初中的数学规律题的总结.docx

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初中的数学规律题的总结

初中数学规律题解题基本方法

（一）数列得找规律

初中数学考试中,经常出现数列得找规律题,本文就此类题得解题方法进行探索:

一、基本方法-—瞧增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）:

对每个数与它得前一个数进行比较,如增幅相等,则第ｎ个数可以表示为:

a＋（ｎ-1）b,其中a为数列得第一位数,b为增幅,（n—１）ｂ为第一位数到第n位得总增幅。

然后再简化代数式a+（n—1）b、

例:

4、１0、１6、22、28……,求第ｎ位数、

分析:

第二位数起,每位数都比前一位数增加６,增幅相都就是6,所以,第n位数就是:

４+（n-１）×6＝6n－2

（二）如增幅不相等,但就是,增幅以同等幅度增加（即增幅得增幅相等,也即增幅为等差数列）、如增幅分别为３、5、７、9,说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位得数也有一种通用求法。

基本思路就是:

1、求出数列得第n—１位到第n位得增幅;

2、求出第１位到第第n位得总增幅;

3、数列得第1位数加上总增幅即就是第n位数、

举例说明:

2、5、1０、17……,求第ｎ位数、

分析:

数列得增幅分别为:

3、5、7,增幅以同等幅度增加。

那么,数列得第ｎ-1位到第n位得增幅就是:

3＋２×（n—2）＝２n—1,总增幅为:

[3+（２n-1）]×（ｎ-1）÷２=（n＋1）×（ｎ－１）=n2—1

所以,第n位数就是:

2+　n2－1=ｎ2+１

此解法虽然较烦,但就是此类题得通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑得方法求出,方法就简单得多了。

（三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅得增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法,只用分析观察得方法,但就是,此类题包括第二类得题,如用分析观察法,也有一些技巧、

二、基本技巧

（一）标出序列号:

找规律得题目,通常按照一定得顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知得量找出一般规律。

找出得规律,通常包序列号、所以,把变量与序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中得奥秘、

例如,观察下列各式数:

0,3,8,15,２４,……。

试按此规律写出得第１00个数就是　　　、

解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数。

我们把有关得量放在一起加以比较:

给出得数:

0,３,8,1５,24,……、

序列号:

１,2,3,４,5,……。

容易发现,已知数得每一项,都等于它得序列号得平方减1。

因此,第n项就是ｎ２－1,第10０项就是10０2－1。

（二）公因式法:

每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,瞧就是不就是与n2、n3,或2ｎ、３ｎ,或２n、3ｎ有关。

例如:

1,9,25,49,（）,（）,得第ｎ为（2ｎ-１）2

（三）瞧例题:

A:

　２、９、２8、６5、、。

。

、增幅就是７、19、３7。

。

.、,增幅得增幅就是１2、1８答案与３有关且、、..。

。

.。

。

。

、。

即:

n３+1

Ｂ:

2、4、8、16、.、.、。

、增幅就是2、4、8。

、。

、。

。

.答案与2得乘方有关即:

2n

（四）有得可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始得新数列,然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置得关系。

再在找出得规律上加上第一位数,恢复到原来。

例:

2、5、10、17、２６……,同时减去２后得到新数列:

　0、3、8、１5、24……,

序列号:

１、２、3、４、5

分析观察可得,新数列得第n项为:

n２—1,所以题中数列得第n项为:

（n２-1）+2＝ｎ2＋1

（五）有得可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。

例:

　4,16,36,64,？

1４４,196,…　?

（第一百个数）

同除以4后可得新数列:

１、４、９、１6…,很显然就是位置数得平方、

（六）同技巧（四）、（五）一样,有得可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然,同时加、或减得可能性大一些,同时乘、或除得不太常见。

（七）观察一下,能否把一个数列得奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律、

三、基本步骤

先瞧增幅就是否相等,如相等,用基本方法

（一）解题。

如不相等,综合运用技巧

（一）、

（二）、（三）找规律

如不行,就运用技巧（四）、（五）、（六）,变换成新数列,然后运用技巧

（一）、

（二）、（三）找出新数列得规律

最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法

（二）解题

四、【典型例题】

例1　　观察下列算式:

……

用您所发现得规律写出得末位数字就是___＿___＿__。

观察下列式子:

;;;……

　请您将猜想得到得式子用含正整数n得式子表示来_＿____＿___。

五、图形找规律

小时侯我们都玩过搭积木得游戏,今天我们不妨重拾童年趣事,利用手中得火柴棒搭建一些常见得图形,探索规律。

合作交流,探索规律:

活动一:

探索常见图形得规律,用火柴棒按下图得方式搭三角形

  ⑴填写下表:

 ⑵照这样得规律搭建下去,搭n个这样得三角形需要多少根火柴棒？

★注意引导学生概括“探索规律”得一般步骤:

①     寻找数量关系;

②     用代数式表示规律

③     验证规律。

★练习:

四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？

五棱柱呢?

十棱柱呢？

n棱柱呢？

活动二:

探索具体情景下事物得规律

问题1。

若有两张长方形得桌子,把它们拼成一张大得长方形桌子,有几种拼法？

问题２。

若按图2方式摆放桌子与椅子

⑴一张桌子可坐6人,2张桌子可坐　      人、

⑵按照上图方式继续排列桌子,完成下表:

问题３。

如果按图３得方式将桌子拼在一起

⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？

3张呢?

n张呢?

⑵教室有40张这样得桌子,按上图方式每5张拼成１张大桌子,则40张桌子可拼成8张大桌子,共可坐   　人。

⑶在⑵中,改成每8张桌子拼成1张大桌子,则共可坐  人。

 活动三:

探索图表得规律

下面就是２０0０年八月份得日历:

⑴日历中得绿色方框中得９个数之与与该方框正中间得数有什么关系？

⑵这个关系对其它这样得方框成立吗？

您能用代数式表示这个关系吗？

⑶这个关系对任何一个月得日历都成立吗?

为什么？

⑷您还能发现这样得方框中9个数之间得其她关系吗?

用代数式表示。

⑸您还能提出那些问题？

4图3—4①就是一个三角形,分别连接这个三角形三边得中点,得到图3-４②;再分别连结图3—4②中间得小三角形三边得中点,得到图3—4③,按此方法继续下去,请您根据每个图中三角形个数得规律,完成下列问题。

……

（1）将下表填写完整

图形编号

1

2

3

4

5

…

三角形个数

1

5

9

…

（２）在第n个图形中有___________________＿个三角形（用含n得式子表示）。

例6.如图,把一个面积为１得正方形分等分成两个面积为得矩形,接着把面积为得矩形等分成两个面积为得正方形,再把面积为得矩形等分成两个面积为得矩形,如此进行下去,试利用图形提示得规律计算:

例7.把棱长为得正方体摆成如图得形状,从上向下数,第一层1个,第二层３个……按这种规律摆放,第五层得正方体得个数就是　　　

例8。

观察下列图形并填表、

个数

１

2

3

４

5

6

7…

周长

5

8

1１

14

…

六、巩固练习题

１。

用黑白两颜色得正六边形地面砖按如图所示规律,拼成若干个图案:

（1）第4个图案中有白色地面砖块;

（2）第个图案中有白色地面砖　　　块、

ﻩ……

2.下列每个图形都就是若干个棋子围成得正方形图案,图案得每条边（包括两个顶点）上都有个棋子,每个图案棋子总数为S,按下图得排列规律推断,S与之间得关系可以用式子　来表示。

……

3、观察与分析下面各列数得排列规律,然后填空。

①5,９,1３,17,　,　　　、

②4,5,7,１１,19,　　,。

③１0,20,21,4２,43,,　,17４,175。

④4,9,１9,34,５4,　,　　　,１４4、

⑤４5,1,43,3,４１,5,　　,　,3７,9。

⑥6,1,8,3,1０,５,12,7,　　　,、

⑦０,1,1,2,3,5,,　。

⑧180,155,13１,10８,,　。

⑨5,15,4５,135,,　　。

⑩60,６3,６8,7５,　,。

4.您能很快算出吗?

为了解决这个问题,我们考察个位上得数为５得自然数得平方,任意一个个位数为5得自然数可写成10•+５,即求得值（为自然数）,您试分析这些简单情况,从中控索其规律,并归纳,推测出结论（在下面空格内填上您得控索结果）。

通过计算,控索规律:

可写成

可写成

可写成

可写成

…………

可写成　　　　

可写成　　　

从第

（1）得结果,归纳、推测得:

根据上面得归纳、推测,请算出:

５、观察下列几个算式,找出规律:

1+２＋1=4

１+２＋3＋２＋1=９

1+2＋3＋4+３＋2+1=１6

1＋2＋3＋4+5+4＋３+2+１=２5

……

利用上面规律,请您迅速算出:

①1＋2＋3+…＋9９＋１０0＋99＋…＋３＋２+１=　　　

②据①您会算出１+2+3+…＋1０0就是多少吗?

③据上您能推导出１+2＋3+…+得计算公式吗?

12.给出下列算式:

,,,…,观察上面得一系列等式,您能发现什么规律?

用代数式表示这个规律就是　　　　　　。

6.研究下列算式,您会发现有什么规律?

;;;……

请将您找出得规律用公式表示出来:

　　　　　　　　　　　　。

7、如图得三角形数组就是我国古代数学家杨辉发现得,称为杨辉三角形,根据图中得数构成得规律填写:

所表示得数:

　　。

所表示得数:

　　。

8、因为,,

那么　　。

9。

将1,,,,,,…按一定规律排成下表:

试找出在第　行第　个数

10、如下图:

（1）ﻩﻩﻩ

（2）

11、把1到20０得数像下表那样排列,用正方形框子围住横得3个数,竖得3个数,这9个数得与就是１6２。

如果在表得另外得地方,也用正方形围住另外得9个数。

当正方形左上角得数就是１00时,这9个数得与就是多少?

当正方形中9个数得与就是1５5７时,最大得数就是多少？

１2、将1至1０01个数如下图得格式排列、用一个长方形框入１2个数,要使这12个数得与等于

（1）1986;

（2）2５２9;（3）1989就是否办得到?

如果办不到,简单说明理由:

如果办得到,写出长方形框里得最大得数与最小得数。

１３。

（２０１0年山东省青岛市）如图,就是用棋子摆成得图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要３７枚棋子,按照这样得方式摆下去,则摆第６个图案需要　　　枚棋子,摆第ｎ个图案需要　　枚棋子.

【关键词】规律

14、（2０10盐城）填在下面各正方形中得四个数之间都有相同得规律,根据此规律,m得值就是

A、38ﻩB。

５２ﻩC.66ﻩ　Ｄ。

74

关键词:

数字排列规律　

15.（2010年门头沟区）如图,,过上到点得距离分别为得点作得垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们得面积分别为.

则第一个黑色梯形得面积　;观察图中得规律,

第n（n为正整数）个黑色梯形得面积　　　。

【关键词】规律题、梯形面积

16.（2010年山东省济南市）如图所示,两个全等菱形得边长为１厘米,一只蚂蚁由点开始按得顺序沿菱形得边循环运动,行走20１0厘米后停下,则这只蚂蚁停在　　点.

【关键词】点得移动

17、（201０年毕节地区）搭建如图①得单顶帐篷需要17根钢管,这样得帐篷按图②,图③得方式串起来搭建,则串7顶这样得帐篷需要　　　根钢管。

【关键词】找规律

18、（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在得一个有趣得关系式,被称为欧拉公式。

请您观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:

（１）根据上面多面体模型,完成表格中得空格:

多面体

顶点数（V）

面数（Ｆ）

棱数（Ｅ）

四面体

4

７

长方体

８

６

12

正八面体

8

12

正十二面体

20

1２

3０

您发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在得关系式就是＿______＿＿______。

（2）一个多面体得面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体得面数就是＿__＿_＿__＿___、

（3）某个玻璃鉓品得外形就是简单多面体,它得外表面就是由三角形与八边形两种多边形拼接而成,且有2４个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表三角形得个数为个,八边形得个数为个,求得值。

【关键词】规律与探索

19、1５.直线上有20１０个点,我们进行如下操作:

在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样得操作后,直线上共有　　个点。

【关键词】点

20、　（2010年安徽中考）下面两个多位数12４8624……、624862４……,都就是按照如下方法得到得:

将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第２位。

对第2位数字再进行如上操作得到第３位数字……,后面得每一位数字都就是由前一位数字进行如上操作得到得。

当第１位数字就是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前１０0位得所有数字之与就是…………………………………………（　）

A）495　　B）4９7C）５01　D）503

【关键词】探索规律

2１、（2010年浙江省东阳市）阅读材料,寻找共同存在得规律:

有一个运算程序a⊕b=n,

可以使:

（a+ｃ）⊕b＝n+c,a⊕（ｂ+c）=n－２c,

如果1⊕1=2,那么2010⊕2０１0=　　.

【关键词】阅读理解、探究规律

2２、（2010重庆市）有两个完全重合得矩形,将其中一个始终保持不动,另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转,每次均旋转4５°,第1次旋转后得到图①,第2次旋转后得到图②,……,则第１0次旋转后得到得图形与图①～④中相同得就是（）

Ａ。

图①　B.图②　　　　C.图③　D.图④

解析:

观察图形,可知每转动4次为一个循环,所以10÷4=２…2,即第10次旋转后得到图形就是图②。

24.（２01０年四川省眉山市）如图,将第一个图（图①）所示得正三角形连结各边中点进行分割,得到第二个图（图②）;再将第二个图中最中间得小正三角形按同样得方式进行分割,得到第三个图（图③）;再将第三个图中最中间得小正三角形按同样得方式进行分割,……,则得到得第五个图中,共有＿__＿__＿_个正三角形.

【关键词】规律与探索

25.（2０10年福建省晋江市）如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中得一个正方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作;再将其中得一个正方形再剪成四个小正方形,共得到1０个小正方形,称为第三次操作;..。

根据以上操作,若要得到201１个小正方形,则需要操作得次数就是（）　、

Ａ。

6６9　　B.6７0　　C。

671　　Ｄ。

　6７２

【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索

26、　（2０1０江苏泰州,１7,3分）观察等式:

①,②,③…按照这种规律写出第ｎ个等式:

　　　　　、

【答案】

【关键词】规律归纳猜想

2７、（201０山东德州）电子跳蚤游戏盘就是如图所示得△ＡBC,AB=AC＝ＢC＝6。

如果跳蚤开始时在BＣ边得P0处,BP0=2.跳蚤第一步从P0跳到ＡC边得P１（第1次落点）处,且ＣP1=CP０;第二步从Ｐ1跳到AB边得Ｐ2（第2次落点）处,且ＡP2=AP1;第三步从P2跳到ＢC边得P３（第3次落点）处,且ＢP3=BＰ２;…;跳蚤按照上述规则一直跳下去,第n次落点为Ｐｎ（ｎ为正整数）,则点Ｐ2０09与点P2010之间得距离为_＿＿＿_____.

【关键词】寻找规律

一、数字规律类:

1、一组按规律排列得数:

,,,,……请您推断第9个数就是　　　。

2、已知下列等式:

①13=12;　②１3+2３＝３2;③13+23+3３=6２;

　④１3＋23＋３3＋43＝１０２;…………由此规律知,第⑤个等式就是　　　　　　　　　.第n个等式就是　　　　　　　.

3、观察下列各式;①、1＋1=1×2;②、2+2=２×3;　③、３+３=3×4　;………请把您猜想到得规律用自然数n表示出来　　　　　　　　　。

4、观察下面得几个算式:

①、１+2+1=4;②、１+2+3+2+1＝9;③、1＋2+3+4＋3+2+1=16;……根据您所发现得规律,请您直接写出第n个式子　　　　　　　　　　

5、观察下列一组数得排列:

1、2、3、4、3、２、1、2、3、4、３、2、１、…,那么第２005个数就是　　。

6、把数字按如图所示排列起来,从上开始,依次为第一行、第二行、第三行、……,中间用虚线围得一列,从上至下依次为1、５、13、25、……,则第1０个数为________。

第1行　1

　　　　　　　　第2行　－2　　3

　　　　　　　第3行　－4　　５－6

　　　　　　第4行　７　－8　　９—１0

　　　　　　　　　第5行　１１　—１2　１3　-1４　　　15

　　　　　　　………………

7、已知一列数:

１,―2,3,―4,5,―６,7,…　将这列数排成如上所示得形式:

按照上述规律排下去,那么第10行从左边数第5个数等于　　　　.

8、有一列数:

……,第９个数就是　　　　　。

9。

观察下列各式:

,,,……

将上面得规律用含有n得公式表示出来就是　　　　　　.

１0。

观察下列各式:

…,用n（自然数）把这个规律表示出来.

11.观察下列等式9-1=８,16—4＝12,25-9＝16,36－16＝２０,……

　　这些等式反映出自然数间得什么规律呢?

设n表示自然数,请用含有n得等式表示出来。

12 计算:

1+2－３-4＋５＋6－7－８+9+10－１1－12+…＋１993＋１９94—1995－１9９6＋1997、

二、图形规律类:

1３、一质点Ｐ从距原点1个单位得Ａ点处向原点方向跳动,第一次跳动到OＡ得中点处,第二次从点跳动到O得中点处,第三次从点跳动到Ｏ得中点处,如此不断跳动下去,则第n次跳动后,该质点到原点O得距离为　　　　　　　。

14、如下图就是小明用火柴搭得１条、２条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴　根。

……

１5、观察下列球得排列规律（其中●就是实心球,○就是空心球）:

　●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…………

从第1个球起到第２005个球止,共有实心球　　个.

16、如图,在图１中,互不重叠得三角形共有４个,在图2中,互不重叠得三角形共有7个,在图3中,互不重叠得三角形共有10个,……,则在第个图形中,互不重叠得三角形共有　个（用含得代数式表示）、

17、已知一个面积为S得等边三角形,现将其各边n（ｎ为大于2得整数）等分,并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）、

（1）当ｎ=　５时,共向外作出了　　　　个小等边三角形

（2）当n=k时,共向外作出了　　　　　　个小等边三角形（用含k得式子表示）、

18、观察图形,并完成下列表格:

序号

1

２

３

…

n

图形

…

（此空不填）

得　个数

8

２4

…

　得个数

1

4

…

１9。

研究下列等式,您会发现什么规律？

１×３+1=4=２2

2×4+1=９=32

３×５+1=１6=42

4×6+1=25=52

…

设n为正整数,请用n表示出规律性得公式来、

2０。

探索规律　可写成　,　可写成

　　　　可写成,可写成

（1）把这个规律用含有n得式子写出来;

（2）计算95２.

21.观察:

…

计算:

.

　２２.如图用黑白两种颜色得正六边形地面砖按如下所示得规律,拼成若干个图案:

　（１）第4个图案中有白色地面砖__________块;

（2）第n个图案中有白色地面砖_____＿_＿__块.

24（岳阳０4）.观察:

…………

计算:

＝　。

二,探索图形规律

25（浙江湖州05）、观察下面图形我们可以发现:

第1个图中有1个正方形,第2个图中共有5个正方形,第3个图中共有14个正方形,按照这种规律下去得第5个图形共有＿_＿_____个正方形、

26:

（05山东泉州）下图就是某同学在沙滩上用石于摆成得小房子.

观察图形得变化规律,写出第n个小房子用了　　　　　　块石子、

27、探索题:

如下图在一些大小相等得正方形内分别排列着一些等圆、

　　　　　　　　　　　　　　　˙˙˙

（1）　　　　（２）　　　　　（３）

请观察上图并填写下表

图形编号

（1）

（２）

（3）

（4）

（5）

（6）

圆得个数

您能试着表示出第n个正方形中圆得个数吗？

用您发现得规律计算出第2008个图形中有多少个圆.

２８电话费与通话时间之间得关系如下表:

通话时间x（分）

电话费y（元）

1

０.3+0。

6

２

0.6+0。

６

3

0、9+0.６

4

１。

2+０.6

５

１、５+０、６

（1）写出用通话时间x表示电话费y得公式:

_______＿_。

（２）并用您所列得公式求当通话时间x=1０0分钟时得费用:

_＿______＿_、

（3）小明家四月份电话费就是96。

6元,那么她家一共打了多长时间得电话:

______＿___。

探索找规律习题集及中考题集

如图,都就是由若干盆花组成得形如三角形得图案,则组成第个图案所需花盆得总数就是____＿＿_＿__________＿.　

　　　　　　　　　　　　　　　　　＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　＊　　　　　　　　*　*

　　　　　　　　＊　　　　　　＊*　　　　　*＊＊

＊　　*　　　　＊　　　*＊　　　＊　＊*　　*

２、观察正方形图案,每条边上有个圆点,每个图案中圆点总数式,按此推断与得关系式为　　　

3。

下面由火柴棒拼出得一列图形中,第个图形由个正方形组成,通过观察可以发现:

（1）第４个图形中火柴棒得根数就是