珥陵初中初二数学校本教材.docx

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珥陵初中初二数学校本教材

珥陵初中数学校本教材

初二年级

前言：

《数学课程标准》中指出：

“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。

这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。

现代数学论认为：

数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。

有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

数学家克莱因认为：

“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

”美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：

匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。

作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。

数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。

数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。

数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。

尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。

抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。

抽象的数学不正展示它的魅力吗？

第一部分最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯（Pythagoras）的信徒发现的,他们注意到:

数6有一个特性,它等于它自己的因子（不包括它自身）的和:

6=1+2+3,

下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14

接着是496和8128.他们称这类数为完美数.

欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

若2n-1是素数,则数

2n-1[2n-1]

（1）是完全数.

两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数（形式为

的素数）之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.

1：

完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n（n+1）/2.

6=1+2+3=3*4/2

28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2　　....

2n-1（2n-1）=1+2+3+...+（2n-1）=（2n-1）2n/2

2：

把它们（6除外）的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和（6除外）,

22（23-1）=28=13+33

24（25-1）=496=13+33+53+73

26（27-1）=8128=13+33+53+73+93+113+133+153　　....

2n-1（2n-1）=13+33+53+...+（2（n+1）/2-1）3

3：

除了因子1之外,每个完全数的所有因子（包括自身）的倒数和等于1,比如:

1/2+1/3+1/6=1

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....

4：

完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.

注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.

第二部分 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

　　例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？

这个点阵共有多少个点？

分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．第一层有点数：

1；

第二层有点数：

1×6；

第三层有点数：

2×6；

第四层有点数：

3×6；

……

第n层有点数：

（n-1）×6.

　　因此，这个点阵的第n层有点（n-1）×6个．n层共有点数为

　　例2在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

（1）这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

（2）这n个圆共有多少个交点？

　　分析与解

（1）在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个（取这n个特定的圆），观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？

为此，我们列出表18．1．

　　由表18．1易知

S2-S1=2，

S3-S2＝3，

S4-S3＝4，

S5-S4＝5，

……

　　由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

　　把上面（n-1）个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，

　　因为S1=2，所以

下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

（2）与

（1）一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

　　由表18．2容易发现

a1＝1，

a2-a1＝1，

a3-a2＝2，

a4-a3＝3，

a5-a4＝4，

……

an-1-an-2＝n-2，

an-an-1＝n-1．

　　n个式子相加

　　注意请读者说明an=an-1＋（n-1）的正确性．

　　例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果b=n（n是自然数），试问这样的三角形有多少个？

　　分析与解我们先来研究一些特殊情况：

（1）设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

（2）设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

　　这时满足条件的三角形总数为：

1+2=3．

　　（3）设b=n=3，类似地可得表18．4．

　　这时满足条件的三角形总数为：

1＋2＋3=6．

　　通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值（1，2，3，…，n），对应于a的每个值，不妨设a=k（1≤k≤n）．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个（n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1）．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　例4设1×2×3×…×n缩写为n！

（称作n的阶乘），试化简：

1！

×1＋2！

×2＋3！

×3＋…＋n！

×n.

　　分析与解先观察特殊情况：

（1）当n=1时，原式=1=（1＋1）！

-1；

（2）当n=2时，原式=5=（2＋1）！

-1；

　　（3）当n=3时，原式=23=（3＋1）！

-1；

　　（4）当n=4时，原式=119=（4＋1）！

-1．

　　由此做出一般归纳猜想：

原式=（n+1）！

-1.

　　下面我们证明这个猜想的正确性．

　　1+原式=1+（1！

×1＋2！

×2＋3！

×3+…+n！

×n）

　　　　　=1！

×2＋2！

×2＋3！

×3+…+n！

×n

　　　　　=2！

+2！

×2＋3！

×3＋…+n！

×n

　　　　　=2！

×3+3！

×3+…＋n！

×n

　　　　　=3！

+3！

×3+…+n！

×n＝…

　　　　　=n！

+n！

×n=（n＋1）！

，

　　所以原式=（n+1）！

-1.

　　例5设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

　　分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

　　设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

　　设x=100，则有x3＞x2+x+2．

　　观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：

当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

　　那么自然会想到：

当x=？

时，x3=x2+x+2呢？

如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，

（x3-x2-2x）＋（x-2）=0，

（x-2）（x2+x+1）=0．

　　因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

（1）当x=2时，x3=x2+x+2；

（2）当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，

　　所以（x-2）（x2＋x+2）＜0，

即

x3-（x2＋x+2）＜0，

　　所以x3＜x2＋x＋2.

　　（3）当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，

　　所以（x-2）（x2+x+2）＞0，

　　即

x3-（x2＋x＋2）＞0，

　　所以x3＞x2＋x＋2．

　　综合归纳

（1），

（2），（3），就得到本题的解答．

练习七

　　1．试证明例7中：

　　2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

（1）这n条直线共有多少个交点？

（2）这n条直线把平面分割为多少块区域？

　　然后做出证明.）

　　3．求适合x5=656356768的整数x．

　　（提示：

显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：

505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．）

第三部分生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

　　1．储蓄

　　银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期（年、月或日）内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，

本利和=本金×（1+利率经×存期）．

　　如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p（1+rn）．

　　例1设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？

本利和为多少元？

　　解i=2000×0.0171×3=102.6（元）．

　　s=2000×（1+0.0171×3）=2102.6（元）．

　　答某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

　　以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

　　用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,…，sn，则

　　s1=p（1+r），

　　s2=s1（1+r）=p（1+r）（1+r）=p（1+r）2，

　　s3＝s2（1+r）=p（1+r）2（1+r）=p（1+r）3，

　　……，sn=p（1+r）n．

　　例2小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

　　解按表22．1的利率计算．

（1）连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000（1+0.0522）5≈25794（元）．

（2）先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0558×2）·（1+0.0522）3≈25898（元）．

　　（3）先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0558×2）2·（1+0.0552）≈26003（元）．

　　（4）先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000（1＋0.0621×3）·（1+0.0558×2）≈26374（元）．

　　（5）先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000（1+0.0621×3）·（1+0.0522）2≈26268（元）．

　　（6）存一个5年期，则到期后本利和为

20000（1+0.0666×5）≈26660（元）．

　　显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

　　2．保险

　　保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

　　例3假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

　　试问：

（1）设想平均每年在1000家中烧掉几家？

（2）如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

　　解

（1）因为

　　1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），

　　365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096（家）．

　　11÷4096≈0.0026．

（2）300000×0.0026=780（元）．

　　答

（1）每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

（2）投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

　　例4财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？

（假定定期存款1年期利率为5.22％）

　　解哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240（元）．

　　弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000（元），

　　而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4（元）．

　　兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60（元）．

　　因此，弟弟投的保险更合算些．

　3．纳税

　　纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

（1）每次取得劳务报酬不超过1000元的（包括1000元），预扣率为3％，全额计税．

（2）每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　（3）每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　每次取得劳务报酬超过20000元的（暂略）．

　　由

（1），

（2），（3）的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额（元），那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

　　例5小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

　　解根据劳务报酬所得税计算方法（见函数①），从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

　　由①得y=10000-x，将之代入②得

x（1-20％）20％+（10000-x-800）20％=1560，

　　化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，

　　所以

0.04x=280，x=7000（元）．

　　则y=10000-7000=3000（元）．

　　所以

　　答小王收入7000元，小张收入3000元．

　　例6如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

　　其中y（x）表示稿费为x元应缴纳的税额．

　　那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

　　解设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x（1-20％）·20％×（1-30％）=x-6216，

　　化简、整理得

0.112x=x-6216，

　　所以0.888x=6216，

　　所以x=7000（元）．

　　答这笔稿费是7000元．

练习八

　　1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？

（设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变）

（1）定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

（2）先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

　　（3）连续存二个5年期．

　　2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

　　3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

　　4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元（单利法）？

第四部分了解中外著名数学家

1、韦达（1540-1603），法国数学家。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。

韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。

1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．

16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。

帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。

他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。

3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。

他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）

　　伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。

可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。

次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。

再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：

“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。

”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。

　　伽罗华二十一岁那年死于决斗。

临死前他对守在旁边的弟弟说：

“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。

”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：

“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：

解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。

”

　　他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基人。

4、刘　徽　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

　　《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：

如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．

　　《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

　　刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

　　刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

5、贾　宪

　　贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。

曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：

数导）均已失传。

　　他的主要贡献是创造了"贾宪三角"和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。

目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

6、秦九韶　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。

先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。

他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。

早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247