如图4-1-7所示，无论
船向哪一个方向开，船不可
能垂直于河岸过河．设船头
与河岸成θ角，合速度v合与
河岸成α角．可以看出：
α角
越大，船漂下的距离x越
短，那么，在什么条件下α角最大呢？
以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切时，α角最大，根据，船头与河岸的夹角应为
，
船沿河漂下的最短距离为：
．
此情形下船过河的最短位移：
．
【例2】如图4-1-8所
示，一条小船位于200m
宽的河的正中点A处，
从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4.0m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（）
A．m/sB．m/s
C．2.0m/sD．4.0m/s
【解析】如图4-1-9所示，要使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船的合速度方向范围为水平方向AB（不包括AB）到AC之间．由图中几何关系可知，当合速度方向沿AC，小船垂直AC开行，其在静水中的速度最小．由图可知，
，即θ=30°，
故v船=v水sinθ=2.0m/s．
【答案】C
【点拨】本题关键是确定小
船避开危险区沿直线到达对岸时小船的合速度方向而做出速度矢量三角形，从图知当小船垂直AC开行，其在静水中的速度最小．本题易出现错解的情形是：
认为当小船垂直河岸开行，在静水中的速度最小，此时v船=v水tanθ=m/s．
*拓展
在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（）
A．B．0
C．D．
【解析】摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离
s=v1t=．
【答案】C
三、如何分解用绳（或杆）连接物体的速度？
1．一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度，但若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解．通常先虚拟合运动（即实际运动）的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度的方向；最后利用平行四边形画出合速度和分速度的关系图，由几何关系得出他们的关系．
2．由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：
把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解．
*易错门诊
【例3】如图4-1-10所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动．在某一时刻卡车的速度为υ，绳AO段与水平面夹角为，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
图4-1-10
【错解】将绳的速度按图4-1-11所示的方法分解，则υ1即为船的水平速度υ1=υ·cosθ．
【错因】上述错误的原因是没有弄清船的运动情况．船的实际运动是水平向右的匀速运动，每一时刻船上各点都有相同的水平速度而AO绳上各点运动比较复杂．以连接船上的A点来说，它有沿绳的速度υ，也有与υ垂直的法向速度υn，即转动分速度，A点的合速度υA即为两个分速度的矢量和υA=．
【正解】小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动＋转动．以连接船上的A点为研究对象，如图4-1-12，A的平动速度为υ，转动速度为υn，合速度υA即与船的平动速度相同．则由图可以看出
.
【点悟】本题中也许学生不易理解绳上各点的运动，关键是要弄清合运动就是船的实际运动，只有实际位移、实际加速度、实际速度才可分解，即实际位移、实际加速度、实际速度在平行四边形的对角线上.
课堂自主训练
1．小船在静水中速度为v1，今小船要渡过一条河流，过河的小船始终垂直对岸划行，若小船划行到河中间时，河水流速忽然由v2增大到2，则过河时间与预定时间相比，将（）
A．增长B．不变
C．缩短D．无法确定
【解析】合运动、分运动都是独立的，且具有等时性．小船渡河速度不变，则渡河时间就不变，与河水速度的变化无关，但河水流速的变化会影响船沿河岸方向的位移．选项B正确．
【答案】B
2．如图4-1-13所示的塔吊臂上有
一可以沿水平方向运动的小车A，
小车下装有吊着物体B的吊钩．在
小车A与物体B以相同的水平速
度沿吊臂方向匀速运动的同时，
吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=H-2t2（SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做（）
A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小方向均不变的曲线运动
D．加速度大小方向均变化的曲线运动
【解析】由题意，物体B在水平方向做匀速直线运动；由d=H-2t2知，它在竖直方向的位移为y=H-d=2t2，因此它在该方向上做初速度为0的，加速度为4m/s2匀加速直线运动．所以它的合运动为匀加速曲线运动．
【答案】BC
课后创新演练
1．关于曲线运动性质的说法正确的是（B）
A．变速运动一定是曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
2．两个互成角度的匀加速直线运动，初速度的大小分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，则它们的合运动的轨迹（D）
A．如果v1=v2，那么轨迹一定是直线
B．如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1=a2，那么轨迹一定是直线
D．如果a1/a2=v1/v2，那么轨迹一定是直线
3．一个质点受到两个互成锐角的力F1和F2的作用后，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F2+F，则质点以后（AB）
A．一定做匀变速曲线运动
B．在相等的时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速直线运动
4．某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图4-1-14甲所示．船在静水中的速度与时间的关系如图4-1-14乙所示．若要使船以最短时间渡河，则（BD）
图4-1-14
A．船渡河的最短时间是75s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5m/s
5．如图4-1-15所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动．则（BC）
图4-1-15
A．小船的速度v2总小于汽车速度v1
B．汽车速度v1总小于小船的速度v2
C．如果汽车匀速前进，则小船加速前进
D．如果汽车匀速前进，则小船减速前进
6．如图4-1-16所示，物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连结跨过光滑轻质定滑轮，当用力F拉B沿水平面向右匀速运动过程中，绳对A的拉力的大小是（A）图4-1-16
A．大于mgB．等于F
C．总等于mgD．小于mg
7．玻璃板生产线上，宽9m的玻璃板以4m／s
的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m／s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？
切割一次的时间多长？
【解析】要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图4-1-17，设v刀与v玻方向夹角为θ，
cosθ==，则θ=300．
v===4m/s．
时间t===2.45s．
8．质量为m＝1kg的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始物体受到水平力F的作用，F＝0.1N并保持不变．此力先沿向东的方向作用1s，而后依次改为沿向北、向西、向南方向各作用1s．以出发点为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立直角坐标系，如图4-1-18求：
（1）第1s内物体的位移值；
（2）物体在第2s末的速度大小；
（3）在坐标系中画出前4s内物体的运动轨迹
【解析】
（1）沿x轴物体运动的加速度为
ax＝F/m．
1s内物体的位移S1＝，
联立解得S1＝0.05m．
（2）第2s内物体沿x轴方向做匀速运动，
沿y轴方向做匀加速直线运动．
v2x＝v1x＝axt＝0.1m/s，
ay＝＝0.1m/s2，
v2y＝ayt＝0.1m/s．
物体在第2s末的速度v2＝，
代入数据解得v2＝0.14m/s．
（3）如图4-1-19所示
第2课时抛体运动的规律及其应用
基础知识回顾
1．平抛运动
（1）定义：
将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动。
（2）性质：
加速度为g的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变。
（3）研究方法：
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成。
（4）规律：
设平抛运动的初速度为，建立坐标系如图
○1速度、位移：
水平方向：
，，
竖直方向：
，
合速度（秒末的速度）：
，
方向：
合位移（秒末的位移）：
方向：
∴
○2运动时间：
由得：
（t由下落高度y决定）
○3轨迹方程：
（在未知时间情况下应用方便）
○4可独立研究竖直分运动：
a．连续相等时间内竖直位移之比为：
（n=1，2，3，...）
b．连续相等时间内竖直位移之差为：
○5一个有用的推论：
平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
证明：
设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量，而竖直分量，，
所以有
2．斜抛运动：
（1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做"斜抛运动"。
（2）性质：
加速度为g的匀变速曲线运动。
根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。
取水平方向和竖直向上的方向为x轴和y轴，则这两个方向的初速度分别是：
v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ
重点难点例析
一、平抛物体运动中的速度变化
水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔?
t时间的速度的矢量关系如图4-2-3所示．这一矢量关系有两个特点：
1．任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v0；
2．任意相等时间间隔?
t内的速度改变量均竖直向下，且．
【例1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是（）
A．速度的增量B．加速度
C．位移D．平均速度
【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义，可知速度增量，所以相等时间内速度的增量和加速度是相等的．位移和平均速度是矢量，平抛运动是曲线运动，相等时间内位移和平均速度的方向均在变化．
【答案】AB
【点拨】任意时刻的速度，与速度变化量构成直角三角形。
沿竖直方向。
平抛运动的速率随时间并不均匀变化。
速度随时间是均匀变化的。
*拓展
用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图4-2-4）．若已知闪光时间间隔为t=0.1s，则小球运动中初速度大小为多少？
小球经B点时的竖直分速度大小多大？
g取10m／s2，每小格边长均为L=5cm．
【解析】由于小球在水平方向作匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度．小球在竖直方向作自由落体运动，由竖直位移的变化根据自由落体的公式即可算出竖直分速度．
因A、B（或B、C）两位置的水平间距和时间间隔分别为
xAB=2L=2×5cm=10cm=0.1m
tAB=△t=0.1s．
所以，小球抛出的初速度为
设小球运动至B点时的竖直分速度为vBy、运动至C点时的竖直分速度为vCy，B、C间竖直位移为yBC，B、C间运动时间为tBC．根据竖直方向上自由落体运动的公式得
v2Cy-v2By=2gyBC，
即（vBy+gtBC）2-v2By=2gyBC
式中yBC=5L=0.25m
tBC=△t=0.1s，
代入上式得B点的竖直与速度大小为
VBY=2m/s
【答案】1m/s，2m/s。
二、类平抛运动
平抛运动的规律虽然是在地球表面重力场中得到的，同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动．也适用于物体以初速度v0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F的作用情况．例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系。
【例2】如图4-2-5所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L为10m，一小球从斜面顶端以10m/s的速度沿水平方向抛出，求：
（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移S；
（2）小球到达斜面底端时的速度大小。
（g取10m/s2）
解：
（1）在斜面上小球沿v0方向做匀速运动，垂直v0方向做初速度为零的匀加速运动，加速度
①
②
由②得：
③
由①、③得：
（2）设小球运动到斜面底端时的速度为v，由动能定理得：
【答案】
（1）20m，
（2）14.1m/s.
【点拨】物体做类似平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动--采用运动的合成与分解。
关键的问题要注意：
（1）满足条件：
受恒力作用且与初速度的方向垂直。
（2）确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解。
*拓展
在真空中速度为v＝6.4×107米／秒的电子束连续地射入两平行极板间，极板长度为L＝8.0×10-2米，间距为d＝5.0×10-3米。
两极板不带电时，电子束将沿两极板之间的中线通过。
在两极板上加一50赫兹的交变电压如果所加电压的最大值U0超过某一值Uc时，将出现以下现象：
电子束有时能通过两极板，有时间断不能通过。
求Uc的大小.
【解析】
（1）电子通过平行极板所有的时间t=L/v≈10-9秒，交变电压的周期T≈10-2秒，可见：
t<因此,电子通过平行极板时,极板间的电压从场强可看作是恒定不变的.
电子进入平行极板中间后,其运动沿水平方向为匀速运动,沿竖直方向为匀加速运动.设电子束刚好不能通过平行极板的电压为Uc,电子经过平行极板的时间为t,所受的电场力为F,则:
由以上三式,可得：
代入数值,得：
Uc=91伏特.
（2）因为（△t）通=2（△t）断,所以:
由此得：
代入数值得：
。
【答案】91伏特；105伏特。
三、斜抛运动物体的射程和射高
斜抛运动的规律：
a．速度：
b．轨迹方程：
d．抛射体所能到达的最大高度为：
e．其到达最高点所需的时间：
f．抛射体的最大射程为：
【例3】物体以速度v0抛出做斜抛运动，则（）
A，在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C，射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高和射程可能很小
【解析】斜抛运动整个过程中加速度恒为g，为匀变速运动，故相等时间内速度变化一定相同；由斜抛运动的两分运动特点知B错误；射高与射程不仅取决于v0的大小还取决于抛出速度v0与水平方向的夹角大小，故C错误，D正确。
【答案】AD
【点评】把握好斜抛运动的特点，理解斜抛运动的两分运动的规律，本类题目是不难分析的。
*拓展
物体做斜向上抛运动时,描述物体在竖直方向的分速度（取向上为正）随时间变化的图象如图4-2-6，正确的是
【答案】A
【解析】斜抛物体只受重力作用，竖直方向做竖直上抛运动，其加速度不变恒为g，故B、D错；由于加速度的方向向下，则竖直方向最后的速度应向下为负值，这样C错，A正确.
四、平抛运动规律的应用
平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和．
解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点．
*易错门诊
【例3】如图4-2-6所示，一高度为h=0.2m的水平面在A点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以V0=5m/s的速度在平面上向右运动。
求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取g=10m/s2）。
【错解】小球沿斜面运动，则
可求得落地的时间t
【错因】小球应在A点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑。
【正解】落地点与A点的水平距离
斜面底宽
因为,所以小球离开A点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。
∴
【点悟】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律。
课堂自主训练
1．在塔顶上分别以跟水平面成45°角斜向上的、水平的、跟水平线成45°角斜向下的三个方向开枪，子弹射到地面时的速度大小分别是v1、v2、v3（设三种方向射出的子弹的初速度的大小都一样，不计空气阻力），那么（D）
A．v1=
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