所以(a*—b2)(a3—b|)>0,
所以a+b2>ab(a+b).
[方法技巧]
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差;
(2)变形;⑶判断差的符号;⑷下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形
成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.
LlL111
[例2]已知a,b,c>0且互不相等,abc=1.试证明:
’2+.,rb+cv++.
abc
[证明]因为a,b,c>0,且互不相等,abc=1,
所以a+b+c=十+±+秸
111111
~+++
bcacab
V2+2+2
111
=_++_,
abc'
即a+b+cva+b+£
[方法技巧]
综合法证明时常用的不等式
2
(1)a>0.
(2)|a|>0.
(3)a2+b2>2ab,它的变形形式有:
22222a+b>2|ab|;a+b>—2ab;(a+b)>4ab;
1ab
a+a》2(a>°);b+評2(ab>0);
b+詐-2(ab[例3](2017沈阳模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:
(1)a+b+c>3;
⑵bc+,ac+卸3(a+b+c)・
[证明]⑴要证a+b+c>3,
由于a,b,c>0,
因此只需证明(a+b+c)>3.
222
即证:
a+b+c+2(ab+bc+ca)>3,
而ab+bc+ca=1,
故只需证明:
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)>3(ab+bc+ca).
222
即证:
a+b+c>ab+bc+ca.
因此要证原不等式成立,
只需证明yObc》+Ub+&,
即证a.bc+b.ac+c.ab<1,
即证abc+bac+cabwab+bc+ca.
一ab+ac
而abc=abacw_2—,
_ab+be_bc+ac
bacw—2,cabw—2.
所以abc+bac+cabwab+bc+ca
J3、、、、、
(当且仅当a=b=c=-3时等号成立).所以原不等式成立.
[方法技巧]
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式(a2+b2>2ab)、基本不等式
Ia+b'■
押w—厂,a>0,b>0没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来
寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
从而(a—b)(a+b)(2a+b)>0,即2a3—b3>2ab2—a2b.
3.[考点二]已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.
(1)证明:
若a+d>b+c,则|a—d|>|b—c|;
(2)t-a2+b2,c2+d2=a4+c4+〔b4+d4,求实数t的取值范围.
解:
⑴证明:
由a+d>b+c,且a,b,c,d均为正数,得(a+d)2>(b+c)2,又ad=bc,所以(a—d)2>(b—c)2,即|a—d|>|b—c|.
2.22.22222.22.2222222
(2)因为(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=ac+2abcd+bd=(ac+bd),所以t'a2+b2c2+d2=t(ac+bd).
由于a4+c4>2ac,b4+d4>2bd,
又已知t•a2+b2寸c2+d2=pa4+c4+寸b4+d4,
贝Ut(ac+bd)>.2(ac+bd),故t>2,当且仅当a=c,b=d时取等号.
1
1.[考点一]设函数f(x)=x+a+|x—a|(a>0).
(1)证明:
f(x)>2;
⑵若f(3)<5,求a的取值范围.