在概率的计算中的排列组合.docx

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在概率的计算中的排列组合

预备知识

在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。

那个地点排列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。

一.两个原理

1.乘法原理:

完成一项工作有m个步骤，第一步有

种方法，第二步有

种方法，…，

第m步有

种方法，且完成该项工作必须依次通过这m个步骤，

则完成该项工作一共有

…

种方法，这一原理称为乘法原理。

2.加法原理:

完成一项工作有m种方式，第一种方式有

种方法，第二种

方式有

种方法，…，第m种方式有

种方法，且完成该项工作只需

选择这m种方式中的一种，则完成这项工作一共有

+

+…+

种方法，这一原理称为加法原理。

二.排列:

从n个元素里每次取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为

从n个元素里每次取r个元素的排列，那个地点n和Z。

均为正整数（以

下同）。

当这n个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我

们关怀的是能够做成多少个排列，即排列数。

关于无重复排列，要求当

时

称为选排列，而当

r＝n时称为全排列。

我们记排列数分不为

立即全排列看成选排列的特例。

利用乘法原理不难得到

由阶乘的定义

由阶乘的定义

将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素

都有许多多个。

今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可

以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl

成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记

作

，由乘法原理得

显然，此处r能够大于n

例3将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几

种投法?

1）每个信箱至多只许投入一封信；

2）每个信箱同意投入的信的数量不受限制。

解1）显然是无重复排列问题，投法的种数为

2）是可重复排列问题，投法的种数为

三、组合

从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元

素里每次取出r个元素的组合。

设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作

将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为

，

所有组合中的元素作全排列，共有

个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为

故有

性质

（2）的左端表示

从

中取出r个的组合数。

我们能够固定这n十1个元素中的任意一个，不妨固定

因此考察所有取

及所有不取

。

的组合数，

前者即从

个中取r—1个的组合数，而后者即

从

个中取r个的组合数

类似于可重复排列，也有可重复组合，即从n类不同元素中每次取出r个元素，这r个

元素能够从同一类元素中取两个或两

例4掷两颗银子能够有多少种点子的排列?

多少种点子的

组合?

解每颗银子各有六面，分不刻有1，2，3，4，5，6个点，掷出的

结果能够重复。

四、较复杂的排列、组合问题

问题1，不全相异元素的全排列

将一个包含n

个元素的整体分成r个有序的部分，其中第一部分包含

个元

素，第二部分包含

个元素，…，第r部分包含

个元素，分法数

共有

种，上式称为多项式系数。

例5将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中

有3名优秀生。

问：

1）15名新生平均分配到三个班级中有多少种

分法?

2）每个班级各分配到一名优秀生有多少种分法?

3）3名优

秀生分配在同一个班级有多少种分法?

解1）15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为

2）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优

秀生的分法共3!

种。

关于其中每一种分法，其余12名新生平均

到三个班级中的分法共有

种，由乘法原理不难得到每个

班级各分配到一名优秀牛的分法总数为