整理三角函数第一轮复习.docx
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整理三角函数第一轮复习
....
三角函数
（1）—— 基本概念
一、知识要点：
1．角：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转另一个位置所成的图形。
按逆时针方向旋转
所形的角叫做_____；按顺时针方向旋转所形成的角叫做_____。
不作任何旋转，形成______。
2．象限角：
使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，就说这
个角是第几象限角，要清楚各个象限角的集合表示，如 α 是第一象限角用集合可表示为
_______________。
3．终边相同的角：
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合______。
4．轴线角（即终边落在坐标轴上的角）
终边落在 x 轴非负半轴上的角的集合为___________________；终边落在 x 轴非正半轴上的角的集合为
___________________；终边落在 y 轴非负半轴上的角的集合为
__________________；终边落在 y 轴非正半轴上的角的集合为 _________________；终边落在坐标轴
上的角的集合为____________________________。
5．角的度量
1
为 1 度的角，即周角等于1︒；
360360
（2）弧度制：
把长度等于半径的弧所对的圆心角叫1 弧度的角，即
1
2π
周角=1 弧度，角 α 的弧度数的绝
l11
对值 | α | =，其中 l 为弧长， R 为圆的半径。
利用弧度制可推得扇形面积公式 S =lR =| α | R2 ；
R22
180
（3）角度制与弧度制的转换：
180 = π ，1（rad ） = （）︒ ≈ 57.3︒ 。
π
6．任意角的三角函数：
设任意角α 的终边与单位圆的交点 P（ x , y ） ，则 sin α = _____，
c o α = ________， tan α = _________。
利用相似三角形可以推出任意角α 的三角函数的定义：
任意
角 α 的终边上任意一点 P（ x , y ） ，它与原点的距离是r （即 r = | OP | ），那么 sin α = _____ ，
cos α = ________， tan α = _________。
7．三角函数值的符号规律：
8．特殊角的三角函数值（要熟记）
二、例题讲解
例 1．角 α 的终边为射线 y = -2 x （ x ≤ 0） ，求 2sin α +cos α 的值。
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例２．已知一扇形的中心角是α ，所在圆的半径是 R .
（1）若α = 60 ， R = 10cm ，求角α 所对的扇形的弧长及弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值 c ，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？
例３．若θ 为第三象限角，求 θ
θ
3 所在象限，并在平面直角坐标系表示出来．
例４．已知 0 < α < π
三．自主练习
1．已知集合 A = {第一象限角}， B = {锐角}， C = {小于 90ο 的角}，则下列关系正确的是（
ＡA = B= CＢC ⊆ A .ＣB ⊆ CＤAC = B
２．已知角 α = 45 ，在区间 [-720 , 0 ] 内找出所有与角α 有相同终边的角 β = _____.
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）
....
3． sin2cos3tan4 的值（）
Ａ 小于０Ｂ 大于０Ｃ 等于０Ｄ 不存在
4．若（0,2 ）， sincostan ，则（）
Ａ（0， ）
4
Ｂ（
5 5 3 3
， ） Ｃ（0， ）（ ， ） D （ ， ）
4 4 4 2 2
5．若为第一象限角，那么能确定为正值的是（）
Ａcos2Ｂs inＣcosＤta n
222
kk
6．集合 M{x |x,kZ } ， N{x |x,kZ } ，则（）
4224
ＡMNＢMNＣMNＤM
7．给出下列四个命题：
（1）若，则 sinsin ；
（2）若 sinsin ，则；
（3）若 sin0 ，则是第一或第二象限角；
（4）若是第一或第二象限角，则 sin0 ．
这四个命题中，错误的命题有______。
N
8．函数 y
sinx |cosx | tanx
的值域是___ ______。
|sinx | cosx |tanx |
9．角的终边上有一点 P （a ,a ），实数 a0 ，则 sin 的值是__________。
10．某一时钟分针长10 cm ，将时间拨慢15 分钟，分针扫过的图形的面积为_______。
11． tan60 cos90sin45 cos45__________。
12．若角满足 sin20 ，且 cossin0 ，则为第_____象限角。
13．函数 ysinxcosx 的定义域是______________________。
14 ． 已 知 角的 终 边 经 过 点 （3a9,a2） ， 若 co s
_______________。
0 ,sin
， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -
15．已知集合 A{x|
3 k
x k ,k Z } ， B {x |4 x2 0} ， A B _____。
16．已知角的终边上一点 P （m , 2） ，且 |OP | 4 ，则 tan ＝__________。
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三角函数
（2）— 同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、知识要点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
_______________；
（2）商数关系：
___________。
2．诱导公式：
将角“ k ⋅ π
变，符号看象限，其中“奇、偶”是指_________________________；“符号看象限”是把任意角α 当
成锐角，看________所在的象限，从而定出原函数值的符号。
二、例题讲解
例 1．化简下列式子：
（1）1 - 2 sin10 0 cos10 0
cos10 020
π.
tan（π + α ） ⋅ sin 3 （+ α ）
2
；
例２．已知 sin α + cos α =
2
3
， α ∈ （0, π ） ，求 tan α 及 sin3 α + cos3 α 的值。
例３．已知
tan α
tan α - 1
= -1，求下列各式的值：
sin α - 3cosα
（１）；（２） sin 2 α + sin α cos α + 2
sin α + cosα
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例 4．已知 f （α ） = sin（π - α ）cos（2 π - α ） tan（π + α ）
tan（-α ）sin（ -π - α ）
（１） 化简 f （α ） ；
（2）若α = -1860 ，求 f （α ） 的值；
．
π
25
， α 为第三象限角，求 f （α ） 的值．
例 5、已知
1 + sin α 1 - sin α
- = -2 tan α ，试确定使等式成立的角α 的集合。
1 - sin α 1 + sin α
三．自主练习
1．若 sin α =
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4
5
，且 α 是第二象限，则 tan α 的值等于（ ）
A -
. . . .
4 3 4
B - C ± D ±
3 4 3
２． tan（-
19
6
π ） 的值为（ ）
Ａ
3．化简
3
3
1 3 3
Ｂ - Ｃ Ｄ －
2 2 3
1 - sin2 1180︒ 的结果是（ ）
Ａ cos100︒
Ｂ cos80 Ｃ sin80 Ｄ cos10︒
4．若
Ａ
sin θ + cosθ 3
= 2 ，则 sin（θ - 5π ）sin（ π - θ ） 等于________。
sin θ - cosθ 2
3 3 3 3
Ｂ ± Ｃ Ｄ -
4 10 10 10
5． tan 2010 的值为___________； tan 300 +
cos 405
sin 405
的值是________．
6．已知 sin θ + cosθ =2 ，则 tan θ +1
tan θ
的值为_________。
1
7．已知 0 < α < π ， sin α + cos α =，则 sin α - cos α = ________ ．
5
8．已知 sin α + 3cos α = 0 ，则 2sin 2 α + 2 - 3sin α cos α 的值为_________.
9．在 ∆ABC 中， 2 sin A = 3cos A ， A = _________ .
10．若 sin x + sin 2 x = 1 ，则 cos2 x + cos4 x = __________．
11 ．设 g （ x） = a sin（π x+ α ）+ b cos（ x+ β + （ α、β、a、b 为非零常数），若 g （2009） = 6 ，则
g （2010） = ________。
12．已知sin α
1 - cos2 α
- cos α
1 - sin 2 α
= 0 ，则 α 是第_________象限的角.
13．若 cos2 x + sin 2 x - 3sin 2 x = 1，则 tan x = _________。
14．化简下列两式：
（1）
- sin（180 + α ） + sin（-α ） - tan（360 + α ）
tan（α + 180 ） + cos（-α ） + cos（180 - α ）
；
（2）
sin（α + nπ ） + sin（α - nπ ）
sin（α + nπ ）cos（ α - nπ ）
（n ∈ Z ） 。
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三角函数（3）--三角函数的图象、性质
一、知识与方法：
1．了解利用正弦线及 sin（ x + 2kπ ） = sin x （k ∈ Z ） 作函数 y = sin x 的图象（正弦曲线）的过程；
2．了解利用正切线及 tan（ x + π ） = tan x 作函数 y = tan x 的图象（正切曲线）的过程；
3．根据诱导公式____________可知 y = cos x 的图象（余弦曲线）是由正弦曲线向_____平移________单位
而得到的；
4．熟练掌握 y = sin x 、 y = cos x 、 y = tan x 的性质（请完成下表）
y = sin xy = cos xy = tan x
定 义域
值域
函数的最值及
相应的 x 值
图象
周期性
奇偶性
单调性
对称性
5．能准确描述由正弦曲线得到函数 y = A sin（ωx + ϕ） （ A > 0 , ω > 0） 的图象的过程；
6．能用“五点作图法”作出函数 y = A sin（ωx + ϕ） （ A > 0 , ω > 0） 在某区间上的图象。
明确在研究函数
y = A sin（ωx + ϕ） （ A > 0 , ω > 0） 时常令_____________。
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二、例题讲解
例 1．函数 f （ x） = sin（2 x - π
（1）求函数 f （ x） 的周期；
（2）求函数 f （ x） 的值域，最值及相应的 x 值；
（3）求函数 f （ x） 的单调区间；
（4）求函数 f （ x） 在 [-π ,
3π
2
） 上的增区间；
（5）当 x ∈ [0 ,
π
（6）求函数 f （ x） 的图象的对称中心、对称轴；
（7）描述由正弦曲线得到函数 f （ x） 的图象的过程；
（8）若将 f （ x） 的图象向左或右平移ϕ 个单位得到正弦曲线，当| ϕ | 最小时，求 tan ϕ ；
（9）作出函数 f （ x） 在 [0 , 7π
6
） 上的图象。
π
例 2．把函数 y = sin（ω x + ϕ） （ω > 0 , | ϕ | < π ） 的图象向左平移 6 个单位，再将图象上所有点的横坐标伸
长到原来的 2 倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是 y = sin x ，则 ω = _______； ϕ = _______。
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例 3．已知函数 f （ x） = A sin（ω x + ϕ） （ A > 0 , ω > 0 ,| ϕ |<
π
2 ） 的部分图象如下图所示：
（1）求函数 f （ x） 的解析式并写出其图象的对称中心；
（2）若 g （ x） 的图象是由 f （ x） 的图象向右平移 2 个单位而得到，求当 -2 ≤ x < 5 时， g （ x） 的取值范围。
三．自主练习
1．若函数 f （ x ） = 2cos（ ω x +ϕ ） 对任意实数 x 都有 f （
π
3 - x ） = f （
π
3 + x ） ，那么 f （
π
3 ） = （
）
A-2B2C± 2
D 不能确定
2．设函数 f （ x） = sin3 x+ | sin3 x | ，则函数 f （ x） （）
3B是周期函数，最小正周期为
π
3
C是周期函数，数小正周期为 2π
D 不是周期函数
3．已知函数 y = f （ x） 图象如图甲，则 y = f （ π
）
4．函数 f （ x） = 2cos 2 x + sin（
π
2 + x） + 2 是（
）
A非奇非偶函数
C仅有最大值的偶函数
B 仅有最小值的奇函数
D 既有最大值又有最小值的偶函数
5．设函数 f （ x） = A sin（ωx + ϕ） （ A ≠ 0, ω > 0, - π
π ，则（）
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π 2
） 的图象关于直线 x = π 对称，它的周期是
2 3
....
Af （ x） 的图象过点 （0, 1 ）Bf （ x） 在区间 [
2
5π 2π
] 上是减函数
12 3
Cf （ x） 的图象关于点 （ 5π ,0 ） 对称Df （ x） 的最大值是 A
12
4．
（1）函数 y = lg （sin x - cos x ） 的定义域是________；
（2）函数 y = lg （tan x - 3） 的定
义域是___________；（3）直线 y = x cosθ （θ ∈ R） 的倾斜角的取值范围是__________.
π31
6．若函数 y = a - b sin（3x +） 的最大值为，最小值为 -，则 ab = _____。
622
7．若 f （ x） = sin
πx
3 ，则 f
（1）+ f
（2） + f （3） +
+ f （2003） ＝________。
8．已知函数 f （ x） = 2sin（ ωx + ϕ） 图象与直线 y = 1 的交点中，距离最近两点间的距离为
的周期是_____。
π
3
，那么此函数
9．设函数 f （ x） = 2sin（
π π
x +
2 5
） ，若对任意 x ∈ R 都有 f （ x ） ≤ f （ x） ≤ f （ x ） 成立，则 | x - x | 的最小
1 2 1 2
值为_________。
10．函数 y = sin（2 x + π
____、_____ ___。
11．已知函数 f （ x） = ax3 + b sin x + 5 （ a 、 b 是常数），且 f （5） = 7 ，则 f （-5） = _____。
π
12．函数 f （ x） = A sin（ω x + ϕ） （ A > 0,ω > 0 ， | ϕ |<
图象如图所示，则 f （ x） ＝_____________________ .
2
3
Y
2 π
13．函数 y = sin（-2 x +
π
9
X
x
14． y = log cos（ +
1
2
π
-2
23题 图
15．对于函数 f （ x） = 2sin（2 x +
π
关于直线 x =
π
12 成轴对称；③ 图象可由函数 y = 2sin 2 x 的图像向左平移
π
3
个单位得到；④ 图像向
左平移
π
12
个单位，即得到函数 y = 2cos 2 x 的图像。
π π
16．若函数 f （ x） = 2sin ω x 在 [-,] 上单调递增，则正数ω 的取值范围是_________。
34
17．已知 f （ x） = x3 + 2 x ，对任意θ ∈ R ，不等式 f （cos 2θ - 3） + f （2m - sin θ ） > 0 恒成立，求实数 m 的
取值范围。
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三角函数（4）--三角函数和、差、倍公式
一、知识与方法：
１．两角和与（差）的余弦公式：
cos（α + β ） = __________、 cos（α - β ）=__________
两角和与（差）的正弦公式：
sin（α + β ） = ____________、 sin（α - β ） = _________
两角和与（差）的正切公式：
tan（α + β ） = ___________、 tan（α - β ） = __________
２．二倍角公式（又称降角升幂公式）：
sin 2α =_______________
cos 2α =____________、_______________、___________
tan 2α =_______________
变形公式：
（又称降幂升角公式）sin 2 α =____________、cos 2 α =_______________
３．辅助角公式：
asinx+bcosx=__________________=_______________
（ 其中 cosϑ =_____________,sinθ =____________）
二、基础练习
1． tan 200 + tan 400 + 3 tan 200 tan 400 的值为。
π ⎫4⎛
⎪
⎝⎝
7π ⎫
6 ⎭
3．已知 a 是第二象限的角， tan（π + 2a） = -
4
3
，则 tan a = 。
4．函数 f （ x） = cos x -
三、例题讲解
１. 给值求值问题
1
2
cos 2 x（ x ∈ R） 的最大值等于 。
例１.已知 0< β <
π
2
⎛ ⎛ α ⎫ 2
⎝ 2 ⎭ 9 ⎝ ⎭ 3
α + β
2
的值。
变式 1.求 tan（α + β ） =
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2 π 1 1 + tan α
tan（β - ） = , 那么
5 4 4 1 - tan α
的值
....
变式 2.已知 sin（2α - β ） =
3 12 π π
5 13 2 2
２.和差倍公式的综合应用
例２.已知 A, B, C 是 ∆ABC 三内角，向量 m =（-1， 3 ）， n = （cos A,sin A） ，且 m ⋅ n = 1
（1）求角 A
（2）若 tan C = 2 3
1 + sin 2B
cos2 B - sin 2 B 的值。
⎛
⎝
⎪
π⎫ ⎛ ⎛ 1
⎝ ⎝
⎭ ⎭
⎫
cos α - sin α的值．
四．自主练习：
1. tan15的值是（）
A.2B. 2 - 3C.4D. 4 3
3
2.函数 f（x）= sin 2 （x + π
π
4 ） 是（
）
A．周期为 π 的偶函数B．周期为 π 的奇函数
C．周期为 2 π 的偶函数D．周期为 2 π 的奇函数
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....
3.若 sin（ π
1 2π
3, 3
A. -
7 1 1 7
B. - C. D.
9 3 3 9
2 cos 2 x + sin 2 x
4.设（2cosx-sinx） ∙ （sinx+cosx+3）=0,则的值为（）
1 + tan x
525
B.C.D.
5852
5.若 0 < α < π
π
2 < β < 0, cos（
π 1 π β 3 β
+ α ） = , cos（ - ） = , 则 cos（α + ） = （ ）
4 3 4 2 3 2
33
-
A． 3B．3
5 3 6
-
C． 9 D． 9
6.设 α 为第四象限的角，若 sin 3α =，则 tan 2α =
sin α5
10
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