赵振十四周教案.docx

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赵振十四周教案

24.2.3切线的判定和性质

　教学重点：

切线的性质定理和推论1、推论2．

　教学难点：

利用“反证法”来证明切线的性质定理．

教学设计：

（一）基本性质

　　1、

观察：

（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）

　　2、归纳：

（引导学生完成）

（1）切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

　　猜想：

圆的切线垂直于经过切点的半径．

　　引导学生应用“反证法”证明．分三步：

（1）假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，

（2）同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则有直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．

　　（3）承认所要的结论AT⊥AO．

　　切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径．

　　指出：

定理中题设和结论中涉及到的三个要点：

切线、切点、垂直．

　　引导学生发现：

　　推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

　　推论2：

经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．

　　引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系，总结出如下结论：

　　如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

（1）垂直于切线；

（2）过切点；

　　（3）过圆心．

（二）归纳切线的性质

（1）切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法

（2）的逆命题）

　　（3）切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

　　（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

　　（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

　　（三）应用举例，强化训练．

　　例1、

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．

　　求证：

AC平分∠DAB．

　　引导学生分析：

条件CD是⊙O的切线，可得什么结论；由AD⊥CD，又可得什么．

　　证明：

连结OC．

　　　∴AC平分∠DAB．

　　例2、求证：

如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。

　　已知：

AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD

　　求证：

连结E、F的线段是直径。

　　证明：

连结EO并延长

　　　∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，

　　　∵AB∥CD，∴OE⊥CD．

　　　∵CD是⊙O切线，F为切点，∴OE必过切点F

　　　∴EF为⊙O直径

　　强化训练：

P109，1

　　3、求证：

经过直径两端点的切线互相平行。

　　已知：

AB为

⊙O直径，MN、CD为⊙O切线，切点为A、B

　　求证：

MN∥CD

　　证明：

∵MN切⊙O于A，AB为⊙O直径

　　　∴MN⊥AB

　　　∵CD切⊙O于B，B为半径外端

　　　∴CD⊥AB，

　　　∴MN∥CD．

　　（四）小结

　　1、知识：

切线的性质：

（1）切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法

（2）的逆命题）

　　（3）切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）

　　（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论1）

　　（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．（推论2）

　　2、能力和方法：

　　凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系．

　　（五）作业教材P98练习1.2；教材P101中5．

24.2.4切线长定理

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

　　重点：

切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．

　　难点：

与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．

　　2、教法建议

　　本节内容需要一个课时．

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标

　　1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；

　　2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

　　3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．

　教学过程设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

　　1、

切线长的概念．

　　如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．

　　引导学生理解：

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

　　2、观察

　　利用电脑变动点P的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．

　　3、

猜想

　　引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB．

　　4、证明猜想，形成定理．

　　猜想是否正确。

需要证明．

　　组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．

　　想一想：

根据图形，你还可以得到什么结论？

　　∠OPA＝∠OPB（如图）等．

　　切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

　　5、归纳：

　　把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

　　6、切线长定理的基本图形研究

　　如图，

PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

（1）写出图中所有的垂直关系；

（2）写出图中所有的全等三角形；

　　（3）写出图中所有的相似三角形；

　　（4）写出图中所有的等腰三角形．

　　说明：

对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．

（二）应用、归纳、反思

　　例1、已知：

如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

　　A和B是切点，BC是直径．

　　求证：

AC∥OP．

　　分析：

从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.

　　从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．

　　证法一．如图．连结AB．

　　　PA，PB分别切⊙O于A，B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

　　　∴OP⊥AB

　　　又∵BC为⊙O直径

　　　∴AC⊥AB

　　　∴AC∥OP（学生板书）

　　证法二．

连结AB，交OP于D

　　　PA，PB分别切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB∠APO＝∠BPO  

　　　∴AD＝BD

　　　又∵BO=DO

　　　∴OD是△ABC的中位线

　　　∴AC∥OP

　证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点E

　　　PA，PB分别切⊙O于A、B

　　　∴PA＝PB

　　　∴OP⊥AB

　　　∴ 

 = 

　　　∴∠C＝∠POB

　　　∴AC∥OP

　　反思：

教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力．

　　例2、 圆的外切四边形的两组对边的和相等．

　　（分析和解题略）

　　反思：

（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．

（2）圆内接四边形的性质：

对角互补．

　　P120练习：

　　练习1　填空

　　如图,

已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________

　　练习2　已知：

在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长．

　　分析：

设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果．

　　（解略）

　　反思：

解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力．

　　（三）小结

　　1、

提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容；

（2）学习用的数学思想方法；

　　（3）应注意哪些概念之间的区别?

　　2、归纳基本图形的结论

　　3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．

　　（四）作业

　　教材P131习题7．4A组1．

（1），2，3，4．B组1题．

探究活动

图中找错

　　你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？

　　在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线．

　　提示：

在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上．

　　在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，则有

　　　a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+c　　①

　　　c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+b　　②

　　　a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+b　　③

　　　将②代人①式得

　　　a=P1P3+（P2P3+b）=P1P3+P2P3+b，

　　　∴a-b=P1P3+P2P3

　　　由③得a-b=P1P2得

　　　∴P1P2=P2P3+P1P3

　　　∴P1、P 2 、P3应重合，故图2是错误的．

23.2.4圆与圆的位置关系

一、教学目标：

1．本节课使学生掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．

2．使学生能够根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．

3、结合本节课的教学内容培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．

4、．继续培养学生运用旧知识探求新知识的能力．

二、重点：

圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．

三、难点：

理解相切两圆连心线性质的证明．

四、教具准备：

教参、练习册、课外资料

五、教学过程：

一、新课引入：

同学们，前面我们学习了点和圆及直线和圆的位置关系，在原有知识的基础上本节课我们学习两圆的位置关系的有关知识，那么圆和圆有几种位置关系呢？

教师板书课题：

“7．13圆和圆的位置关系

（一）”．根据学生已有的知识水平及本节课的特点，从引导学生回顾点和圆三种位置关系到直线和圆的三种位置关系出发，激发学生通过类比探求圆和圆的位置关系有几种情况，这样可一下子抓住学生的注意力．

为了使学生真正体会到数学理论来源于实践，反过来又作用于实践的这一理论．在学生复习了点和圆及直线和圆的位置关系的基础上，教师引导学生把课前准备好的两个不等圆的纸版拿出来，同桌两人动手实验，发现圆和圆的位置关系有五种情况的过程，由学生上黑板公布自已发现的五种情况，教师适当补充．这样做的目的．是鼓励学生亲自动手来参与探索新知识过程．可充分调动学生的学习积极性．

让学生把自己得到的结论告诉同学们，对此问题不是所有同学都能理解，这时教师可以进一步引导，把得到的位置关系从投影上打出来．

这样做的好处是体现学生动手动脑的全过程，特别是通过自己实验总结出来的知识，更突出它的实际性．不是学生被动地接受知识，而是学生积极主动获得知识，更能培养学生发散思维的能力．

二、新课讲解：

学生得到的圆和圆的位置关系有五种情况，也就等于学生自己的科研成果公布于众．

请两名同学上黑板讲解得到五种位置关系的方法．全班同学参与评议，同时观察图形具有的特点．

找一名同学以两圆公共点的个数为依据，摆放出两圆各种不同的位置：

找一名同学利用运动变化的观点来得到两圆的位置．设⊙O1为动圆，⊙O2为定圆，当⊙O1向⊙O2运动时，两圆的位置关系的变化如下：

由学生实验得到结论，教师引导学生回答，教师概括总结：

圆和圆的位置关系五种情况及各自的概念．

（1）两圆外离：

略

（2）两圆外切

（3）两圆相交

（4）两圆内切

（5）两圆内含

教师一边讲解每一种情况的定义，同时要求学生理解重点词语“内”、“外”、“内部”、“外部”．这五种情况也可以归纳为三类：

（2）相交

接着教师引导学生思考这样问题：

除根据公共点的个数可以判定两个圆的位置关系外，还有没有其它方法呢？

由于圆和圆的位置关系是学生自己得到的，前两名同学发言的激发下，不少同学都想拿出自己的作品，这时教师让学生议论五分钟，然后由学生总结出又一种方法判定两圆的位置关系．教师板书：

设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么

（1）两圆外离

d＞R+r

（2）两圆外切

d=R+r

（3）两圆相交

R-r＜d＜R=r（R≥r）

（4）两圆内切

d=R-r（R＞r）

（5）两圆内含

d＜R-r（R＞r）

同心圆

d=0

接下来为了巩固所讲的知识点，投影放出一组练习题：

⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设

（1）O1O2=8厘米；                          

（2）O1O2=7厘米；

（3）O1O5=5厘米；                          （4）O1O2=1厘米；

（5）O1O2=0.5厘米；                        （6）O1和O2重合．

请回答⊙O1与⊙O2的位置关系怎样？

这组练习题，学生思考回答，学生参与评价，老师不代替学生，知识点消化靠学生自己思维解决．如果有困难的话由其它同学帮忙解决．

接下来教师结合图7-96讲解“把经过两圆心的直线叫做连心线”．那么两圆外切、内切的切点与连心线有怎样的关系呢？

本题由教师分析证明思路，在学生表示认可的情况下，由学生总结出相切

两圆的性质：

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．

教师这样做的目的是培养学生亲自动手操作实验，发现规律，总结出结论．一方面培养学生自己探求新知识的探索精神，另一方面给学生一种自信，让他们感觉自己能行．

接着幻灯打出例1 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．

求：

（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？

学生回答，教师板书：

解：

（1）设⊙O与⊙P外切于点A．

∴ PA=OP-OA=8-5，

∴ PA=3cm．

（2）设⊙O与⊙p内切于点B．

∴ PB=OP+OB=8+5，

∴ PB=13cm．

练习题由学生自己完成，教师不讲，学生之间互相评价．

三、课堂小结：

课后小结由学生进行，教师概括：

（一）本节所学的知识点：

1．圆和圆的位置关系的概念．

3．相切两圆连心线的性质．

（二）本节课所学的方法：

1．会利用公共点的个数和定义判定两圆的位置关系．

2．会用两圆半径和圆心距的关系判定两圆的位置关系．

3．学会两圆相切连心线必过这两圆的切点．

　正多边形和圆

教学目标：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

　　（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

　　（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

　　教学重点：

　　理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

　　教学难点：

　　对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

　　问题：

上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分（n≥3）圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

　　组织学生自己完成以下活动．

　　实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？

半径是什么？

　　2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？

半径是什么？

　　探究1：

当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

　　探究2：

（1）正方形有外接圆吗？

若有外接圆的圆心在哪？

（正方形对角线的交点．）

（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

　　（3）正方形有内切圆吗？

圆心在哪？

半径是谁？

　　（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

　　过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

  同理，点E在⊙O上．

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距（OH）为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

　　正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

 它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

 正五边形的各顶点共圆．

 正五边形有外接圆．

 圆心到各边的距离相等．

 正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

　　照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

　　定理：

 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于

（二）例题研究：

．　例1、求证：

各角相等的圆外切五边形是正五边形．

　　已知：

如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

　　求证：

五边形ABCDE是正五边形．

　　分析：

要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

　　教

师引导学生分析，学生动手证明．

　　证法1：

连结OA、OB、OC，

　　∵五边形ABCDE外切于⊙O．

　　∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

　　又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

　　∴∠BAO=∠OCB．

　　又∵OB=OB

　　∴

△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

　　∴五边形ABCDE是正五边形．

　　证法2：

作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

　　OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

　　∠B=∠C 

 ∠1=∠2 

 = 

 ．

　　同理  

 = 

 = 

 = 

 ，

　　即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是

正五边形．

　　 反思：

判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

　　此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

　　拓展1：

已知：

如图，五边形ABCD

E内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

　　求证：

五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

　　分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

　　拓展2：

已知：

如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

　　求证：

五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

　　学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

　　例2、已知：

正六边形ABCDEF．

 求作：

正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

　　作法：

1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

　　2、以O为圆心，以O到AB的距离（OH）为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

　　用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

　　（3）巩固练习：

　　1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

　　2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

　　3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

　　4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

　　（四）正多边形的性质：

　　1、各边都相等．

　　2、各角都相等．

　　观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？

如果是，它们又各应有几条对称轴？

　　3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

　　4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

　　5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

　　以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

　　（五）总结

　　知识：

（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

　　能力：

探索、推理、归纳等能力．

　　方法：

证明点共圆的方法．

（六）作业 P108中练习1、2、3．