a2，x+43=b2，
则：
a2-b2=60-43=17，（a+b）（a-b）=17X1，
所以a+b=17，a-b=1，
因此，a=9，b=8，
答：
这个数是92-60=81-60=21．
6.设这个自然数是x,并设
x-45=a2
x+44=b2
第二个式子减第一个式子得
b2-a2=89（b+a）（b-a）=89x1可知b+a>b-a,所以b+a=89
b-a=1
解得：
b=45,a=44,
此时x=1981;
答：
这个自然数是1981.
7.180=2X2X5X3X3
2,3都是一对的，所以不需要再乘了，由此可知180的因数里缺了5
这个数,也就是180X5=900
答：
该最小完全平方数是900
8.设这样的两位数是AB，题意AB+B心X2,
即10A+B+10B+A=X11（A+B）=X2,可见A+B应=11。
若A=2则B=9…等等。
检算如下：
A
B
AB
BA
AB+BA
是否是完全平方数
2
9
29
92
121
是11的平方
3
8
38
83
121
是11的平方
4
7
47
74
121
是11的平方
5
6
56
65
121
是11的平方
6
5
65
56
121
重复了
答：
这样的两位数是29384756
9.X的下一个数是X+1，它的完全平方数是（X+1）2=X2+2X+1,
例如42=16，4+1=5，52=16+8+1=25
答：
是X2+2X+1。
10.两个相邻的完全平方数之间没有其余的完全平方数，因此600不是。
末尾不能使0,1,4,,9以外的数字，因此1234567不是，1的前面是一个偶数，333331排除。
因此2209是完全平方数，472。
答：
2099是完全平方数。
11.这两个数是X、Y。
有A=Y—乂=（Y+X）X（Y—X）=1986。
1986因数分解：
1986=1X1986,（Y+X）X（Y—X）=1986X1,
（Y+X）=1986，（Y—X）=1，2Y=1987
Y=,X=。
虽然丫2—X2=—=1986，但X、丫不是正整数，所以无解从上面两个计算结果可见：
如果A分出的两个因数（Y+X）、（Y—X）不是同
奇或同偶，则所得的X、丫必然不是整数，因此，此时无X、丫的整数解。
答：
无整数解。
12.这两个数是X、丫。
有Y2—义=（丫+X）X（Y—X）=147。
147因数分解：
一147=147X1分出的因数同奇，有整数解。
（Y+X）
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