初中数学专题一元二次方程北京中考难度题组卷.docx

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初中数学专题一元二次方程北京中考难度题组卷

初中数学一元二次方程解答题组卷

一．解答题（共18小题）

1．（2010•东城区二模）已知：

关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

2．（2009•房山区一模）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．

（1）求证：

该方程必有两个实数根；

（2）设方程的两个实数根分别是x1，x2，若y1是关于x的函数，且y1=mx﹣1，其中m=x1x2，求这个函数的解析式；

（3）设y2=kx2+（3k+1）x+2k+1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0的整数．结合函数的图象回答：

当自变量x满足什么条件时，y2＞y1？

3．（2013•大兴区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．

4．（2009•昌平区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

6．（1999•黄冈）已知x=﹣1是关于x的方程

的一个根，求作以2k和k+1为根的一元二次方程．

7．（2009•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，且m＜5，求m的整数值．

8．（2010•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

9．（2009•大兴区二模）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0有实数根，求m的取值范围．

10．（2013•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

11．（2011•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+1=0．

（1）若x=3是此方程的一个根，求m的值和它的另一个根；

（2）若方程x2﹣2x﹣m+1=0有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+1﹣2m=0的根的情况．

12．（2012•成华区一模）已知关于x的一元二次方程

有两个相等的实数根，求关于y的不等式

的解集，并把解集在数轴上表示出来．

13．（2013•平谷区一模）已知关于m的一元二次方程2x2+mx﹣1=0．

（1）判定方程根的情况；

（2）设m为整数，方程的两个根都大于﹣1且小于

，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．

14．（2013•花都区一模）已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式

的值．

15．（2013•封开县一模）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．

（1）求q关于p的关系式；

（2）若p=2q，求方程的另一根；

（3）求证：

抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

16．（2011•西城区二模）已知：

关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．

17．（2013•和静县一模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．

参考答案与试题解析

一．解答题（共18小题）

1．（2010•东城区二模）已知：

关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

考点：

根的判别式；解一元二次方程-公式法．728584

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）先由k≠0，确定此方程为一元二次方程．要证明方程总有两个实数根，只有证明△≥0，通过代数式变形即可证明；

（2）先利用求根公式求出两根，x1=﹣1，

，只要2被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k的值．

解答：

证明：

（1）∵k≥1，

∴k≠0，此方程为一元二次方程，

∵△=4﹣4k（2﹣k）=4﹣8k+4k2=4（k﹣1）2，

而4（k﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴方程恒有两个实数根．

（2）解：

方程的根为

，

∵k≥1，∴

．

∴x1=﹣1，

，

∵k≥1，若k为整数，

∴当k=1或k=2时，方程的两个实数根均为整数．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了解方程的方法和整数的整除性质．

2．（2009•房山区一模）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+2k+1=0．

（1）求证：

该方程必有两个实数根；

（2）设方程的两个实数根分别是x1，x2，若y1是关于x的函数，且y1=mx﹣1，其中m=x1x2，求这个函数的解析式；

（3）设y2=kx2+（3k+1）x+2k+1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0的整数．结合函数的图象回答：

当自变量x满足什么条件时，y2＞y1？

考点：

抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．728584

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）用根的判别式判断根的情况；

（2）用一元二次方程根与系数的关系，可以求出关于y1解析式；

（3）根据已知方程只有整数根且k是小于0的整数确定出k的值，进而确定两个函数的解析式，求出两个函数的交点坐标，在坐标系中画出图象，再确定出y2＞y1时的x的取值范围．

解答：

（1）证明：

∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，

∴△=b2﹣4ac

=9k2+6k+1﹣4k（2k+1）

=9k2+6k+1﹣8k2﹣4k=k2+2k+1

=（k+1）2≥0，

∴方程必有两个实数根；

（2）解：

∵方程的两个实数根分别是x1，x2，

∴x1x2=

，

而m=x1x2，y1=mx﹣1，

∴

；

（3）解：

∵方程只有整数根且k是小于0的整数，

∴

要为整数，只能

为整数，

∴k=﹣1，

∴y2=﹣x2﹣2x﹣1，y1=x﹣1，

∴y1与y2的交点坐标为A（﹣3，﹣4）B（0，﹣1），

∴在坐标系中画出两函数的图象如图所示，

由图象可知：

当﹣3＜x＜0时，y2＞y1．

点评：

本题有一定的难度，先用到一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系来确定方程有根和函数的解析式，再求出了两函数的交点坐标，从而在坐标系中画出图象，确定出x的取值范围．

3．（2013•大兴区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．

考点：

根的判别式．728584

专题：

计算题．

分析：

根据根的判别式的意义得到△=4﹣4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2+2x+1=0，然后运用因式分解法解方程．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，

∴△=4﹣4m≥0，

∴m≤1，

∴m的最大值为1，

当m=1时，一元二次方程变形为x2+2x+1=0，

∴x1=x2=﹣1．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

4．（2009•昌平区模拟）已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

考点：

根的判别式．728584

专题：

计算题．

分析：

由关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，

∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．

∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．

5．已知α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，求

的值．

考点：

根与系数的关系．728584

分析：

根据α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为

，最后把α+β和αβ的值代入，计算即可．

解答：

解：

∵α、β是关于x的一元二次方程3x2﹣1=2x+5的两个实数根，

而方程3x2﹣1=2x+5即为3x2﹣2x﹣6=0，

∴α+β=

，αβ=﹣2，

∴

=

=

=﹣

．

点评：

此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

6．（1999•黄冈）已知x=﹣1是关于x的方程

的一个根，求作以2k和k+1为根的一元二次方程．

考点：

无理方程；根与系数的关系．728584

分析：

首先把x=﹣1代入方程

，求出k的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系得出结果．

解答：

解：

将x=﹣1代入原方程，有

，（2分）

化简，平方得k+2=k2，

∴k=2，或k=﹣1．（5分）

依题意有k≥0，

∴k=2．（6分）

∴以4和3为根的一元二次方程为y2﹣7y+12=0．（8分）

点评：

本题主要考查了方程的解的定义，无理方程的解法及一元二次方程根与系数的关系．注意解无理方程一定要检验．

7．（2009•顺义区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，且m＜5，求m的整数值．

考点：

根的判别式．728584

专题：

计算题．

分析：

根据一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，得出△=b2﹣4ac=4（m+1）2﹣4m2=8m+4≥0，再利用

m的取值范围得出m的值，再利用求根公式得出．

解答：

解：

∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，

∴△=b2﹣4ac=4（m+1）2﹣4m2=8m+4≥0，

∴

，

∵m＜5

∴m可取的整数有0，1，2，3，4．

由求根公式

，

∵一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0有两个整数根，

∴2m+1必须是完全平方数，

∴m=0，m=4．

点评：

此题主要考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系，此题综合性较强注意知识的综合应用．

8．（2010•北京）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

考点：

根的判别式．728584

专题：

压轴题．

分析：

首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．

解答：

解：

由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．

当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．

所以原方程的根为x1=x2=2．

点评：

总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

9．（2009•大兴区二模）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0有实数根，求m的取值范围．

考点：

根的判别式；一元二次方程的定义．728584

分析：

利用根的判别式△≥0，把方程中的系数代入可得关于m的不等式，还要注意一元二次方程二次项系数m+2≠0这一隐含条件．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2（m﹣1）x+m=0有实数根，

∴

，

∴

，

∴m的取值范围是：

．

点评：

本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

①二次项系数不为零；

②在有的实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．

10．（2013•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

考点：

根的判别式．728584

专题：

计算题．

分析：

根据判别式的意义得到（﹣6）2﹣4（m﹣3）=0，再解方程求出m，这样可确定原方程为x2﹣6x+9=0，然后利用因式分解法解方程．

解答：

解：

由题意可知△=0，即（﹣6）2﹣4（m﹣3）=0，

解得m=12，

当m=12时，原方程化为x2﹣6x+9=0，

解得x1=x2=3，

所以原方程的根为x1=x2=3．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

11．（2011•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m+1=0．

（1）若x=3是此方程的一个根，求m的值和它的另一个根；

（2）若方程x2﹣2x﹣m+1=0有两个不相等的实数根，试判断另一个关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+1﹣2m=0的根的情况．

考点：

根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法．728584

专题：

计算题；综合题．

分析：

（1）把x=3代入方程可直接求出m的值，然后把m的值代入原方程，再求另一解；

（2）由方程x2﹣2x﹣m+1=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，从而求出m＞0，再由根的辨别式△判断一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+1﹣2m=0的根即可．

解答：

解：

（1）由已知得，

（3）2﹣2×3﹣m+1=0，

∴m=4，原方程化为x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，

∴原方程的另一根为﹣1；

（2）依题意得，（﹣2）2﹣4×1×（﹣m+1）＞0，

解得m＞0，

∴一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+1﹣2m=0的判别式为，

（m﹣2）2﹣4×1×（1﹣2m）=m2+4m＞0，

即一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+1﹣2m=0也有两个不相等的实数根．

点评：

总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．（2012•成华区一模）已知关于x的一元二次方程

有两个相等的实数根，求关于y的不等式

的解集，并把解集在数轴上表示出来．

考点：

根的判别式；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．728584

专题：

计算题．

分析：

由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，将k的值代入不等式中，求出关于y的一元一次不等式的解集，并将解集表示在数轴上即可．

解答：

解：

∵方程有两个相等的实数根，

∴b2﹣4ac=（k﹣2）2﹣4×

×k2=4﹣4k=0，

解得：

k=1，

原不等式化为

﹣1≥

，

去分母得：

3（6﹣y）﹣6≥2（y+1），

去括号得：

18﹣3y﹣6≥2y+2，

移项得：

﹣3y﹣2y≥2﹣18+6，

合并得：

﹣5y≥﹣10，

解得：

y≤2，

其解集表示在数轴上，如图所示：

点评：

此题考查了根的判别式，一元一次不等式的解法，以及解集在数轴上表示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

13．（2013•平谷区一模）已知关于m的一元二次方程2x2+mx﹣1=0．

（1）判定方程根的情况；

（2）设m为整数，方程的两个根都大于﹣1且小于

，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．

考点：

根的判别式；根与系数的关系．728584

分析：

（1）先计算出△=m2﹣4×2×（﹣1）=m2+8，利用m2≥0得到△＞0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况；

（2）设方程两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到﹣

＜m＜1，而方程的两个根均为有理数时，m为整数，易得m=﹣1．

解答：

解：

（1）△=m2﹣4×2×（﹣1）

=m2+8，

∵m2≥0，

∴m2+8＞0，即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣

，x1•x2=﹣

，

∵﹣1＜x1＜

，﹣1＜x2＜

，

∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣

＜0，x2﹣

＜0，

∴（x1+1）•（x2+1）＞0，（x1﹣

）（x2﹣

）＞0，

∴﹣

﹣

m+1＞0，﹣

+

×

+

＞0，

∴﹣

＜m＜1，

∵m为整数，方程的两个根均为有理数时，

∴△=m2+8为完全平方数，

∴m=﹣1．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．

14．（2013•花都区一模）已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式

的值．

考点：

一元二次方程的解．728584

专题：

计算题．

分析：

根据一元二次方程的解的定义得m2﹣4m+1=0，则m2﹣4m=﹣1，再化简原式得到m2﹣4m+3，然后利用整体思想进行计算．

解答：

解：

把x=1代入x2﹣4mx+m2=0得：

m2﹣4m+1=0，

∴m2﹣4m=﹣1，

∴原式=2m2﹣4m﹣（m2﹣3）

=2m2﹣4m﹣m2+3

=m2﹣4m+3

=﹣1+3

=2．

点评：

本题考查了一元二次方程的解：

使一元二次方程两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了整体思想的运用．

15．（2013•封开县一模）已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．

（1）求q关于p的关系式；

（2）若p=2q，求方程的另一根；

（3）求证：

抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

考点：

抛物线与x轴的交点；一元二次方程的解；根的判别式．728584

分析：

（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；

（2）根据根与系数的关系来求方程的另一根；

（3）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

解答：

解：

（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，

∴4+2p+q+1=0，即q=﹣2p﹣5；

（2）设一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为t，

则由韦达定理，得

，

解得，

，

所以，原方程的另一根为0；

（3）证明：

令x2+px+q=0．则△=p2﹣4q=p2﹣4（﹣2p﹣5）=（p+4）2+4＞0，即△＞0，

所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

点评：

本题考查了一元二次方程的解的定义、根的判别式以及抛物线与x轴的交点．注意抛物线y=x2+px+q与方程x2+px+q=0的联系．

16．（2011•西城区二模）已知：

关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．

考点：

根的判别式；解一元二次方程-公式法．728584

分析：

（1）根据一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，即可得出k的取值范围；

（2）根据k的取值范围，得出符合条件的最大整数k=1，代入方程求出即可．

解答：

解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，

∴△=16﹣4×2k＞0．

解得k＜2．

（2）∵k＜2，

∴符合条件的最大整数k=1，

此时方程为x2+4x+2=0．

∴a=1，b=4，c=2．

∴b2﹣4ac=42﹣4×1×2=8．

代入求根公式

，

得

．

∴

．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，此题比较典型同学们应熟练掌握．

17．（2013•和静县一模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3=0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．

考点：

根的判别式；解一元二次方程-公式法．728584

分析：

（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；

（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3=0中，再解出方程的解即可．

解答：

解：

（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3=0有两个不相等的实数根，

∴m+1≠0且△＞0．

∵△=（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）=4（2m+3），

∴2m+3＞0．

解得m＞

．

∴m的取值范围是m＞

且m≠﹣1．

（2）在m＞

且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1．

此时，方程化为x2+x﹣1=0．

∵△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，

∴

．

∴方程的根为

，

．

点评：

此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．