高三数学 导数与微分教案同步教案 新人教A版.docx

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高三数学导数与微分教案同步教案新人教A版

2019-2020年高三数学导数与微分教案同步教案新人教A版

一、教学进度

第三章导数与微分

二、学习指导

通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（）、曲线在某一点处的切线的斜率（）、生产的边际成本（）三个实例（也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：

函数的变化量△y与自变量的变化△x的比值当△x→0时的极限，并定义为函数f（x）在这一点处的导数.并进而定义了导函数（简称导数）

导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：

C/=0，及=（n为正整数）课本已予推导；两个法则：

[f（x）±g（x）]/=（x）±g/（x）.[Cf（x）]/=C（x）.请同学们根据定义自行证明一下上述两个法则后再往下看：

[f（x）±g（x）]/=

=

=±=±

==（C·）

=C=.

有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了.

另外，∵=≈，∴△y≈·△x.

当△x很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。

导数就是从瞬时速度，切线斜率，边际成本等实际问题中抽象概括出来的，当然要反过来服务指导实际问题的解决，凡是与变化率相关的问题都可从微分和导数理论中受益，本讲主要集中讲授判断证明函数的单调性，函数的极值和最值。

根据函数单调性的定义，函数在其定义域内某从a到b（a＜b）的区间内单调递增，即是对该区间内任意的x1＜x2（不妨记△x=x2－x1＞0）.恒有y1＜y2（记△y=y2－y1＞0）.于是A（x1，y1），B（x2，y2）两点间连线斜率=＞0.

从而==＞0.由x1的任意性，知（a，b）内的导函数值均正；反之，若f（x）在该区间单调递减，即是对该区间内任意的x1＜x2（不妨仍记△x=x2－x1＞0）.恒有y1＞y2.记△y=y2－y1＜0.则A、B连线斜率=＜0，从而==＜0.所以，导函数值为正的区间原函数必是单调递增的，导函数值为负的区间，原函数必是单调递减的。

而导函数值为O的点xo有可能（但不一定就是）是原函数增、减区间的接合点，也就是说，f（xo）有可能（但不一定就是）f（x）的一个极大（小）值.但到底是不是极值点，还须看导函数在xo的左、右是否异号，如在xo左边＞0，而在xo右边＜0，则f（xo）为原函数的一个极大值；如在xo左边＜0，而在xo右边＞0，则f（xo）是原函数的一个极小值；如在xo左右符号相同，则f（xo）不是原函数的极值.

我们原先用定义证明函数在某区间单调，过程相当繁杂（对较复杂的函数更是如此）.而判断单调区间的界限，则无明章可循，现在我们可以使用导数这个利器，过程就显得简单明了多了，今后再遇到类似问题，尽可以使用它。

极值和最值是相互有联系的不同概念，总的来说，极值是局部概念，f（xo）如果比xo附近（无论这个“附近”的范围多小，不含xo）的x的函数值f（x）都大（小）.则称f（xo）就是f（x）的一个极大（小）值.且=0，但=0.f（xo）却不一定就是f（x）的极值.最值是整体概念，若f（x）的定义域是R或开区间，则最值如果存在必是极值之一（诸极值中最大或最小者）,当然也有可能不存在.若f（x）的定义域是闭区间，则函数的最值是诸极值和边界函数值中之最。

从这个意义上讲，最值不一定是极值，极值也不一定是最值，f（xo）最大（小），未必有=0，故求最值，应先求所有极值及边界处的函数值，再从中挑选最值.

三、典型例题讲评

例1．n∈N*求函数y=x—n（x≠0）的导函数

我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。

y/=

=

=

=－

=－=－.

上述结果的形式与=有何关系？

你能否据此猜度是什么（α∈R）？

解：

=

=

=

==－

这与n为正整数时（xn）/=法则相合，（即以－n代n，即得上式.）

这会使我们猜测α∈R时，=α，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与上面的方程不同（不能再用二项式定理了）.

例2．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。

提示：

为求斜率，先求导函数：

y/=2ax+b，故切线方程为y－y0=（2ax0+b）（x－x0）即

y=（2ax0+b）x－ax+c，亦即y=（2ax0+b）x－ax+c.

抛物线焦点：

F（－,+）它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。

显然，y0=ax+bx0+c

y/=2ax+b故在P点处切线斜率为2ax0+b，

切线方程y－（ax+bx0+c）=（2ax0+b）（x－x0），

亦即y=（2ax0+b）x－ax+c.

由于y=ax2+bx+c按向量=（，）平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l：

y=2ax0x－ax满足：

焦点（0，）关于l的对称点为（m，n）.

当x0≠0时

，消去n.知m=x0.

当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，

故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.

要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。

例3．求函数y=x4+x－2图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.

首先由得x4+2=0知，两曲线无交点.

y/=4x3+1要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.

故切点：

（0,－2）.d==.

一般地，当直线l与y=f（x）的图像无交点时，

与l平行的切线与l间距离应为图像上点到l的

距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的

直线若与曲线y=f（x）相交，（A为一交点），则l/

与l间必存在y=f（x）上的点C，显然，C点到l

的距离小于l与l/间的距离，亦即A到l的距离.

当然，我的也可用参数直接考虑：

设（x0，x+x0－2）为y=f（x）图象上任意一点，它到l的距离d==≥=故距离最小值为.

上述等号当且仅当x0=0时取得故相应点坐标为（0，-2）.

解：

y/=4x3+1，令4x3+1=1，x=0.由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为d==.

例4．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离S=gt2其中t为经历的时间，g=9.8m/s2，若V==g=9.8m/s，则下列说法正确的是（）

（A）0～1s时间段内的速率为9.8m/s.

（B）在1～1+△ts时间段内的速率为9.8m/s.

（C）在1s末的速率为9.8m/s

（D）若△t＞0，则9.8m/s是1～1+△ts时段的速率.

若△t＜0，则9.8m/s是1+△ts～1时段的速率.

本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C），但值得指出的是：

中的△t可正可负.

例5．定义在（α、β）上的函数f（x）满足f

（1）=2，

（1）=3.（α＜1＜β）.

（1）求的值;

（2）求的值

本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑，这就需要设法把x→1转化为△x→0的形式.

==（f（x）+2）

[f（1+△x）+2]=

（1）·（f

（1）+2）=3·（2+2）

=（x+1）

（）=

（1）（1+1）=6.

例6．曲线：

y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：

y=x+1在（3,4）点处的切线为l2：

y=－2x+10，求曲线C的方程.

已知两点均在曲线C上.∴

y/=3ax2+2bx+c（0）=C（3）=27a+6b+c

l1：

y=cx+1l2：

y=（27a+6b+c）（x－3）+4

与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－，b=1.C：

y=－x3+x2+x+1.

求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.

例7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c当x=－1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，求此极小值及f（x）.

与极值有关，当然先研究导函数，=3x2+2ax+b.3和－1应为其两根

∴，

第三个待定系数应由f（－1）=7求出，得c=2，

∴f（x）=x3－3x2－9x+2，

从而求出极小值f（3）=－25.

解：

（x）=3x2+2ax+b（x）=0的两根为3，－1

由韦达定理

∴.

又7=f（－1）=－1+（－3）+（－9）（－1）+c∴c=2.

极小值：

f（3）=33+（－3）·32+（－9）·3+2=－25.

f（x）=－x3－3x2－9x+2.

例3．记u=xy,则有x2－2x+4=0.

记u2=f（x）=.∵－4y2=（x2－2x）＜0∴x∈（0,2）

=，当x=时，=0，且在（0,）上＞0,在（，2）上＜0，∴f（x）在x=时取极大值.相应地y=

=

∴当x=时，有最大值.

例8．要制造一个容积为50cm3的圆柱形锅炉，怎样的尺寸最省料（即表面积最小）？

提示：

若记底面半径为cm，高为hcm，则r2h=50.

表面积

*

要求最值，先求导函数：

.知时，=0.且＜时，

＜0.＞时,＞0.故当时S有极小值

+

=（cm2）.

当然，如果不等式学得好，我们也可把*式改写为≥

.等号当且仅当==.即r=cm时.

解：

记底面半径为rcm，高为hcm，由已知，==50.

∴表面积S=

=，令=0，得r=.且在为负，而当为r＞为正.

故当r=时，S有最小值30（cm2）

例9．已知x、y∈R+.x2－2x+4y2=0.求xy的最大值.

初看不知怎样下手.

记u=xy,则有x2－2x+4=0.即u2=f（x）=－

它的定义域可用4y2=2x－x2＞0求得，为（0，2）.

要使正数u取得最大值，须u2取得最大值.

=.当=0时，x=0（舍去）或，且当x∈（0，）时，＞0.时，＜0.故f（x）在x=时取得极大值.它也是f（x）的最大值.

由上可知，当x=时，（此时y=），u=xy取得最大值.

本题若直接写为u=或用三角换元，囿于目前教材的内容，我们就无法求导了.

例10．已知f（x）=x2+1.g（x）=f［f（x）］.（x）=g（x）+f（x）.问是否存在实数，使（x）在（－∞，－］上单调递减而在［，0］上单调递增？

复合函数求单调区间在以前是很棘手的问题，现在我们尝试用导数法解决这类问题

（x）=f［f（x）］+f（x）=（x2+1）2+1+（x2+1）

=x4+（2+）x2+2+

（x）=4x3+2（2+）x.

令（x）＞0.当≥－2时,为x＞0.与已知不合.

当＜－2时,x∈（－,0）∪（,+∞）,此时（x）在（－∞,－］,［0,］单调递减,而在［－,0］及［,+∞］单调递增.

由已知,－=－,知=－3.

解：

（x）=f［f（x）］+f（x）=x4+（2+）x2+2+

（x）=4x3+2（2+）x

令（x）＞0，此时如≥－2解为x＞0,原函数（x）在－∞，0］单调减［0，+∞］单调增，与已知条件矛盾，故知＜－2，此时（x）＞0的解集为（－，0）∪（，+∞）故（x）在－∞，－＝及［0，］单调递减，而在［－，0］及［，+∞单调递增与已知要求比较，知－=－

=－3.

x≤1

x＞1

例11．已知函数f（x）=

判断f（x）在x=1

处是否可导.

提示：

按照定义，可导存在与均存在且相等.

今知=

.而

=

.故

不存在.f（x）在x=1处不可导.在本题中，f（x）=f（x）=f

（1）=1.说明f（x）在x=1处连续.但不能说明它在x=1处可导，这两者是必须分清楚的，连续是可导的必要条件.

解：

若f（x）在x=1处可导，则=应存在，但由f（x）解析式知，上述极限不存在（==，而=，不相等）

∴f（x）在x=1处不可导.

巩固练习A

1．选择题

（1）曲线y=x3在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（）

（A）（－2，－8）（B）（－1，－1）或（1，1）

（C）（2，8）（D）（－，－）

（2）一质点在运动中经过的路程S和经历的时间t有关系S=5－3t2，则它在[1,+△t]内的平均速度为（）

（A）3△t+6（B）－3△t+6（C）3△t－6（D）－3△t－6

（3）曲线y=x3－x2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（）

（A）（B）（C）（D）

（4）过曲线y=x2上一点作切线与直线3x－y+1=0交成450角，则切点坐标为（）

（A）（－1，1）（B）（，）或（1，1）

（C）（，）或（－1，1）（D）（－1，1）或（1，1）

2.求过点P（2，2）且与曲线y=x2相切的直线方程.

3.已知函数f（x）=x2（x－1），若=x0，求x0的值.

4.路灯距地面8m，一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走，则人影长度变化速率是多少？

（要求以m/s为单位）

5.已知直线y=3x+1是曲线y=x3－2x+a的一条切线，求a的值.

6.已知f（x）=（x－a）（x－b），g（x）=cx+d.（a、b、c、d为常数），G（x）=f（x）g（x）.求证：

G/x=f/xg（x）+f（x）g/（x）

7.当f（x），g（x）为其它可导函数时，上题结论能否成立？

能成立，请用定义证明，不能成立，试举一反例说明.

8.设曲线S：

y=x3－6x2－x+6，S在哪一点处的切线斜率最小？

设此点为P（x0，y0）求证：

曲线S关于P点中心对称.

9.已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=x2+cx+d.若f（2x+1）=4g（x），且f/x=g/（x），f（5）=30，求g（4）.

10..曲线y=x（x+1）（2－x）上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.

11.已知函数y=x3+ax2+bx+c的图像过点P（1,2）.过P点的切线与图象仅P点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求f（x）的解析式.

12．已知f（x）是R上的可导函数.

（1）f（－x）在x=a处的导数值与f（x）在x=－a处的导数值有什么关系？

（2）若f（x）为偶函数，的奇偶性如何？

参考答案

1．

（1）y/=3x2，令3x2=3，知k=±1，故选（B）

（2）=

=－6+3△t.选（C）

（3）y/=x2－2x.当x=1时，y/=－1选（D）

（4）=tan450知k=－2或，令y/=2x=k，知x=－1或.选（C）

2．y/=2x，过其上一点（x0，x）的切线方程为

y－x=2x0（x－x0），过P（2，2），故2－x=2x0（2－x0）

x0=2±.故切线方程为y=（4±）x－（6±）.

3．f（x）=x3－x2，=3x2－2x，

令3x－2x0=x0知x0=0或1.

4．==5.

∴OM=4BM

同理ON=4CN

两式相减，知，影长变化BM－CN=（OM－ON）

=MN=·△t·84m/min

∴V==21m/min=m/s.

5．y/=3x2－2.令3x2－2=3x=±.代入切线方程知y0=1±，

∴a=y0+2x0－x=1±.

6．f（x）=x2－（a+b）x+ab=2x－（a+b）.

=c

∴g（x）+f（x）=[2x－（a+b）]（cx+d）+c（x2－（a+b）x+ab）=3cx2+2（d－ac－bc）x+abc－ad－bd.

又G（x）=[x2－（a+b）x+ab]（d+cx）

=cx3+（d－ac－bc）x2+（abc－ab－bd）x+abd.

∴G/（x）=3cx2+2（d－ac－bc）x+abc－ad－bd

∴G/（x）=g（x）+f（x）.

7．结论[f（x）g（x）]/=f/（x）g（x）+f（x）g/（x）仍成立，证明如下：

[f（x）g（x）]/=

=

=[g（x+△x）]+[f（x）]

=g（x）+f（x）

8．y/=3x2－12x－1当x=2时有最小值.故P：

（2,－12）.

S在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13.

又y=（x－2+2）3－6（x－2+2）2－（x－2+2）+6

=（x－2）3－13（x－2）－12

故曲线C的图象按向量=（－2，+12）平移后方程为y/=x－13x/为奇数，关于原点对称，故P（2，－12）为曲线S的对称中心.

9．由已知（2x+1）2+a（2x+1）+b=4（x2+cx+d）

∴

=2x+a=2x+c∴a=c③

又知52+5a+b=30∴5a+b=5④

由①③知a=c=2.依次代入④、②知b=－5，

d=－g（4）=42+2×4－=23

10．y=－x3+x2+2xy/=－3x2+2x+2

令y/＞0知x∈（，）

又x∈z∴x=0或1∴P点坐标为（0，0）或（1，2）.

切线斜率k=2或1，

切线方程为y=2x或y=x+1.

11．y/=3x2+2ax+b=3+2a+b

过P点切线方程y－2=（3+2a+b）（x－1）与y=x3+ax2+bx+c

联立，并注意到曲线过点P（1，2）知a+b+c=1

x3+ax2－（3+2a）x+2+a=0即（x－1）（x2+（a+1）x－2－a）=0

令（a+1）2+4（2+a）=（a+3）2≤0知a=－3.

b－=2，b=5，c=1－5+3=－1.

∴f（x）=x3－3x2+5x－1.

12．互为相反数.

f（－x）在x=－a处的导数值为

==－=－.

（2）是奇函数,这是因为

=∵f（x）为偶函数,故可进而写为

==－=－.

巩固练习B

1．已知在函数y=x3+ax2－a中，=0且f（xo）=0,则a的值为____________

2．已知函数f（x）满足：

f（3）=2,（3）=－2,则极限的值为___________

3．已知函数f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.

4．过点P（2，2）作曲线S：

y=3x－x3的切线，可作几条？

5．已知曲线C1：

y=3x4+a与曲线C2：

Y=4x3有交点，且两曲线在交点处有相同的切线，求a的值.

6．讨论函数y=的单调性.

7．直角三角形铁皮ABC的斜边长AB=2,∠A=30O，

现欲从角上剪去三块（图中阴影部分），用其余部分做成

一个无盖的直三棱柱形铁盒，怎样下料可使铁盒容积最大？

8．如图，一个圆锥形容器底面半径为rcm，

高为hcm.现以ncm3/s的速率往容器内注水，

求ts末水面上升的速率.

9．设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=1及x=－1处有极值，且f

（1）=－2a,求证f（x）是奇函数.

10．x＞1,求证：

2x＞3－.

11．某物体一天中温度T（OC）是时间t（小时）的函数：

T（t）=at3+bt2+ct+d.（a≠0）当t=0时，表示正午12点的温度T（O），12点以后的时间为正，12点以前的时间为负。

现测得该物体在上午8时的温度为8OC，12时的温度为60OC，13时的温度为58OC，且上午8时和下午16时的温度变比率相同.

（1）写出T（t）的函数解析式；

（2）求10~12时（包含10时和12时）的最高温度

12．一种塑料包装罐如右图所示，下部为一个圆柱形，

上部为一个半球形，球的半径与圆柱底面半径相同，

由于机器每次注塑量已定（即已确定罐体表面积.

怎样的尺寸能使其容积最大？

参考答案

1．=3x2+2ax当x=0或－a时值为0

若xO=0，则－a=0,a=0

若xO=－a,则（－a）3+a（－a）2－a=0,a=0或3

∴a=0或3.

2．记x=3+△x，则

=

=

=－3（3）+2=8.

3．=3x2－6ax+2b由已知

解得

此时=3x2－2x－1令＞0.得x＞1或＜－.

∴f（x）在（－∞，－］及［1，+∞）单调增，在［－，1］单调递减.

4．=3－3x2过曲线上一点（xO，3xO－xO3）的切线方程为y=（3－3xO2）（x－xO）+3xO－xO3.

切线应过P（2，2）点，故有2=（3－3xO2）（2－xO）+3xO－xO3.即xO3－3xO2+2=0

有三个根1,1±.故应有3条切线.

5．C1=12x3C2=12x2设公共点横坐标为xO则应有12xO3=12xO2.xO=0或1.曲线C2上对应的点为（0，0）或（1，4）亦应在曲线C1上，故a=0或+1.

6．f（x）=与函数g（x）=（2x－3）（3－x）2有相同的单调性，（x）=－15x2+36x－=6（x2－5x+6）令（x）＞0得x＞3或x＜2.

∴f（x）在（－∞，及［3，+∞单调递增，在［2，3］单调递减.

7．BC=1,AC=.盒底三角形两直角边长分别为

x∈（0，）

1－x－xcot30O=1－（+1）x

－x－xcot15O=－（3+）x

V=

=

=

.

令=0，得x=（舍去）或.

在（0，）.＞0.在（，）.＜0.故当x=时V取得极大值，又x→0或x→时，V→0

∴当x=时，V最大.

8．t秒注水量V=nt=（x为水面高度）.即x=.对t求导.

==即为所求.

9．（x）=3ax2+2bx+c.（x）=0的两个根为±1.故b=0,c=－3a.从而f（x）=ax3－3ax+d

又由已知－2a=a－3a+d.∴d=0.

∴f（x）=ax3－3ax为奇函数.

10．即证2x3－3x2+1＞0.

作函数f（x）=2x3－3x2+1.（x）=6x2－6x.

当x=1时，（x）=0.且x∈（0，1）时（x）＜0，当x＞1时，（x）＞0.∴f

（1）为极小值，且在［1，+∞上单调递增.∴f

（1）=2－3+1=0.∴当x＞1时,f（x）＞0即2x＞3－（x＞1）.

11．

（1）（x）=3at2+2by+c.t=－4与t=4时值相同，

故t=0为其对称轴，b=0.

又由已知

算得d=60.a=1.c=－3.

∴T（t）=x3－3x+60.

（2）此时当t=±1时值为0,且在［－2，－1）及（1，2］值为正，在（－1，1）值为负，知T（t）在t=－1时取极大值62，（t=1时取极小值）

故11时温度最高为62OC.

12．设圆柱的底半径为r，高为h，则表面积

S=

故V=

=

=当时=0且在（0，）时＞0.而r＞时，＜0，故当r=时V有极大值，也是最大值，为.

2019-2020年高三数学导数的概念教案新人教A版

 [教学目的]

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定