基于标准的数学教案.docx

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基于标准的数学教案

教案1：

配方法

教材来源：

初中九年级《数学（上册）教科书/人民教育出版社2014年版

内容来源：

初中九年级《数学（上册）》第二十一章第二节

主题：

配方法

课时：

1课时

授课对象：

九年级学生

设计者：

秦兴国/广汉市研培中心

林建/广汉市西高镇学校叶青林/广汉市高坪中学校

目标确定的依据

1、课程标准相关要求

理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程

2、教材分析

配方法是方程的重要基础知识，开平方法是配方法的基本思想。

配方法不仅为下节课推导一二元二次方程的求根公式作好了知识上的准备，而且也是后续学习二次函数等知识的基础。

3、学情分析

学生在之前的学习中，已经掌握了完全平方式的结构特征，已经具有了一定的转化思想。

本节课首先研究的方程，可以根据平方根的意义直接求解。

对需要合理变形转化为可以直接开平方形式的方程，学生在以前的学习中没有类似的经验，可能出现思维障碍：

配方法是怎样想到的？

“配方”到底“配”什么？

配方中不能做到“恒等变形”，配方时，只在方程一边加一次项系数一半的平方，而另一边不加。

基于以上分析，如何想到“配方法”应该从学生已有的经验出发，通过思考、追问、类比、化归、合作交流引导学生予以解决。

目标

1、联系平方根的意义，通过独立思考、交流想到用直接开平方法解形如

或

的一元二次方程，会用直接开平方法解一元二次方程。

2、经历观察、类比、猜想，再通过“新化归为旧”的研究方法发现配方法及其其基本步骤。

掌握配方法的基本步骤，会用配方法解一元二次方程。

3、学生经历在探究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想。

评价任务

1、学生运用类比的方法，知道方程符合

或

时，能通过开平方，将二次方程转化为一次方程求解。

2、让学生观察、尝试、小组合作交流。

通过教师一系列的追问引出配方法，知道配方的基本步骤，当二次顶系数为1时，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可以把方程一边化为含有完全平方的式子；并知道解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

3、学生通过对方程

和

的对比，发现二次项系数为1时，配方的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方；二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1.

教学过程

学习环节

评价要点

教学流程

自主探究

1、类比解二元一次方程组、三元一次方程组是的“消元”法，得出解一元二次方程的基本思想——降次

2、用自己的语言归纳形如：

或

的一元二次方程的解法；

3、获得直接开平方法解法。

1、学生回顾以前学习过的方程，教师引导学生得出：

解二元一次方程组、三元一次方程组是通过“消元”，将方程转化为一元一次方程。

类比得出解一元二次方程的基本思想——降次

2、师生活动

活动一：

你能给出下列方程的解吗？

，

，

，

（思考、讨论归纳方法）

活动二：

对照上面①的过程，稍作变形，你认为怎样解方程

（学生先解，师生交流）

3、获得直接开平方法解法：

形如

或

并根据p的取值范围，利用平方根的意义，通过直接开平方降次得到方程的解的三种情况（评价任务1）

再探新知

1、解方程①

2、通过比较方程①和方程

，获得配方法的基本思想和步骤，得出配方法的概念。

3、用课堂检测，考查学生对配方法的理解和用开平方及配方法解一元二次方程。

思考：

怎样解方程：

①

先让学生观察、尝试、小组合作交流。

教师通过一系列的追问，引导学生学生通过比较方程①和方程

，获得配方法的基本思想和步骤，得出配方法的概念。

问题：

你能说出解一元二次方程

的基本思路吗？

具体步骤是什么？

要注意什么问题？

小组讨论、总结，教师引导学生得出：

基本思路是将含有未知数的项配成完全平方，具体步骤是：

（1）将q移到方程的右边；

（2）在方程两边加上一次项系数p的一半的平方；（3）根据

的取值讨论解的情况。

要注意保证变形的过程是恒等变形。

课堂检测：

1、在括号中填上适当的数，使等式成立：

）

2、用配方法解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

。

（评价任务2）

拓展延伸

通过比较得到：

对于二次项系数不为1的一元二次方程，为了便于配方，需将二次项系数化为1

解下列方程：

（1）

；

（2）

（学生独立思考，对不清楚的地方再合作交流）

问题：

（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法；

（2）方程的二次项系数不为1，怎么解？

小组合作交流，归纳总结出先把二次项系数化1，再配方求解。

（评价任务3）

归纳小结

自我反思，交流、归纳总结本节课的内容

教师引导，学生思考、交流后发表所学所获所感

教案2：

中心对称

教材来源：

初中九年级《数学（上册）教科书/人民教育出版社2014年版

内容来源：

初中九年级《数学（上册）》第二十三章第二节

主题：

中心对称

课时：

1课时

授课对象：

九年级学生

设计者：

秦兴国/广汉市研培中心

林建/广汉市西高镇学校叶青林/广汉市高坪中学校

目标确定的依据

1、课程标准相关要求

了解中心对称，探索它的基本性质：

成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

2、教材分析

中心对称是旋转角为180º的旋转，是一种特殊的旋转。

中心对称在生活中广泛存在，中心对称图形具有广泛的应用。

从美学的角度看，中心对称图形表现出对称的美。

学生通过本节课再次体会旋转变化，认识中心对称，同时也进一步完善初中学习中对“对称图形（轴对称图形、中心对称图形）知识的认识。

3、学情分析

学生在已学的旋转性质的基础上得出中心对称的两个图形是全等图形及对称中心到两个对称点的距离相等的性质不难，但需认识到中心对称的旋转角度必须是180º，而且这使得对称点和对称中心三点共线。

学生在“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分”这一性质的得出和规范的表达上会有一定困难。

教学时要充分利用具体图形，让学生获得感性认识，进而归纳出中心对称的性质。

目标

1、经历多媒体图片演示的感知，从旋转的角度观察两个图形之间的关系。

类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法。

2、通过操作、观察、归纳中心对称的性质，学生经历由具体到抽象认识问题的过程。

3、会画一个简单几何图形关于一点对称的图形，提高画图能力。

评价任务

1、观看多媒体图片演示，学生能根据两个图形的特殊旋转关系得到中心对称旋转角为180º的旋转，类比旋转的定义得出中心对称的定义。

2、学生知道中心对称是旋转角为180º的旋转，通过讨论、合作交流、教师引导，学生代表发言，归纳得到中心对称的性质，即中心对称的两个图形是全等图形，对称中心到两个对称点的距离相等。

通过画图、观察发现并概括出中心对称的另一个性质：

对称中心在两个对称点的连线上。

3、学生亲自动手画图，会用中心对称的性质画一个简单几何图形关于已知点的对称图形。

教学过程

学习环节

评价要点

教学流程

探索新知

1、教师展示两组图形，演示旋转过程，学生观察后回答（两个图形重合）。

2、引出概念

1、回顾图形的旋转和性质

活动一：

展示两张多媒体图片让学生观察后回答：

（1）如图1，把其中一个图案绕点O旋转180º，你有什么发现？

（2）如图2，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180º，你有什么发现？

学生思考，小组合作交流后回答学生代表发言。

（如有困难，教师可适时追问）

追问1：

图形中旋转中心是哪个点？

追问2：

旋转的角度是多少？

追问3：

两个图形的关系？

2、引出概念：

把一个图形绕着某一点旋转180º，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。

这个点叫做对称中心（简称中心）。

（评价任务1）

自主探究

1、学生进一步明确中心对称是特殊的旋转，为探索中心对称的性质作铺垫。

2、多媒体演示、学生观察、动手操作，合作交流后对中心对称性质的归纳，体会演绎和类比等方法在研究数学问题中的重要作用，清楚“三点一线”这一几何事实的表述方式。

1、问题：

中心对称与旋转的联系和区别是什么？

（学生思考并相互交流，学生代表发言）

2、活动二：

运用多媒体旋转三角尺，生动手画关于点O对称的两个三角形；利用画好的图形，分别连接对应点AA´，BB´，CC´

追问1：

点O在线段AA/上吗？

如果在，在什么位置？

追问2：

△ABC和△A´B´C´有什么关系？

追问3：

你能从以上过程中得到什么结论？

（学生思考，小组合作交流后发表自己的看法）

追问4：

中心对称是特殊的旋转，你能从旋转的性质出发（演绎、归纳）出中心对称的性质吗？

（学生独立思考后进行交流，然后学生代表发言，教师根据学生的回答情况及时评价，如学生有困难，再追问）

追问5：

中心对称的旋转角度是180º，这使得对称点和对称中心这三点有怎样的特殊位置关系？

活动三：

师生共同归纳得出中心对称的性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；

（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。

（评价任务2）

再探新知

1、利用中心对称的性质画图

2、选择点O为对称中心，

（1）画出点A关于点O的对称点A´

（2）画出△ABC关于点O对称点的△A´B´C´

3、通过练习，巩固中心对称的性质，为后续图案设计的学习作铺垫。

活动四：

你能应运中心对称性质画图吗？

例：

（1）如图3：

选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A´；

（2）如图4：

选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O对称点的△A´B´C´。

学生代表在黑板上画图。

待学生完成后，教师进一步追问

追问1：

为什么这样作出的点A´就是点O的对称点？

追问2：

样画出△ABC关于点O对称点的△A´B´C´？

活动五：

学生思考，交流后学生代表发言：

要画一个多边形关于已知点的对称图形，只要画出这个多边形的各个顶点关于已知点的对称点，再顺次连接各点即可。

练习：

学生展示教师激励

1、如图5,画出△ABC关于点O的中心对称图形。

2、如图6,△ABC与△DEF关于点O中心对称，作

出

对称中心。

归纳小结

自我反思，交流、归纳总结本节课的内容

教师引导，学生思考、交流后发表所学所获所感

教案3：

直线和圆的位置关系

（2）

教材来源：

初中九年级《数学（上册）教科书/人民教育出版社2014年版

内容来源：

初中九年级《数学（上册）》第二十四章第二节

主题：

切线的判定定理与性质定理

课时：

1课时

授课对象：

九年级学生

设计者：

秦兴国/广汉市研培中心

林建/广汉市西高镇学校叶青林/广汉市高坪中学校

目标确定的依据

1、课程标准相关要求

了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。

2、教材分析

直线和圆相切是直线和圆的位置关系的一种特殊并且重要的位置关系，圆的切线是连接直线与曲线的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础。

3、学情分析

学生之前已经学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。

教学时要结合教科书的问题进行说明：

“垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式。

对于切线的性质定理学生容易感知，但直接证明比较困难，此时教师要引导学生运用反证法证明。

另外教师要帮助学生明确两定理的题设和结论，这是学生正确使用定理的关键。

目标

1、经历画图，结合切线的概念以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生自已探索得到切线的判定定理，理解切线的判定定理

2、学生通过直接证明比较困难，可以通过反证法证法证明得到切线的性质定理。

学生能认识切线的性质定理。

3、会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题。

评价任务

1、通过活动一，让学生动手、观察思考获得利用数量关系判定直线与圆相切的方法。

再利用直线和圆相切的定义得到切线的判定定理。

结合两个反例和学生动手画图，理解切线判定定理中的两个要素：

一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。

2、通过活动三，学生先观察、发现，讨论、交流，学生代表在黑板上写出反证法的证明过程（对全体学生而言，这个证明不作要求），得出切线的性质定理，

学生再次体会反证法的作用。

理解切线性质定理的两个条件：

一是垂直于半径；二是过切点。

3、学生代表回答两个定理的条件和结论，分清两个定理的条件和结论，知道切线的判定定理与性质定理互为逆命题，并能运用两个定理解决简单的问题；通过活动四明确运用定理时常用的添加辅助线的方法

教学过程

学习环节

评价要点

教学流程

探索新知

1、学生动手经过半径OA的外端点A作直线

⊥OA。

2、学生思考后得到：

圆心O到直线

的距离是OA，也就是⊙O的半径，获得利用数量关系判定直线与圆相切的方法。

3、利用直线和圆相切的定义得到切线的判定定理。

4、两次追问，结合反例，学生加深对切线判定定理的理解，学生动手画，深刻感受切线判定定理的题设和结论。

1、回顾：

直线和圆有哪些位置关系？

如何判断直线和圆相切？

（教师提出问题，学生回顾后回答）

活动一：

如图1，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线

⊥OA，则圆心O到直线

的距离是多少？

直线

和⊙O有什么位置关系？

学生动手，小组合作交流，教师引导。

2、获得直线和圆相切的判定方法：

利用数量关系d=r，判断出直线

是⊙O的切线。

3、活动二：

学生思考点A和直线

的位置后，小组合作交流，教师引导，学生代表发言，得到切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

追问1:

如图2，图中的直线

与⊙O相切吗？

追问2:

:

已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

学生讨论、交流、总结画圆切线的准确方法。

（评价任务1）

再探新知

1、学生观察，再利用反证法得出切线的性质定理，学生再次体会反证法的作用。

2、学生得到切线的性质定理

活动三：

将活动一中的问题反过来如图3，在⊙O中，如果直线

是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线

是不是一定垂直呢？

学生通过观察，发现半径OA垂直于直线

追问3：

如何证明半径OA垂直于直线

？

学生思考、小组讨论、合作交流后发现可考虑使用反证法。

1、教师引导，学生代表在黑板上写出反证法的证明过程（对全体学生而言，这个证明不作要求）

2、得到切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

（评价任务2）

运用新知

1、学生运用切线的判定定理证明直线是圆的切线

2、学生学会添加辅助线的方法，明确两定理的题设和结论，学生能正确使用定理。

3、学生运用切线线的判定定理和性质定理解决简单的问题。

活动四：

你能运用定理解决下面的问题吗？

如图4，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：

AC是⊙O的切线

追问4：

切线的判定方法有几种？

结合已知你选择哪种判定方法？

追问5：

要证明切线需要什么条件？

如何添加辅助线？

学生小组讨论，分析解题思路，学生独立完成解题过程，一名学生板书，师生共同分析板书学生的解题过程。

课堂检测：

1、已知：

如图5，直⊙O线BC切于点C，PD是⊙O的直径∠A=28°,∠B=26°,∠PDC=

2、如图6，在△ABC中AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F求证：

直线DE是⊙O的切线

练习：

教科书第98页练习第1,2题

（评价任务3）

拓展延伸

学生运用切线的性质定理或判定定理解决生活中的实际问题。

活动五：

如图，AB,CD,是两条互相垂直的公路,∠ACP=45°,设计师想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A,C两点处分别与道路相切），你能在图中画出圆弧形弯道的示意图吗？

（评价任务3）

归纳小结

自我反思，交流、归纳总结本节课的内容

教师引导，学生思考、交流后发表所学所获所感