初中几何反证法专题.docx
《初中几何反证法专题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中几何反证法专题.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初中几何反证法专题
初中几何反证法专题
学习要求
停了解反证法的意义，懂得什么是反证法。
®理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。
知识讲解
证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推岀命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提升推理论证的水平、探索新知识的水平都是非常必要的。
下而我们对反证法作一个简单介绍。
1.反证法的概念：
不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而
证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2.反证法的基本思路：
首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假左条件下实行一系列的准确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否左原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知立理、公理和定义相矛盾，还能够是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还能够是从两个不同角度实行推理所得岀的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。
3.反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立：
（2）从这个假设岀发，经过推理论证得出矛盾：
（3）由矛盾判定假设不准确，从而肯左命题的结论准确。
简来说之就是“反设-归谬一结论"三步曲。
相平分。
证明：
假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB.CD均非OO直径,可判泄M不是圆心0,连结OA、OB.0NL
VOA=OB,M是AB中点
.・.OM丄AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）
同理可得：
OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM
这与已知的泄理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2.已知：
在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
丄
且MN=2（AD+BC）o
求证：
AD〃BC
证明：
假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。
在AABD中
VBM=MA,BP=PD
丄1_
AMP=2AD,同理可证PN^2BC
1_
从而MP+PN=2（AD+BC）①
这时，BD的中点不在MN上
若不然，则由MN〃AD,MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾,于是M、P、N三点不共线。
从而MP+PN>MN②
丄丄
由①、②得2（AD+BC）>MN,这与已知条件MN=2（AD+BC）相矛盾，
故假设AD*BC不成立，所以AD〃BC。
课堂练习
1.求证：
三角形中至少有一个角不大于60。
。
2.求证：
一直线的垂线与斜线必相交。
已知：
设m,n分别为直线I的垂线和斜线（如图），垂足为A,斜足为B
求证：
m和n必相交。
3.在ZiABC中，AD丄BC于D,BE丄AC于E,AD与BE相交于H,求证：
AD与
BE不能被点H互相平分。
4.求证：
直线与圆最多只有两个交点。
5.求证：
等腰三角形的底角必为锐角。
已知：
AABC中.AB=AC
求证：
ZB、ZC必为锐角。
1.证明：
假设AABC中的ZA.ZB、ZC都大于60。
则ZA+ZB+ZO3x60°=180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60%
2•证明：
假设m和n不相交则
m〃n
Vm±1An丄1
这与n是1的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3.证明：
假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。
・・.AE〃BD,即AC〃BC
这与AC、BC相交于C点矛盾，
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。
4.证明：
假设一直线1与OO有三个不同的交点A、B、C,
M、N分别是弦AB、BC的中点。
VOA=OB=OC
・••在等腰AOAB和AOBC中
OM丄AB,ON丄BC
从而过O点有两条直线都垂直于1,这是不可能的，故假设不能成立。
所以宜线与圆最多只有两个交点。
5.证明：
假设ZB、ZC不是锐角，
则可能有两种情况：
（1）ZB=ZC=90°
（2）ZB=ZC>90°
若ZB=ZC=90°,则ZA+ZB+ZC>180。
这与三角形内角和泄理矛盾。
若ZB=ZC>90°,贝ijZA+ZB+ZC>180。
，
这与三角形内角和泄理矛盾。
所以假设不能成立。
故ZB、ZC必为锐角。
本讲小结
对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并使用好这种方法，对思维水平的提升大有裨益。
亦所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反而入手,实行准确的逻借推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得岀结论的反而不成立，于是原结论成立。
和反证法证题的一般步骤是：
（1）反设：
将结论的反而作为假设：
（2）归谬：
由“反设“出发，利用已学过的公理、泄理，推出与已知矛盾的结果；
（3）结论：
由推岀的矛盾判断“反设”错误，从而肯立命题的结论正确。
使用“反证法“的关键：
反证法的主要手段是从求证的结论的反而出发，导岀矛盾的结果,
所以，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。
*“反证法“宜用于证明否沱性命题、唯一性命题、“至少““至多“
命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反“凡是直接法很难证明的
命题都可考虑用反证法。
课后作业
1.求证：
在平而上，不存有这样的凸四边形ABCD,使厶ABC、ABCD.
△CDA、ADAB都是锐角三角形。
2.在AABC中，AB=AC,P是内部一点且ZAPB>ZAPC,求证：
PBVPC。
4.求证：
在AABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E,连结AD、
BE,则AD和BE必泄不能互相平分。
5.已知AABC为不等边三角形，AD丄BC于D点，求证：
D点到AB、AC边的
距离必不相等。
参考答案:
1.证明：
假设存有凸四边形ABCD,
使/XABC、ABCD>ACDA>ADAB都是锐角三角形。
则ZA+ZB+ZC+ZD<360°。
这与四边形ABCD中
ZA+ZB+ZC+ZD=360°矛盾。
故假设不能成立，所以原命题成立。
2.证明：
假设PB«PC,即PB>PC或PB=PC
⑴当PB>PC时（如图）
在APBC中，可得ZPBC
VAB=AC
AZABC=ZACB,从而ZABP>ZACP①
在Z\BAP与ZXCAP中
•・・AB=AC,AP=AP,PB>PC
AZBAP>ZCAP②
由①©和三角形内角和定理，可得ZAPBZAPC相矛盾。
A
⑵当PB=PC时，在AAPB与Z\APC中
VAP=AP,BP=CP,AB=AC
AAABP^AACP,AZAPB=ZAPC这与已知ZAPB>ZAPC相矛盾，由⑴⑵可知假设PB《PC不成立。
故PB>PCo
3.证明：
不妨设三角形的三个内角为ZA、ZB、ZC假设ZA、ZB、ZC中设有一个大于或等于60°,则它们都小于60°o
即ZA<60°、ZB<60°、ZC<60°
r.ZA+ZB+ZC<180°这与三角形内角和定理矛盾,这说明假设不成立。
故ZA、ZB、ZC中至少有一个大于或等于60°。
4.证明：
假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。
所以AE〃EB,即AC/7BC
这与AC与BC相交于C点矛盾，
故假设AD与BE互相平分不能成立。
所以AD和BE必定不能互相平分。
5.证明：
作BE丄AB于E,DF丄AC于F
假设DE=DF，则Z1=Z2
VAD±BC
・•・ZB=90°一Z1
ZC=90°—Z2
・•・ZB=ZC
・•・AB=AC这与AABC为不等边三角形矛盾。
故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。
升级会员 