高中数学正弦定理优秀教案及教学设计.docx

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高中数学正弦定理优秀教案及教学设计

高中数学正弦定理优秀教案及教学设计

　　导语：

为什么要研究正弦定理?

正弦定理是怎样发现的?

其证明方法是怎样想到的?

还有别的证法吗?

这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

以下是品才整理的，欢迎阅读参考！

　　一、教学内容分析

　　“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

为什么要研究正弦定理?

正弦定理是怎样发现的?

其证明方法是怎样想到的?

还有别的证法吗?

这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

　　本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

　　二、学生学习情况分析

　　学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。

正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

　　三、设计思想

　　培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢?

建构主义认为：

“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：

知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

　　四、教学目标

　　1、知识与技能：

通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

　　2、过程与方法：

让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。

　　3、情感态度与价值观：

在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

　　五、教学重点与难点

　　重点：

正弦定理的发现和推导

　　难点：

正弦定理的推导

　　教学准备：

制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

　　六、教学过程设计

（一）设置情境

　　教师：

展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为

　　船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离?

　　学生：

思考提出测量角A，C。

　　教师：

若已知测得

　　如何计算A、B两地距离?

　　师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。

②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

　　教师引导：

　　是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢?

学生：

（思考交流）得出过

　　作

　　于

　　（如图2），把

　　分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

　　解：

过

　　作

　　于

　　在

　　中。

　　在

　　中。

　　教师继续引导：

在上述问题中，若

　　能否用

　　、

　　、

　　表示

　　呢?

学生：

发现

　　教师：

引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么?

你能发现什么?

　　学生：

发现即然有

　　那么也有

　　。

教师：

引导

　　我们习惯写成对称形式

　　因此我们可以发现

　　是否任意三角形都有这种边角关系呢?

　　设计意图：

兴趣是最好的老师。

如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。

因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

（二）数学实验，验证猜想

　　教师：

给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验

　　是否成立，举出特例。

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为

　　对应的边长a：

b：

c为1：

1：

1，对应角的正弦值分别为

　　引导学生考察

　　的关系。

（学生回答它们相等）

（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为

　　对应的边长a：

b：

c为1：

1：

　　对应角的正弦值分别为

　　1;（学生回答它们相等）（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为

　　对应的边长a：

b：

c为1：

　　：

2，对应角的正弦值分别为

　　1。

（学生回答它们相等）（图3）

　　教师：

对于

　　呢?

学生：

思考交流得出，如图4，在Rt

　　ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

　　则有

　　又

　　,则

　　从而在直角三角形ABC中。

　　教师：

那么任意三角形是否有

　　呢?

　　借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。

边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

　　结论：

　　对于任意三角形都成立。

　　设计意图：

通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

　　（三）证明猜想，得出定理

　　师生活动：

　　教师：

我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明

　　呢?

前面探索过程对我们有没有启发?

学生分组讨论，每组派一个代表总结。

（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

　　学生：

思考得出

（1）在

　　中，成立，如前面检验。

（2）在锐角三角形中，如图5设

　　作：

　　垂足为

　　在

　　中。

　　在

　　中。

　　同理，在

　　中。

　　（3）在钝角三角形中，如图6设

　　为钝角。

　　作

　　交

　　的延长线于

　　在

　　中。

　　在

　　中。

　　同锐角三角形证明可知

　　教师：

我们把这条性质称为正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

　　教师：

还有其它证明方法吗?

　　学生：

思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：

　　而由图中可以看出：

　　=

　　=

　　等式

　　中均除以

　　后可得

　　即

　　。

　　教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

　　在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高

　　三角形的面积：

　　能否得到新面积公式学生：

　　得到三角形面积公式

　　设计意图：

经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

　　（四）利用定理，解决引例

　　师生活动：

　　教师：

现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

　　学生：

马上得出

　　在

　　中。

　　（五）了解解三角形概念

　　设计意图：

让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。

　　教师：

一般地，把三角形的三个角

　　、

　　、

　　和它们的对边

　　、

　　、

　　叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

　　设计意图：

利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

　　（六）运用定理，解决例题

　　师生活动：

　　教师：

引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

　　学生：

讨论正弦定理可以解决的问题类型：

（1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如

　　;

（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如

　　。

　　师生：

例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

　　例1：

在

　　中，已知

　　解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为

　　求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：

在

　　中，已知

　　解三角形。

　　例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。

　　学生：

反馈练习（教科书第5页的练习）

　　用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

　　设计意图：

自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

　　（七）尝试小结：

　　教师：

提示引导学生总结本节课的主要内容。

　　学生：

思考交流，归纳总结。

　　师生：

让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（

　　）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：

①已知三角形中两角及一边，求其他元素;②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

　　（3）分类讨论的数学思想。

　　设计意图：

通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

　　（八）作业设计

　　作业：

第10页A组第1、2题。

　　【教学目的】

　　1理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解斜三角形，解决实际问题，正弦定理在高考中的应用，熟悉高考题型。

　　2.引导学习探索知识，学以致用，培养观察、归纳、猜想、探究的思维方法与能力。

通过对实际问题的探索，培养学生对数学的观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和数学交流能力，提升数形结合与转化思想。

　　【教学重点】

　　理解掌握正弦定理，运用正弦定理解三角形，解决实际应用问题

　　【教学难点】

　　正弦定理的熟练运用，提升正弦定理的综合运用能力，解决实际生活中的有关问题。

　　【教学方法】

　　启发引导、观察发现、精讲多练，双主体互动，多媒体辅助教学

　　【教学过程】

　　一.引入：

　　1.三角形中有几个要素?

　　2.三角形可分为直角三角形和斜三角形;

　　3.三角形中的边角关系：

A+B+C=π;A>B则a>b;a+b>c;

　　4.直角三角形中A+B=90°;勾股定理;

　　5.斜三角形ABC中的边角关系如何表示?

三角形中的大边对大角，正弦定理

　　表示了边角关系的准确量化

　　提问:

正弦定理的内容?

公式默写。

　　二.正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

（1）正弦定理适合于任何三角形;

（2）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦比值相等;即边与其对角的正弦成正比;

　　（3）等价于，。

　　每个等式可视为一个方程：

知三求一

　　正弦定理的基本作用为：

正弦定理可以解决三角形中两类问题：

　　①已知三角形的两角和任意一边，求另一角和其他边;，如;

　　②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角，如

　　一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

　　三.正弦定理的应用：

　　题型一正弦定理的基础应用：

解三角形

　　例1在△ABC中，

（1）已知

（2）已知

　　评述：

本题考查正弦定理解三角形中的两类问题

　　练习一.（同桌同协力）竞赛题（9分钟）

　　1.在△ABC中，已知B=，C=，c=，求b;

　　2.在△ABC中，已知c=1,求;

　　3.在△ABC中，已知c=，A=，C=，解此三角形

　　练习二.（能力提升--进一步应用）

　　（20XX年高考题）

　　题型二正弦定理的综合运用（能力提升）：

运用正弦定理解决实际生活中的问题，利用正弦定理求解三角形边角关系的应用题，一般步骤:

分析，图解，求解，检验（高考题型）

　　例3：

大家一起来计算高赞大桥有多长?

　　如图。

如何测得高赞大桥的长度，学生会很自然地构造

　　三角形来解决。

通过身边实际问题引入新课，能激发

　　学生的求知欲，并能感受到数学问题于现实际生活。

　　思考题：

　　例4（20XX年高考题）在一条由西向东流的大河北岸，有建筑物A和B，其距离无法直接测量，于是间接测量如下：

首先，在南岸C点处，测得A位于正北向，B位于北偏西的方向上;然后，沿河岸向正西方向移动100m，到了点D，观察到A位于北偏东的方向上，B位于北偏西的方向上，试求建筑物A和B的距离（参考数据）

　　五.（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：

;

（2）正弦定理的应用范围：

　　①已知两角和任一边，求其它两边及一角;

　　②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

　　（3）运用正弦定理解题

　　六.作业布置和课后反思

　　随堂练习：

B

　　1.三角形中的边角关系：

　　1）三角形中有个要素，即个角和条边;ca

　　2）三角形可分为三角形和三角形（按边角关系分类）

　　3）边的关系：

AbC

　　两边之和第三边;两边之差第三边;B

　　在直角三角形中：

（勾股定理）;

　　4）角的关系：

A+B+C=;AC

　　5）边角关系：

大边对角，大角对边，等边对角;

　　在直角三角形ABC中,C=90°,则，。

　　6）如何解决斜三角形边角关系的问题?

　　7）正弦定理表示了三角形边角关系的准确量化。

　　正弦定理的内容：

　　公式为：

　　正弦定理可以解决三角形中两类问题：

　　①已知三角形的，求另一角和其他边;

　　②已知三角形的，求另一边的对角，进而可求其他的边和角。

　　8）一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作。

　　2.练习一.（同桌协力）竞赛题

　　1.在△ABC中，已知B=，C=，c=，求b;

　　2.在△ABC中，已知c=1,求;

　　3.在△ABC中，已知b=，A=，B=，解此三角形.

　　4.练习二.（能力提升--进一步应用）

　　（20XX年高考题）

　　5.大家一起来计算高赞大桥建有多长?

（精确到整数位）

　　在容桂A处正东方向1412米处取点C。

　　则高赞大桥AB长度为多少米?