新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测B.docx
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新人教A版必修5高中数学第一章解三角形章末检测B
第一章解三角形章末检测（B）新人教A版必修5
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在△ABC中，a＝2，b＝
，c＝1，则最小角为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝（a＋c，b），q＝
（b－a，c－a），若p∥q，则角C的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中，已知|
|＝4，|
|＝1，S△ABC＝
，则
·
等于（ ）
A．－2B．2
C．±4D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝
，b＝
，B＝120°，则a等于（ ）
A.
B．2C.
D.
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是（ ）
A．1B.
C．1D．2
7．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于（ ）
A．－
B.
C．－
D.
8．下列判断中正确的是（ ）
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝
，AC＝1，则△ABC的面积是（ ）
A.
B.
C.
或
D.
或
10．在△ABC中，BC＝2，B＝
，若△ABC的面积为
，则tanC为（ ）
A.
B．1C.
D.
11．在△ABC中，如果sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2（a2＋b2），则角C的度数是（ ）
A．60°B．45°或135°
C．120°D．30°
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在△ABC中，若
＝
，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（
b－c）cosA＝acosC，则cosA＝________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.
18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.
（1）求B的大小．
（2）若a＝3
，c＝5，求b.
19．（12分）如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
（1）若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
（2）求四边形OPDC面积的最大值．
20．（12分）为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内（如示意图）．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：
①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝
.
（1）若△ABC的面积等于
，求a，b.
（2）若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
22．（12分）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
第一章 解三角形章末检测答案（B）
1．B [∵a>b>c，∴C最小．
∵cosC＝
＝
＝
，
又∵0.]
2．B [∵p∥q，∴（a＋c）（c－a）－b（b－a）＝0.
∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，
∴cosC＝
，又∵0.]
∴|
|·|
|·sinA
＝
×4×1×sinA＝
.
∴sinA＝
.又∵0°∴A＝60°或120°.
·
＝|
|·|
|cosA
＝4×1×cosA＝±2.]
4．D [由正弦定理得
＝
，
∴sinC＝
＝
＝
，
∵c∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝c＝
.]
5．D [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，
∴AC＝3.由正弦定理得
＝
＝
.]
6．D [由题意，x应满足条件
解得：
2
.]
7．D [由正弦定理得
＝
.
∴sinB＝
＝
.
∵a>b，A＝60°，∴B<60°.
∴cosB＝
＝
＝
.]
8．B [A：
a＝bsinA，有一解；
B：
A>90°，a>b，有一解；
C：
aD：
c>b>csinB，有两解．]
9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，
∴12＝（
）2＋BC2－2×
×BC×
.
整理得：
BC2－3BC＋2＝0.
∴BC＝1或2.
当BC＝1时，S△ABC＝
AB·BCsinB＝
×
×1×
＝
.
当BC＝2时，S△ABC＝
AB·BCsinB＝
×
×2×
＝
.]
10．C [由S△ABC＝
BC·BAsinB＝
得BA＝1，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，
∴AC＝
，∴△ABC为直角三角形，
其中A为直角，
∴tanC＝
＝
.]
11．C [由已知，得cos（A－B）＋sin（A＋B）＝2，
又|cos（A－B）|≤1，|sin（A＋B）|≤1，
故cos（A－B）＝1且sin（A＋B）＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]
12．B [由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，
得cos2C＝
＝
＝
⇒cosC＝±
.∴角C为45°或135°.]
13．45°
解析 由正弦定理，
＝
.
∴
＝
.∴sinB＝cosB.
∴B＝45°.
14．10
解析 设AC＝x，则由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，
∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3（舍去）．
∴S△ABC＝
×5×8×sin60°＝10
.
15．8
解析 如图所示，
在△PMN中，
＝
，
∴MN＝
＝32
，
∴v＝
＝8
（海里/小时）．
16.
解析 由（
b－c）cosA＝acosC，得（
b－c）·
＝a·
，
即
＝
，
由余弦定理得cosA＝
.
17．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，
由正弦定理，得
＝
，
∴AC＝
∴AB＝AE＋EB＝ACsinα＋h＝
＋h.
18．解
（1）∵a＝2bsinA，∴sinA＝2sinB·sinA，
∴sinB＝
.∵0，∴B＝30°.
（2）∵a＝3
，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB
＝（3
）2＋52－2×3
×5×cos30°＝7.
∴b＝
.
19．解
（1）在△POC中，由余弦定理，
得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ
＝5－4cosθ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD
＝
×1×2sinθ＋
×（5－4cosθ）
＝2sin
＋
.
（2）当θ－
＝
，即θ＝
时，ymax＝2＋
.
答 四边形OPDC面积的最大值为2＋
.
20．解 ①需要测量的数据有：
A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d（如图所示）．
②第一步：
计算AM，由正弦定理AM＝
；
第二步：
计算AN.由正弦定理AN＝
；
第三步：
计算MN，由余弦定理
MN＝
.
21．解
（1）由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于
，
所以
absinC＝
，由此得ab＝4.
联立方程组
解得
（2）由正弦定理及已知条件得b＝2a.
联立方程组
解得
所以△ABC的面积S＝
absinC＝
.
22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，
∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得
＝
，
∴
＝
，∴CP＝
sinθ.
又
＝
，∴OC＝
sin（60°－θ）．
因此△POC的面积为
S（θ）＝
CP·OCsin120°
＝
·
sinθ·
sin（60°－θ）×
＝
sinθsin（60°－θ）
＝
sinθ
＝2sinθ·cosθ－
sin2θ
＝sin2θ＋
cos2θ－
＝
sin
－
∴θ＝
时，S（θ）取得最大值为
.
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