高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法教案人教A版选修45.docx
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高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二2绝对值不等式的解法教案人教A版选修45
2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a（a>0）型不等式求解．
|ax＋b|≤c（c>0）型不等式的解法：
先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥c（c>0）的解法：
先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
（2）以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象（有时需要考查函数的增减性）是解题关键．
|f（x）|≥g（x）和|f（x）|≤g（x）型不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
（1）1<|x－2|≤3；
（2）|2x＋5|>7＋x；
（3）
≤
.
[思路点拨]
（1）可利用公式转化为|ax＋b|>c（c>0）或|ax＋b|0）型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；
（2）可利用公式法转化为不含绝对值的不等式；
（3）可分类讨论去掉分母和绝对值．
[解]
（1）法一：
原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x<1或3所以原不等式的解集为[－1,1）∪（3,5]．
法二：
原不等式可转化为：
①
或②
由①得3所以原不等式的解集是[－1,1）∪（3,5]．
法三：
原不等式的解集就是1<（x－2）2≤9的解集，即
解得
∴－1≤x<1或3∴原不等式的解集是[－1,1）∪（3,5]．
（2）由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－（7＋x），
整理得x>2或x<－4.
∴原不等式的解集是（－∞，－4）∪（2，＋∞）．
（3）①当x2－2<0且x≠0，即－
，且x≠0时，原不等式显然成立．
②当x2－2>0时，
原不等式可化为x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0，
∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2，
即x≤－2或x≥2.
∴原不等式的解集为（－∞，－2]∪（－
，0）∪（0，
）∪[2，＋∞）．
含绝对值不等式的常见类型及其解法
（1）形如|f（x）|a（a∈R）型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a>0时，|f（x）||f（x）|>a⇔f（x）>a或f（x）<－a.
②当a＝0时，|f（x）||f（x）|>a⇔f（x）≠0.
③当a<0时，|f（x）||f（x）|>a⇔f（x）有意义．
（2）形如|f（x）|<|g（x）|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f（x）|<|g（x）|⇔[f（x）]2<[g（x）]2
⇔[f（x）＋g（x）][f（x）－g（x）]<0.
（3）形如|f（x）|g（x）型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f（x）|②|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<－g（x）（其中g（x）可正也可负）．
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
（4）形如a<|f（x）|a>0）型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a<|f（x）|（5）形如|f（x）|f（x）型不等式
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f（x）||f（x）|>f（x）⇔f（x）<0.
1．解下列不等式：
（1）|3－2x|<9；
（2）4＜|3x－2|＜8；
（3）|x2－3x－4|>x＋1.
解：
（1）∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.
∴－9<2x－3<9.
即－6<2x<12.
解得－3∴原不等式的解集为{x|－3（2）由4＜|3x－2|＜8，得
⇒
⇒
∴－2＜x＜－
或2＜x＜
.
∴原不等式的解集为
.
（3）不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，
∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.
解得x>5或x<－1或－1∴不等式的解集为（－∞，－1）∪（－1,3）∪（5，＋∞）.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例2] 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：
（1）利用绝对值的几何意义；
（2）利用各绝对值的零点分段讨论；
（3）构造函数，利用函数图象分析求解．
[解] 法一：
|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距
离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈（－∞，－1]．
法二：
令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈∅.
∴原不等式的解集为（－∞，－1]．
法三：
将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即y＝
作出函数的图象，由图可知，当x≤－1时，有y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为（－∞，－1]．
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的三种解法：
分区间（分类）讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|2x＋1|－|x－4|>2.
解：
法一：
令y＝|2x＋1|－|x－4|，
则y＝
作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，
它们的交点为（－7,2）和
.
∴|2x＋1|－|x－4|>2的解集为（－∞，－7）∪
.
法二：
当x≥4时，（2x＋1）－（x－4）>2，
解得x>－3，∴x≥4.
当－
≤x<4时，（2x＋1）＋（x－4）>2，
解得x>
，∴
当x<－
时，－（2x＋1）＋（x－4）>2，
解得x<－7，∴x<－7.
综上可知，不等式的解集为（－∞，－7）∪
.
3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
解：
把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
①当x≤1时，
∴原不等式变为－（x－1）－（x－2）＞3＋x，解得x＜0；
②当1＜x≤2时，
∴原不等式变为x－1－（x－2）＞3＋x，解得x∈∅；
③当x＞2时，
∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为（－∞，0）∪（6，＋∞）.
含绝对值不等式的恒成立问题
[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足下列条件的m的取值范围．
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集为R；
（3）若不等式解集为∅.
[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．
[解] 法一：
因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P（x）与两定点A（－2），B（－3）距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知（|PA|－|PB|）max＝1，
（|PA|－|PB|）min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
（1）若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为（－∞，1）．
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值范围为（－∞，－1）．
（3）若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞）．
法二：
由|x＋2|－|x＋3|≤|（x＋2）－（x＋3）|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|（x＋3）－（x＋2）|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
（1）若不等式有解，则m∈（－∞，1）．
（2）若不等式解集为R，则m∈（－∞，－1）．
（3）若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞）．
问题
（1）是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f（x）a恒成立⇔f（x）min>a.
4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|解：
由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
（1）若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈（－1，＋∞）．
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈（1，＋∞）．
（3）若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈（－∞，－1]．
5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m，其他条件不变时，分别求出m的取值范围．
解：
|x＋2|＋|x＋3|≥|（x＋2）－（x＋3）|＝1，
即|x＋2|＋|x＋3|≥1.
（1）若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R.
（2）若不等式解集为R，即m∈（－∞，1）．
（3）若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.
1．若不等式|ax＋2|<6的解集为（－1,2），则实数a的取值为（ ）
A．8 B．2
C．－4D．－8
解析：
选C 原不等式化为－6即－8又∵－1∴验证选项易知a＝－4适合．
2．不等式
>
的解集是（ ）
A．{x|02}
C．{x|x<0}D．{x|x>2}
解析：
选B 由
>
，可知
<0，
∴x<0或x>2.
3．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（－∞，0]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[0，＋∞）
解析：
选C 作出y＝|x＋1|与l1：
y＝kx的图象如图所示，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知k∈[0,1]．
4．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，3]∪[5，＋∞）
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．（－∞，－5]∪[－3，＋∞）
解析：
选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．
解析：
∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得（x＋2）2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2.
即x≥－1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．
答案：
{x|x≥－1}
6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．
解析：
原不等式等价于|2x－1|－x－1<2x－1⇔0答案：
{x|07．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为∅，则a的取值范围为________．
解析：
法一：
由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．
法二：
数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为∅.
答案：
（－∞，3]
8．解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.
解：
（1）当x>2时，原不等式可化为
解得x>2.
（2）当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－
（3）当x<－3时，原不等式可化为
解得x<－12.
综上所述，原不等式的解集为
.
9．已知函数f（x）＝|x－2|－|x＋1|.
（1）解不等式f（x）>1；
（2）当x>0时，函数g（x）＝
（a>0）的最小值大于函数f（x），试求实数a的取值范围．
解：
（1）当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，解集为∅.
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；
当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1.
综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
（2）因为g（x）＝ax＋
－1≥2
－1，
当且仅当x＝
时等号成立，所以g（x）min＝2
－1，
当x>0时，f（x）＝
所以f（x）∈[－3,1），
所以2
－1≥1，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞）．
10．已知f（x）＝|ax－2|＋|ax－a|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求f（x）≥x的解集；
（2）若不存在实数x，使f（x）＜3成立，求a的取值范围．
解：
（1）当a＝1时，
f（x）＝|x－2|＋|x－1|≥x，
当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；
当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；
当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.
综上可得，f（x）≥x的解集为{x|x≤1或x≥3}．
（2）依题意，对∀x∈R，都有f（x）≥3，
则f（x）＝|ax－2|＋|ax－a|≥|（ax－2）－（ax－a）|＝|a－2|≥3，
∴a－2≥3或a－2≤－3，
∴a≥5或a≤－1（舍去），
∴a的取值范围是[5，＋∞）．
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