北京市东城区初三数学一模试题及答案.docx
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北京市东城区初三数学一模试题及答案
2009年北京市东城区中考数学一模试卷
一、选择题（8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．计算｜－2009｜的结果是（）
A．－2009B．
C．2009D．
2．函数
的自变量x的取值范围是（）
A．x≠－2B．x≥－2C．x＞－2D．x＜－2
3．我国2008年国内生产总值超过300000亿元，比上一年增长9％．将数据300000亿元用科学记数法表示为（）
A．3×105亿元B．30×104亿元
C．0.3×106亿元D．3×104亿元
4．下列运算正确的是（）
A．a2＋a4＝a6B．a2·a4＝a6C．（a4）2＝a6D．a6÷a2＝a3
5．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于
A．4B．6C．8D．10
6．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的（⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）
第6题图
A．外离B．相交C．外切D．内含
7．在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，除了需要了解自己的成绩外，还需要了解全部成绩的（）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
8．在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是（）
第8题图
二、填空题（4个小题，每小题4分，共16分）
9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝________．
第9题图第11题图
10．在实数范围内分解因式：
x2y－6xy＋9y＝________．
11．如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为________．
12．按一定规律排列的一列数依次为：
，
，
，
，
，
…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．
三、解答题（5个小题，每小题5分，共25分）
13．计算：
．
14．解不等式组
15．解方程：
．
16．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：
E是AC的中点．
第16题图
17．已知：
x－2y＝0，求
的值．
四、解答题（2个小题，每小题5分，共10分）
18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠D＝120°，CD＝4
cm，求AB的长．
第18题图
19．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为350人，表
（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．
（2）求出表
（1）中A、B的值．
图书种类
频数
频率
科普常识
B
0.2
名人传记
500
0.25
漫画丛书
800
A
其他
300
0.15
（3）该校学生平均每人读多少本课外书?
第19题图
五、解答题（3个小题，每小题5分，共15分）
20．某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元／件）
1200
1000
售价（元／件）
1380
1200
（注：
获利＝售价－进价）
求该商场购进A，B两种商品各多少件．
21．已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连结PC，交AD于点E．
（1）求证：
AD是圆O的切线；
（2）若PC是圆O的切线，BC＝8，求DE的长．
第21题图
22．如图，反比例函数
的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∶OC＝2∶1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；
（2）若直线y＝2x＋m平分矩形OABC面积，求m的值．
第22题图
六、解答题（3个小题，共22分）
23．（本题满分7分）已知：
关于x的一元二次方程x2－2（2m－3）x＋4m2－14m＋8＝0．
（1）若m＞0，求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．
24．（本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第24题图
25．（本题满分8分）请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB、CD交于点P则PA·PB＝PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图②）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：
的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：
的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图②），请你结合
（1）
（2）的结论，猜想：
的值，并给出证明．
①②
第25题图
2009年北京市东城区中考数学一模试卷
答案
一、选择题
1.C2．B3．A4．B5．D6．D7．C8．A
二、填空题
9．20°10．y（x－3）211．
12．
三、解答题
13．原式＝4－2－1＋1＝2
14．解：
解不等式①得x＜－1
解不等式②得x≥－4
∴原不等式组的解集为－4≤x＜－1．
15．解：
方程两边都乘以x（x－1），
得x2＋2（x－1）＝x（x－1），
解这个方程，得x＝
．
经检验，x＝
是原方程的根．
∴原方程的根是x＝
．
16．证明：
∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F．
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CEF（SAS）．∴AE＝CE．
即E是AC的中点．
17．解：
.
∵x＝2y，
∴原式
．
四、解答题
18．解：
过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点E、F．
∴∠AEB＝∠DFC＝90°．
∵AD∥BC，∠D＝120°，
∴∠C＝60°
在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝60°，CD＝4
．
．
易证：
四边形AEFD为矩形．∴AE＝DF＝6．
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，
．
第18题答图
19．解：
（1）1－25％－35％＝40％
（2）A＝1－0.2－0.25－0.15＝0.4
500÷0.25＝2000
B＝2000－500－800－300＝400
∴A的值为0.4，B的值400
（3）350÷35％＝1000
2000÷1000＝2
∴该校学生平均每人读2本课外书．
五、解答题
20．解：
（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．
根据题意，得
化简，得
解得
答：
该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件．
21．
（1）证明：
∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是圆O直径，
∴AD是圆O的切线．
（2）解：
连结OP，由BC＝8，得CD＝4，OC＝6，OP＝2．
∵PC是圆O的切线，O为圆心，
∴∠OPC＝90°．
由勾股定理，得PC＝4
．
在△OPC中，
．
在△DEC中，∵
，
．
第21题答图
22．解：
（1）由题意，设B（2a，a）（a≠0），则a＝
∴a＝±2．
∵B在第一象限，
∴a＝2，B（4，2），
∴矩形OABC对角线的交点E为（2，1）．
（2）∵直线y＝2x＋m平分矩形OABC必过点（2，1），
∴1＝2×2＋m．∴m＝－3．
第22题答图
六、解答题
23．
（1）证明：
Δ＝[－2（2m－3）]2－4（4m2－14m＋8）＝8m＋4．
∵m＞0，∴8m＋4＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）
．
∵方程有两个整数根，必须使
为整数且m为整数．
又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81．
．
令
，
．
令
，
．
令
，
．
∴m＝24
24．解：
（1）过点B作BD⊥x，垂足为D，
∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO．
又∵∠BDC＝∠COA＝90°；CB＝AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（－3，1）．
（2）抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B（－3，1），第24题答图
则得到1＝9a－3a－2，
解得
，∴抛物线解析式为
．
（3）方法一：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则可以设直线BC交抛物线
于点P1，
由题意，直线BC的解析式为：
，
解得
（舍）
∴P1（1，－1）．
过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△P1MC中，
∴CP1＝AC．
∴△ACP1为等腰直角三角形．
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；
则过点A作AF∥BC，交抛物线
于点P2，
由题意，直线AF的解析式为
，
解得
（舍）
∴P2（2，1）．
过点P2作P2N⊥y轴于点N，
在Rt△AP2N中，
，
∴AP2＝AC，
∴△ACP2为等腰直角三角形．
综上所述，在抛物线上存在点P1（1，－1）P2（2，1），使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形．
方法二：
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴．
∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，
∴△MP1C≌△DBC，
∴CM＝CD＝2，∴P1M＝BD＝1，可求得点P1（1，－1）；
经检验点P1（1，－1）在抛物线
上，使得△ACP1是等腰直角三角形．
②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，
得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2（2，1），
经检验点P2（2，1）也在抛物线
上，使得△ACP2也是等腰直角三角形．
25．解：
（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图①所示，
第25题答图
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C，∴Q与A重合，R与C重合，OP＝1，AC＝4，
．
（2）连结OA，如图②所示，
OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，
∴∠OAP＝30°，
∴AP＝
．
OA⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA＝90°，
∴∠APQ＝∠OAP＝30°，
∴在Rt△AQP中，
．
同理，
，
．
（3）猜想
证明：
过点A作直径交⊙O于点E，连结CE，如图③所示，∴ECA＝90°．
AE⊥直线m，PQ⊥直线m，
∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．
∴∠EAC＝∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
同理可得：
∴
①＋②，得
，
．
过点P作直径交O于点M，N
由阅读材料可知：
AP·PC＝PM·PN＝3．
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