中考数学复习真题演练四边形试题精选.docx
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中考数学复习真题演练四边形试题精选
2019-2020年中考数学复习（真题演练）：
四边形试题精选
1、（2011•泰安）已知：
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：
△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：
四边形EFDG是菱形．
2、（2012•泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．
（1）求证：
△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．
3、（2013•泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：
∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在
（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．
4、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：
AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？
并说明理由．
5、（2013潍坊）（本题满分11分）
如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点
顺时针旋转至CE’F’D’,旋转角为
．
（1）当点D’恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：
GD’=E’D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD’与△CBD’能否全等？
若能，直接写出旋转角
的值；若不能，说明理由．
6、（2013潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别于BC、AD相交于点E、F．
（1）求证四边形
为矩形．
（2）若BD2=BC·BC试判断直线
与⊙
的位置关系，并说明理由．
7、（2013莱芜）在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.
（1）证明DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.
8、（2013青岛）已知：
如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：
△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：
AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
9、（2013临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF
（1）求证：
AF=DC；
（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论
10、（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：
AE=CE．
11、（2012•青岛）已知：
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？
说明理由．
12、（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：
△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
并证明你的结论．
13、（2012•枣庄）已知：
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求证：
AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：
BE=AE+CD．
14、（2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：
四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：
AE的值．
15、（2012•淄博）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
16、（2012•临沂）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求证：
四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
17、（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：
EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给予证明：
若不成立．请说明理由：
（3）如图3，将
（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求
的值．
18、（2012•威海）
（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：
AE=CF．
（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：
EI=FG．
19、（2011•滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
20、（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG=BH；
（2）FC2=BF•GF；
（3）
=
．
参考答案
1、证明：
（1）∵点E是BC的中点，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥BC，∴四边形AECD为平行四边形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；
（2）连接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE=90°，∴四边形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四边形EFDG是菱形．
2、
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
证明：
∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，
由
（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM；
（3）解：
作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，
∴AB：
BC=MR：
RC=，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=RC=，∴EM=
=
．
3、
（1）证明：
∵在△ABC和△ADC中
，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中
，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：
∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，理由：
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中
，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．
4、略答
（1）全等
（2）转化为
（1）
5、
（1）∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α．
∴sinα=
∴α=30°
（2）∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α,∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,
∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′=E′D
（3）能．α=135°或α=315°
6、略
7、
（1）证明：
连结CE.证DE∥CB.
（2）当AC=
或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形.
8、
（1）
（2）略（3）2:
1
9、略
10、证明：
如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，
，∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．
11、
（1）证明：
∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：
四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形．
12、
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=DF=AE=CF，
在△BEC和△DFA中，BE=DF，∠B=∠D，BC=AD，∴△BEC≌△DFA．
（2）答：
四边形AECF是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
13、证明：
（1）连接AC．∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，
∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴
，∴△BAE≌△CBF．（AAS）∴AE=BF．∴BE=BF+EF=AE+CD．
14、
（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；∴∠ADE=∠CBD，
∵AD=BC（平行四边形的对边相等），
在△ADE和△CBF中，
，∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）如图，连接AC交BF于点0，当四边形AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，
∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），
∴AB=BC（菱形的邻边相等）；
∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴AB=AC（等腰三角形的性质），
∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：
BC=tan∠CBF=
，
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：
AE=
．
15、解：
（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，∴AF=AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，∴△AEF∽△CEB，∴
=
=
==，
∴CE=2AE，BE=2FE，∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：
AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，即（3AE）2=x2+42，（3FE）2=22+x2，
两式相加，得9（AE2+FE2）=2x2+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
AE2+FE2=AF2=4，
∴36=2x2+20，
解得：
x=2
或x=﹣2
（舍去），故x=2
；
∵F为AD的中点，由对称性得到BF=CF，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，∴
=
=，∴sin∠ECF=
=
=．
16、
（1）证明：
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．
（2）解：
连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴AC=
=5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，
∴
=
，即=
，∴CG=，
∵FG=CG，∴FC=2CG=
，∴AF=AC﹣FC=5﹣
=，
∴当AF=时，四边形BCEF是菱形．
17、
（1）证明：
∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，
，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；
（2）解：
成立．
证明：
如图，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH=EP，∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，∴∠PEF=∠GEH，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，∴EF=EG；
（3）解：
如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，
则∠MEN=90°，
∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
∴
，
，∴
，即
=
=，
∵∠NEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，
∴∠GEM=∠FEN，
∵∠GME=∠FNE=90°，
∴△GME∽△FNE，∴
，∴
．
18、证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由
（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：
AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，
∵在△A1IE与△CGF中，
，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．
19、解：
当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形．
证明：
∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，
同理，FO=CO，∴EO=FO，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（19）（20）
20、证明：
（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，∴CG=BH；
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，∴△CFG∽△BFC，
∴
=
，即FC2=BF•GF；
（3）同
（2）可知，BC2=BG•BF，
∵AB=BC，∴AB2=BG•BF，∴
=
=
，即
=
．
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