奥林匹克数学高下.docx

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奥林匹克数学高下

奧林匹克數學（高下）

奧數的秘密

YCESO’MATHCLUB

本單元教學目標：

1.能發現數學規律予以應用解題

2.能培養正確數學觀念與態度

3.能運用比較與分析法則思維

4.能建立簡化與推理的思考習慣

家長意見及簽章

教師意見及簽章

授課教師：

王昭傑老師

學生姓名：

＿＿＿＿＿＿

爲何學奧數？

在開始這堂課之前，我想有一些事情是大家必須釐清的。

首先，你為什麼來修這堂課?

是自己要來的嗎?

還是爸媽要求的?

想來的目的又是什麼?

是想補救你在普通班數學的不足?

還是想挑戰更深一層的數學?

如果是想補救的心態，或是不是自己想來的，那麼我想您在這堂課會有點累；如果你對數學不是那麼感興趣的話，那麼這堂課對你來說將是很大的挑戰！

奧林匹克數學，主要是根據小學階段所習得的數學概念去做延伸和探討，學奧數的第一個先決條件是[數學概念清晰]再者是有[濃郁的興趣]，這兩著缺一不可！

所以在這裡，王老要告訴你一個觀念，老師上課要教你的是對數學解題的一個[態度]或[觀念]，老師不要你依樣畫葫蘆來學我的解題方法或技巧，我要你由引導中自己去體會，去發現和建構你自己的一套解題邏輯，或者以我的概念為架構，由你自己去組織其中的血肉。

修這堂課，王老要你先學習忘記。

請你忘記你的數學成績。

不管你數學多好，或者多爛都不重要。

重要的是，老師會釐清你的概念，只要你跟上老師的腳步走，你會有所突破。

奧數不難，只是因為我們習慣了僵化的思考，也許我們一堂課下來只學個幾題，或者一梯次下來只學個幾單元，但是那不重要，重要的是你釐清了多少的概念和學習了多少數學應有的態度？

在這梯次學多或學少，關鍵在各位的手中，如果各位可以輕鬆的跟上老師的腳步，我們就可以如漫步雲端遨遊在數學的國度裡。

如果我們還要停下腳步攪動大家僵化的腦袋，那我們就必須慢慢琢磨了!

最後，希望帶給大家一個數學學習的衝擊!

王老于資優班

台北市中正區螢橋國小奧林匹克數學培訓隊成立草案

YCESO’MATHCLUB

壹、主旨：

為落實資優教育服務精神，及擴大服務普通班數學績優生，故成立本培訓隊。

課程採加速、充實並行制，增進本校學生數學能力。

授課內容與普通班課程迥異，主要以推理數學及教導學生如何在普通班數學的舊有先備知識下極致發揮所學解決高層次數學難題，期建構學生正確數學思考邏輯概念，俾以強化數學實力、開發學生潛能，爲本校資優數學基礎扎根。

貳、實施對象：

三至六年級學生

參、上課時間：

每星期抽兩堂課至資優班進行訓練（併入資優班奧數課程時間，若遇比賽則

擇期集訓）

肆、實施辦法：

一、每學期初進行公開徵選選手活動（舊有隊員與資優生免試），每月進行一次學習評比。

二、培訓隊學生不論普通生或是資優生皆須上滿一整學期課程，課程結束通過測試給予

證書以資鼓勵。

（無故缺課達三次者無證書）

三、資優班學生若為數學培訓隊員者，除必須修習一整學期數學課程外，另可修習一階

段之其他基本能力課程。

四、低年段之學生，若程度超前，且經家長及班級導師許可，在簽下家長同意書後，可

同時修習各年段之奧林匹克數學。

伍、師資說明：

資優班教師兼特教組長王昭傑老師

一、92年：

指導學生參加環球盃數學奧林匹克競賽亞太區個人金牌

二、93年：

指導科展－「費氏數列的推廣與應用」獲得台南市特優、全國44屆佳作

陸、徵選資格：

一、上一學期數學科平均成績達90分以上者

二、數學成績80分以上，未達90分，且經家長或班級導師推薦數學表現優異者

柒、培訓隊員的責任與義務：

一、擔任數學培訓隊員，在普通班必須擔任數學小天使教導其它數學程度落後學生。

二、每禮拜在不影響正課的情況下排班一次至資源班協助數學輔導教學。

三、不定期參加對外之數學競賽，以考核所學並爲校爭光！

捌、培訓隊員入班須知：

一、本課程完全免費，但若需集體購買訓練書籍或製作隊服，則發放通知單告知。

二、每月評比未達標準或因抽課問題造成普通班課程無法銜接，則無條件予以退訓。

三、無故遲到或不到達三次者，予以退訓。

四、無故不履行上述柒之責任與義務者，予以退訓。

玖、以上辦法呈校長核可後實施，若有修正亦同！

【目錄】

奧數培訓班上學期目錄規劃

目次年級

三年級

四年級

高年級

上學期

1.圖形規律

1.巧算四則運算

1.速算與巧算

2.找規律填數

2.定義新運算

2.數列求和進階

3.基礎巧數線段

3.有趣的數陣圖

3.奇數與偶數

4.一筆劃圖形

4.簡易加法原理

4.格子點面積

5.巧求周長

5.簡易乘法原理

5.行程問題

6.巧算加減法

6.巧算面積

6.火車過橋問題

7.巧算乘除法

7.植樹問題

7.尾數問題

8.數字謎

8.方陣問題

8.時鐘問題

9.等量轉換

9.年齡問題

9.因數倍數問題

10.乘除法數字謎

10.長方體與正方體

奧數培訓班下學期目錄規劃

下學期

1.火柴棒問題

1.橫式數字謎

1.分數的四則運算

2.最短路線問題

2.數字問題（乘法原理）

2.分數的大小比較

3.基礎規律求和

3.頁碼問題

3.數的整除

4.平均數問題

4.數的關係（數碼問題）

4.餘數問題

5.和倍問題

5.雞兔同籠問題

5.牛吃草問題

6.差倍問題

6.相遇問題

6.平面圖形的面積

7.和差問題

7.追及問題

7.工程問題

8.歸一問題

8.流水行船問題

8.抽屜原理

9.還原問題

9.時間問題

9.排列組合

10.機率

1.此為基礎訓練課程

2.未編入課程將於比賽前選派選手集訓

3.此為預排課程，得以依學生情況修正

4.若成績優異者，經班級導師與家長同意後可越級修課

5.課程期間將不定期舉行測試

6.若預定課程提前結束，將輔以題庫練習或其他教材訓練

【主題一：

分數的四則運算】

分數是很多小學生很頭痛的一個單元，其實它的運算概念很簡單，就只是分類罷了！

只要計算時掌握運算基本原則「先乘除、後加減、括號優先」，再利用簡單的擴約分，就可以輕鬆解題，在這裡會分享一些特殊的分數型態，請享用！

王老又來啦~~

1.分數的型態：

2.分數的運算規則：

【王老說1】

【王老說2】

【王老說3】

【王老說4】

數學營養餐：

1.

2.

3.

4.

【主題二：

分數的大小比較】

數的大小怎麼比較？

通常我們都是用「相減」的！

但如果是要比較「分數」呢？

但是分數如果很複雜，我們要如何減呢？

直接通分嘛？

那可不是一個好辦法喔！

請看以下例題！

分數比較大小的幾個方法：

【王老說1】通分子法

比較

和

的大小？

【王老說2】比1法

比較

和

的大小？

【王老說3】比半法

比較

和

的大小？

【王老說4】比倒數法

比較

和

的大小？

數學營養餐：

1.比較

和

的大小？

2.比較

和

的大小？

3.比較

和

的大小？

4.比較

和

的大小？

【主題三：

數的整除】

如果整數a被整數b所除得的商為整數，而且沒有餘數，我們就說a被b整除。

而我們有辦法很快判斷哪一個數可以整除哪些數嘛？

如果有辦法，我們就不需要一個一個慢慢去除了！

底下要教大家一些關於整除的概念，請享用！

聽我說---

王老又來嚕~老師在說要認真聽！

數的整除複習！

1.可以被2整除：

2.可以被3整除：

3.可以被4整除：

4.可以被5整除：

5.可以被6整除：

6.可以被7整除：

7.可以被8整除：

8.可以被9整除：

9.可以被11整除：

【王老說1】

在一個六位數□7358□的□填哪些數字，才能使這個六位數分別能被9、5、4整除？

【王老說2】賴呆去領錢，但是忘記他的提款機號碼。

他只記得前三個號碼是586，而且是個六位數，且這個六位數可以被3、4、5整除（且是符合這樣的廖位數當中最小的）。

請問賴呆的密碼是幾號？

【王老說3】

用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每個數字只用一次）組成三個能被9整除的三位數，求這三個三位數是多少？

【王老說4】

請證明將任意一個三位數連續寫兩次所得到的六位數一定可以被7、11、13整除！

【王老說5】

一個六位數12□34□可以被88整除，請問整除後的商是多少？

數學營養餐：

1.將1、2、3、4、5、6、7、8、9依次一直寫下去組成一個1993位數，請問這1993位數被3除的餘數是多少？

2.51位數333.333□222.22（3和2都有25個）能被7整除，那麼□內的數是多少？

3.一個四位數45□○可以被2、3、4、5、9整除，請問這個四位數？

4.已知六位數□8919□能被33整除，那麼這個六位數是多少？

5.在25□79這個數的□內填上一個數字，這整個數可以被11整除，請問方格內要填多少？

6.六位數3ABABA可以被6整除，請問這樣的數有多少個？

請列出來！

7.六位數□1997□可以被9和11整除，請問這個六位數是多少？

【主題四：

餘數問題】

餘數問題可以是變化性很大的題目，但是萬法不離其宗，其實只要我們掌握一些餘數的性質，就可以輕鬆解題啦！

以下介紹三種常見的餘數性質，有助於將來面對餘數問題的思維！

王老又來啦~老師在說你要認真聽！

（一）同餘、同不足問題：

1.先求「最小公倍數」

2.依照題意放大（縮小後），加上餘數或減去不足

（二）不同餘問題：

1.找「相同數」為基準

2.加上「最小公倍數」倍數

（三）餘數問題：

1.同數相連乘，化簡除、找規律

即：

am÷b的餘數=（a÷b的餘數）m÷b

2.不同數相連乘，除完除、找規律

即：

a×b÷c的餘數=（a÷c的餘數）×（b÷c的餘數）÷c

3.不同數和差，除完除、找規律

即：

（a±b）÷c的餘數=（a÷c的餘數±b÷c的餘數）÷c

◎說明：

使用本方法請記得，搭配簡化步驟求餘數規律。

【王老說1】題型

（一）同餘、同不足問題

請問：

有一數三三除之餘一，五五除之不足二，七七除之不足五，又此數在200到300之間，請問此數是多少？

【王老說2】題型

（二）不同餘問題

請問：

某數被3除餘1，被5除餘2，被7除餘3，請問此數最小？

【王老說3】題型（三）餘數問題—同數相連乘，化簡除、找規律

請問：

19981998除以7的餘數是多少？

【王老說4】題型（四）餘數問題—不同數相連乘，除完除、找規律

請問：

17×18×19×21除以5的餘數是多少？

數學營養餐：

1.某整數用6除之餘1，用10除之不足5，用12除之也不足5，請問此數最小為多少？

（55）

2.求（22222222＋33333333）÷7的餘數？

3.請問：

18×24×245×329除以7的餘數是多少？

4.有一數三三除之餘一，五五除之不足二，又此數在400到500之間，請問此數是多少？

【主題五：

牛吃草問題】

牛吃草問題是一類非常討人厭的數學題目！

還記得大學時代故意拿去問同學，一大堆自認數學超強的同學都敗倒在這樣的題目中，它難的地方在於：

牛在吃草的同時，草也一直生長著！

那怎麼算阿？

大家來挑戰一下吧！

挑戰！

大家思考一下！

【王老說1】

一個牧場長滿青草。

牛在吃草而草又不斷的生長。

27頭牛6天可以把牧場的草全部吃完，23頭的牛9天可以把全部牧場裡面的草吃完。

請問21頭牛要吃幾天，才可以把全部牧草吃完？

王老又來嚕~解題秘訣說明：

【王老說2】石門水庫裡的存水量一定，河水每天均勻入庫。

5台抽水機連續抽20天可以抽乾，6台一樣的抽水機15天可以抽乾。

如果要6天抽乾，那麼要幾台同樣的抽水機？

數學營養餐：

1.一個水池安裝有排水量相等的排水管若干根，一跟入水管不斷的往池裡放水，每分鐘放入的水都一樣。

現在如果打開3根排水管，則45分鐘可以把水池排乾，用5根排水管要25分鐘把水排乾，用8根要幾分鐘？

2.一個牧場長滿青草。

牛在吃草而草又不斷的生長。

10頭牛20天可以把牧場的草全部吃完，15頭的牛10天可以把全部牧場裡面的草吃完。

請問25頭牛要吃幾天，才可以把全部牧草吃完？

3.一個牧場長滿青草。

牛在吃草而草又不斷的生長。

27頭牛6天可以把牧場的草全部吃完，69頭的羊9天可以把全部牧場裡面的草吃完。

若一頭牛的吃草量等於三頭羊的吃草量。

請問11頭牛和30頭羊要吃幾天，才可以把全部牧草吃完？

【主題六：

平面圖形面積】

面積問題，看似簡單，其實卻不然。

只是單純的使用底乘高除以2就可以了嗎？

其實有很多觀念我們都學過，只是沒有巧用罷了！

我們在這一章會討論一些求圖形的方法和討論一些特殊題，請享用！

聽我說---

王老又來啦!

1.關於三角形面積的關係!

2.關於四邊形面積關係!

【王老說1】

如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，

EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA。

求四

邊形ABCD的面積。

【王老說2】

如圖所示，長方形中有一個半圓，

求圖中斜線部分面積

【王老說3】

如圖所示，在一個四邊形中，有四條線段的長度已經

知道，還有兩個角是直角，求斜線部分面積。

【王老說4】

如圖所示，已知一個四邊形的兩條邊和三個角。

求這個四邊形的面積。

數學營養餐：

1.如圖所示，直線DF與平行四邊形ABCD的BC

邊交於E點，與AB的延長線交於F點。

己知三

角形ABE的面積是63平方厘米，圖中斜線三角

形面積是多少平方厘米？

2.如圖所示，用一張斜邊為21厘米的紅色直角三角

形紙片，一張斜邊為36厘米的藍色直角三角形紙

片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個直角三角形

。

紅、藍兩張三角形紙片面積之和是多少？

3.如圖所示，四邊形ABCD的對角線BD被E、F、

G三點四等分。

且四邊形AECG的面積為12平

方厘米。

求四邊形ABCD的面積。

【主題七：

工程問題】

工程問題最重要的是要了解「工作效率」、「工作時間」、「工作總量」三者的關係。

這類的問題通常我們會假定所有的工作單位為1，再討論工作工作效率與時間的關係！

聽我說---

【王老說1】甲、乙兩隊開挖一條水渠。

甲隊單獨挖要8天完成，乙隊單獨挖要12天完成。

現在兩隊同時挖了幾天後，乙隊調走，餘下的甲隊在3天內完成。

乙隊挖了多少天？

王老的話：

【王老說2】一項工程，甲先單獨做2天，然後與乙合做7天，這樣才能完成全工程的一半。

已知甲、乙工效的比是2:

3。

如果這項工程由乙單獨做，需要多少天才能完成？

王老的話：

【王老說3】一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成。

甲、乙合做幾天後，乙因事請假，甲繼續做，從開工到完成任務共用了16天。

乙請假多少天？

王老的話：

【王老說4】兩列火車同時從甲、乙兩地同時相對開出。

快車行完全程需要20小時，慢車行完全程需要30小時。

開出後15小時兩車相遇。

已知快車中途停留4小時，慢車停留了幾小時？

王老的話：

數學營養餐：

1.師徒兩人共同加工一批零件，2天加工了總數的

。

這批零件如果全部由師傅單獨加工，需10天完成。

如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？

2.一項工程，甲、乙兩隊合作30天完成。

如果甲隊單獨做24天後，乙隊再加入合作，兩隊合作12天後，甲隊因事離去，由乙隊繼續做了15天才完成。

這項工程如果由甲隊單獨完成，需要多少天？

3.一項工程，甲隊獨做10天可以完成，乙隊獨做30天可以完成。

現在兩隊合作期間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（兩隊不在同一天休息）。

從開始到完工共用了多少天？

4.一項工程，如甲隊獨做，可6天完成。

甲3天的工作量，乙要4天完成。

兩隊合做了2天後，由乙隊單獨做，乙隊還需做多少天才能完成？

5.一項工程由甲獨做30天可以完成，由乙獨做48天完成。

如果先讓甲做20天，剩下的工程由乙獨做，還要幾天可以完成？

6.一項工程，甲、乙合做6小時可以完成。

現兩人合做來完成任務，中途甲停工了2.5小時，這樣共經過7.5小時完工。

如果這項工程由甲單獨完成要多少小時？

7.師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。

師父先作了3天，因事外出，由徒弟接著做1天，共完成任務的

，如果讓師父單獨做，多少天可以完成？

8.一項工程，甲、乙合做8天完成。

如果讓甲先獨作6天，然後乙再獨作9天完成任務。

乙獨作這項工程要多少天完成？

【主題八：

抽屜原理】

抽屜原理可以這樣表述。

把多於n個的東西，分別放在幾個抽屜裡面，那麼至少有一個抽屜裡有2或2個以上的東西。

抽屜原理考的是數目安排的合理性和邏輯概念，這單元對於數感好的同學可能很輕鬆，但是也不是那麼輕易就可以過關的喔！

請寫下你的推理吧！

聽我說---

【王老說1】請說明任意三個整數當中，一定有兩個數奇偶數相同。

【王老說2】把135塊糖果任意分給16個小朋友，每個人都要拿，請說明為何至少會有兩個小朋友拿的糖果數一樣？

【王老說3】有白球、紅球、藍球、綠球各13顆。

請問至少要拿幾顆才可以確保必定拿出11顆相同顏色的球。

數學營養餐：

1.某袋子內裝有70顆球。

其中有紅球20顆，藍球20顆、綠球20顆，其餘是白球和黑球。

如何拿才能確保拿出10顆顏色相同的球?

2.若奧林匹克數學班一共有56名學生都是同年生的，請說明至少有2人的生日是在同一禮拜？

3.把400本書任意分給若干個同學，但每人不能超過11本，請證明至少有七人拿的書本數一樣多！

【主題九：

排列組合】

利用之前所教的乘法原理和加法原理可以對事物或者數做有規律的安排，而且可以很快的把這樣的安排求出來的方法。

一般來說，我們可以用慢慢列的，但是那太花時間了！

排列組合是動動腦很好的題形，大家一起挑戰吧！

聽我說---

【王老說1】小強從家到螢橋有2條路可走，從螢橋到麥當勞有3條路可走。

小強從家經螢橋到麥當勞，共有多少種不完全相同的走法？

【王老說2】用5、6、7、8這四個數字，可以寫多少個沒有重複數字的三位數？

【王老說3】從2、3、5、7、11五個數中，每次取出兩個數，分別作為一個分數的分子和分母，一共可以組成多少個真分數？

【王老說4】從萬華到桃園，中途要經過六個站。

桃園車站要為這次列車準備多少種不同的車票？

【王老說5】用紅、黃、藍各一面信號旗，一共可以組成多少種不同的信號？

【王老說6】平面上有十個點，其中沒有任意三個點在同一直線上。

問過這些點最多可以畫多少條直線？

數學營養餐：

1.從A城到B城，可乘飛機、火車、汽車或輪船，一天中飛機有一班，火車有4班、汽車有兩班、輪船有3班。

問從A城到B城共有多少種不同的走法？

2.有紅、黃、藍、白、黑五種顏色的鉛筆，每兩種顏色的鉛筆為一組，最多可以組成幾組顏色不同的鉛筆？

3.從A城到B城有3條直達鐵路，從B城到C城有4條直達公路，那麼從A城經B城到C城有多少種不同的走法？

4.小紅有3雙不同顏色的皮鞋，4件不同顏色的上衣，5件不同顏色的裙子。

問她共有多少種不同的穿法？

5.用數位1、2、3、4、5可以組成多少個沒有重複數位的三位數？

6.在2、3、5、7、9、11這六個數中任取一個做分子、一個做分母，可以組成多少個不同的分數？

真分數、假分數各有多少個？

7.一個小組有7人打掃衛生，其中有2人派去掃地。

共有幾種派法？

8.有4名同學參加學校護導值勤，站成一排，一共有多少種不同的排法？

9.從0、3、5、7四張數學卡片中，任取三張排成三位數。

能排成多少個不同的三位數？

其中能同時被2、5整除的三位數有幾個？

能同時被2、3、5整除的三位數有哪些

10.有8個同學在放假前的約定假期裏每兩人互通一封信。

他們總共要寫多少封信？

如果每兩人互通一次電話，他們總共要通幾次電話？

11.甲、乙、丙、丁、戊五人畢業前去照相留影。

如果甲一定要站在在中間，可以照多少張人員排列順序不同的照片？

如果沒有規定，可照幾張五人排列順序不同的照片？

12.從六塊不同顏色的積木裏，每次取出3塊排成一橫排，共有多少種不同的排法？

【主題十：

機率問題】

什麼是機率？

機率就是一件事情所發生的比率多大！

比如說丟一面銅版不是正面就是反面，我們就說出現正面和反面的機率都是一半。

比如說丟骰子，我們會說出現每一面的機率正常來說都是六分之一。

機率問題要搭配乘法原理的概念來解題，這部份雖然是放在高中才教，但是王老有信心大家今天就可以學會！

機率？

1.一件事情發生的可能性，比如說王老師投籃10球進9球，

　　代表王老師投進籃框的機率是

，投不進的機率是

2.機率用法：

　3.解題技巧：

（1）找出所有可能性

（2）利用乘法原理

（3）注意有無前後順序

【王老說1】

若王老投籃命中率是8成，請問若王老投3球：

（1）投中1球的機率是多少？

（2）投中2球的機率是多少？

（3）3球都中的機率是多少？

（4）都沒投中的機率是多少？

【王老說2】有甲、乙、丙三個人，若甲考試及格的機率是

、乙考試及格的機率是

、丙考試及格的機率是

，請問

（1）三人都及格的機率是多少？

（2）兩人及格的機率的機率是多少？

（3）一人及格的機率是多少？

（4）都不及格的機率是多少？

【王老說3】請問丟兩枚骰子，點數和為8的機率有多大？

數學營養餐：

1.請問丟兩枚骰子，點數和為7的機率有多大？

2.請問一副撲克牌當中，要連續拿出5張花色一樣的牌機率有多高？

3.有甲、乙、丙三個人，若甲考試及格的機率是

、乙考試不及格的機率是

、丙考試及格的機率是

，請問

（1）三人都及格的機率是多少？

（2）兩人及格的機率的機率是多少？

（3）一人及格的機率是多少？

（4）都不及格的機率是多少？

4.在2、3、5、7、9、11這六個數中任取一個做分子、一個做分母，可以組成、的分數中真分數的機率有多大？

假分數的機率有多大？