7．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为（ ）
A．180B．400
C．450D．2000
答案 C
解析
＝
，∴x＝450.故选C.
8．某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1、2、…、270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
答案 D
解析 对于系统抽样，应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样，应在1～108中抽取4个号，109～189中抽取3个号，190～270中抽取3个号．
点评 虽然三种抽样的方式、方法不同，但最终每个个体被抽取是等可能的，这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性．要根据不同的研究对象和不同的要求，采取不同的抽样方法．
9．衡水中学为了提高学生的数学素养，开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程，供高二学生选修，已知高二年级共有学生600人，他们每人都参加且只参加一门课程的选修．为了了解学生对选修课的学习情况，现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈．据统计，参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列，则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为（ ）
A．8B．10
C．12D．16
答案 C
解析 根据题意可得，参加《数学史选讲》的学生人数为240人．抽取比例是
＝
，故应该抽取240×
＝12人．
10．（2011·上海文）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
答案 2
解析 由24个城市用分层抽样抽取6个城市，可知每一个城市被抽入样的概率均为P＝
＝
，则丙组中应抽取的城市数为8×
＝2.
11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000）月收入段应抽出________人．
答案 25
解析 由图可得月收入在[2500,3000）的频率为0.0005×500＝0.25，所以[2500,3000）月收入段应抽出100×0.25＝25（人）．
12．（2011·山东文）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
答案 16
解析 应在丙专业抽取的学生人数是
×40＝16.
13．某校进行数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________
答案 135
解析 ∵
＝
，
∴
＝
，即m＝135.
14．中央电视台在因特网上就观众对2012年春节晚会这一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如表所示：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2435
4600
3926
1039
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，其中持“喜爱”态度的观众应抽取多少人？
答案 23人
解析 由于样本容量与总体容量的比为
＝
，
∴应抽取“喜爱”态度的观众人数为4600×
＝23（人）．
15．衡水统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500））．
（1）求居民月收入在[3000,3500）的频率；
（2）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000）的这段应抽多少人？
解析
（1）月收入在[3000,3500）的频率为0.0003×（3500－3000）＝0.15.
（2）居民月收入在[2500,3000）的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，
所以10000人中月收入在[2500,3000）的人数为0.25×10000＝2500（人），
再从10000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500,3000）的这段应抽取100×
＝25人．
1．问题：
①某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会．
方法一：
Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法．
问题与方法配对正确的是（ ）
A．①Ⅲ，②ⅠB．①Ⅰ，②Ⅱ
C．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ
答案 A
解析 ①因为社会购买力与家庭收入有关，因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名，样本和总体都比较少，适合采用简单随机抽样法．
2．（2009·广东）某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号、6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 由系统抽样知识可知，将总体分成均等的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔为k＝[
]．在第1段内采用简单随机抽样的方法确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．由题意，第5组抽出的号码为22，因为2＋（5－1）×5＝22，则第1组抽出的号码应该为2，第8组抽出的号码应该为2＋（8－1）×5＝37.由分层抽样知识可知，40岁以下年龄段的职工占50%，按比例应抽取40×50%＝20（人）．
3．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为1087，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽到的概率为0.2，则该单位青年职员的人数为________．
答案 400
解析 总人数为
＝1000，该单位青年职员的人数为1000×
＝400.
4．某单位最近组织了一次健身活动，参加活动的职工分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的
，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组中不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定
（1）游泳组中青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
思路
（1）根据登山组和游泳组中青年人、中年人和老年人的人数之和的百分比分别等于参加活动的三类职工的比例列方程组解决；
（2）先计算出游泳组的总人数，再根据游泳组中青年人、中年人和老年人的比例进行计算．
解析
（1）解法一：
设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有
＝47.5%，
＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
解法二：
设参加活动的总人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则“参加登山组的青年人人数加上参加游泳组的青年人人数等于参加活动的青年人人数”，即
x·50%＋
x·a＝x·42.5%，解得a＝0.4＝40%，同理b＝50%，c＝10%.即游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.
（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×
×40%＝60；抽取的中年人人数为200×
×50%＝75；抽取的老年人人数为200×
×10%＝15.
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