学年苏教版必修一221第2课时函数的最大值最小值学案.docx

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学年苏教版必修一221第2课时函数的最大值最小值学案

第2课时　函数的最大值、最小值

1．理解函数的最大（小）值的定义及其几何意义．（重点）

2．会求一些简单函数的最大值或最小值．（重点、难点）

[基础·初探]

教材整理　函数的最大值、最小值

阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题．

1．函数的最大值

一般地，设y＝f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，记为ymax＝f（x0）．

2．函数的最小值

一般地，设y＝f（x）的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，记为ymin＝f（x0）．

（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，则f（x）的最大值为________，最小值为________．

（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，则f（x）的最大值为________，最小值为________．

（3）已知函数y＝f（x）的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f（x）是单调增函数；当x∈[c，b]时，f（x）是单调减函数，则f（x）在x＝c时取得________．

（4）已知函数y＝f（x）的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f（x）是单调减函数；当x∈[c，b]时，f（x）是单调增函数，则f（x）在________时取得最小值．

【答案】　

（1）f（b）　f（a）　

（2）f（a）　f（b）　（3）最大值　（4）x＝c

[小组合作型]

利用图象求函数的最值

　求函数y＝|x＋1|＋|x－2|（－2≤x≤4）的最值．

【精彩点拨】　先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．

【自主解答】　原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝

图象如图．

故函数的最小值为3，最大值为7.

用图象法求最值的一般步骤

[再练一题]

1．

（1）函数f（x）在[－2,2]上的图象如图223所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．

图223

（2）已知函数f（x）＝

在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.

（3）函数f（x）＝

的最大值是________．

【解析】　

（1）f（x）max＝2，f（x）min＝－1.

（2）f（x）＝

在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f

（1）＝2，B＝f

（2）＝1，∴A－B＝1.

（3）作出f（x）的图象如图所示，∴f（x）max＝3.

【答案】　

（1）2　－1　

（2）1　（3）3

利用单调性求函数的最值

　已知函数f（x）＝

.

（1）用函数单调性定义证明f（x）＝

在（1，＋∞）上是单调减函数；

（2）求函数f（x）＝

在区间[3,4]上的最大值与最小值．

【精彩点拨】　

（1）利用单调性的定义证明．

（2）利用

（1）的结论求最值．

【自主解答】　

（1）证明：

设x1，x2为区间（1，＋∞）上的任意两个实数，且1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

，因为1

所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，

所以f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

故函数f（x）＝

在（1，＋∞）上为单调递减函数．

（2）由上述

（1）可知，函数f（x）＝

在[3,4]上为单调递减函数，

所以在x＝3时，函数f（x）＝

取得最大值

；

在x＝4时，函数f（x）＝

取得最小值

.

1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．

2．函数的最值与单调性的关系

（1）若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（a），最小值为f（b）；

（2）若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）；（3）求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小）值．

[再练一题]

2．求函数f（x）＝

在[－4，－3]上的最值．

【解】　任取x1，x2∈[－4，－3]且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

.

∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－1<0，x2－1<0.

又x10，

∴f（x1）－f（x2）>0，∴f（x1）>f（x2），

∴f（x）在[－4，－3]上单调递减，

∴f（x）max＝f（－4）＝

，

f（x）min＝f（－3）＝

，

∴f（x）在[－4，－3]上最大值为

，最小值为

.

[探究共研型]

二次函数求值域

探究1　如图224是函数f（x）＝（x－1）2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，

和[0,3]时，f（x）的单调性．

图224

【提示】　f（x）在[－1,0]上单调递减；

在

上单调递增；

在[0,1]上单调递减，在（1,3]上单调递增．

探究2　结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f（x）的最值．

【提示】　结合图象的单调性，可得

x∈[－1,0]时，f（x）max＝f（－1）＝3，f（x）min＝f（0）＝0.

x∈

时，f（x）max＝f（3）＝3，f（x）min＝f

＝－

.

x∈[0,3]时，f（x）max＝f（3）＝3，f（x）min＝f

（1）＝－1.

探究3　通过探究2，分析函数f（x）取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？

【提示】　通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．

　求函数f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值g（a）和最小值φ（a）．

【精彩点拨】　f（x）的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[0,2]的关系，进而确定单调性和最值．

【自主解答】　f（x）＝（x－a）2－a2－1，对称轴为x＝a.

①当a<0时，由图

（1）可知，

f（x）min＝f（0）＝－1，

f（x）max＝f

（2）＝3－4a.

②当0≤a<1时，由图

（2）可知，

f（x）min＝f（a）＝－1－a2，

f（x）max＝f

（2）＝3－4a.

③当1≤a≤2时，

由图（3）可知，f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（0）＝－1.

④当a>2时，由图（4）可知，

f（x）min＝f

（2）＝3－4a，

f（x）max＝f（0）＝－1.

综上可知，最大值g（a）＝

最小值φ（a）＝

二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f（x）的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大（小）值不一定在顶点处取得．

[再练一题]

3．

（1）函数y＝f（x）＝x－

的最小值为________．

（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值.

【解析】　

（1）令

＝t≥0，∴x＝

，

∴y＝

－t＝

（t－1）2－1，t≥0，

∵对称轴t＝1∈[0，＋∞），

∴ymin＝y

（1）＝－1，

∴f（x）的最小值为－1.

【答案】　－1

（2）【解】　∵对称轴x＝1，

①当1≥t＋2，即t≤－1时，

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f（t＋2）＝t2＋2t－3.

②当

≤1

f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

③当t≤1<

，即0

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f

（1）＝－4.

④当1

f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，

f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.

设函数最大值为g（t），最小值为φ（t），则有

g（t）＝

φ（t）＝

1．函数y＝－x＋1在区间

上的最大值是________．

【解析】　∵函数y＝－x＋1在区间

上是减函数，

∴f（x）max＝f

＝－

＋1＝

.

【答案】　

2．函数f（x）＝

的定义域是（－∞，1）∪[2,5），则其值域是________．

【解析】　函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在（1，＋∞）上也是减函数，而x∈（－∞，1）∪[2,5），

所以y∈（－∞，0）∪

.

【答案】　（－∞，0）∪

3．f（x）＝x2－2x＋4的单调减区间为________，值域为________．

【解析】　二次函数开口向上，定义域为R，对称轴是x＝1，所以函数的单调递减区间是（－∞，1]．由于其顶点纵坐标为3，所以值域为[3，＋∞）．

【答案】　（－∞，1]　[3，＋∞）

4．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________.

【解析】　∵y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，

∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.

【答案】　0

5．已知函数f（x）＝4x2－mx＋1在（－∞，－2）上递减，在[－2，＋∞）上递增，求f（x）在[1,2]上的值域．

【解】　∵f（x）在（－∞，－2）上递减，在[－2，＋∞）上递增，

∴函数f（x）＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝

＝－2，即m＝－16.

又[1,2]⊆[－2，＋∞），且f（x）在[－2，＋∞）上递增．

∴f（x）在[1,2]上递增，

∴当x＝1时，f（x）取得最小值f

（1）＝4－m＋1＝21；

当x＝2时，f（x）取得最大值f

（2）＝16－2m＋1＝49.

∴f（x）在[1,2]上的值域为[21,49]．