无穷级数习题及解答doc.docx

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无穷级数习题及解答doc

第十一章无穷级数

§级数的概念、性质

一、单项选择题

1.若级数

a

n1qn

收敛（a为常数），则

q满足条件是

（

）．

（A）q1；

（B）q

1；

（C）q1；

（D）q1．

答（D）．

2.下列结论正确的是（）．

（A）

若limun0，则

un收敛；（B）若lim（un1

un）

0，则

un

收敛；

n

n1

n

n

1

（C）若

un

收敛，则limun

0；（D）若

un

发散，则limun

0.

答（C）．

n1

n

n

1

n

3.若级数

un

与

vn

分别收敛于S1,S2，则下述结论中不成立的是

（

）．

n

1

n

1

（A）

（un

vn）

S1

S2；

（B）

kun

kS1；

n

1

n

1

（C）

kvn

kS2；

（D）

un

S1

．

答（D）.

n

1

n

1vn

S2

4.若级数

un

收敛，其和S

0

，则下述结论成立的是

（

）．

n

1

（A）

（un

S）收敛；

（B）

1收敛；

n

1

n1un

（C）

un

1收敛；

（D）

un

收敛.

答（C）.

n

1

n

1

5.若级数

an

收敛，其和S

0

，则级数

（an

an

1

an2）收敛于（

）．

n

1

n1

（A）

S

a1

；

（B）

S

a2；（C）Sa1

a2；

（D）

S

a2

a1．答（B）.

6.若级数

an发散，

bn收敛则（

）．

n

1

n1

（A）（an

bn）发散；

（B）（an

bn）可能发散，也可能收敛；

n1

n1

（C）anbn发散；

（D）（an2

bn2）发散.

答（A）

.

n1

n1

二、填空题

1.

设a

1

，则

（

a）n

.

答：

1

.

n0

1

a

2.

级数

（ln3）n

的和为

．

答：

2

2n

1

.

n0

ln3

3.

级数

（

n

2

2n

1

n），其和是

．

答：

1

2.

n0

4.数项级数

1

的和为

.答：

1

.

n1（2n

1）（2n

1）

2

5*.

级数

2n

1

的和为

.

答：

3.

n0

2n

三、简答题

1．判定下列级数的敛散性

（1）

8

82

83

L

（1）

8n

答：

收敛.

9

2

9

3

9

nL

9

解：

1

1

1

L

1

答：

发散.

（2）

6

9

L

3

3n

解：

1

1

1

L

1

L

答：

发散.

（3）

3

33

n3

3

解：

3

32

33

L

3n

L

答：

发散.

（4）

22

23

2n

2

解：

1

1

1

1

1

1

1

1

L答：

收敛.

（5）

3

22

32

23

33

L

3n

2

2n

解：

§正项级数收敛判别法、P—级数

一、单项选择题

1.级数

un

与

vn

满足0

un

vn,（n

1,2,L），则（

）．

n1

n1

（A）若

vn发散,则

un发散；（B）若

un

收敛,则

vn

收敛；

n1

n

1

n

1

n1

（C）若

un收敛,则

vn发散；

（D）若

un

发散，则

vn发散.

答（D）.

n1

n

1

n

1

n

1

2.若0

an

1,

（n

1,2,L），则下列级数中肯定收敛的是

（）．

n

（A）

an

；

（B）

（an

1an）；

n

1

n

1

（C）

an2

；

（D）

an

．

答（C）.

n

1

n

1

3.设级数

（1）

2n

nn!

与

（2）

3nnn!

，则（

）．

n

1n

n

1

n

（A）级数

（1）、

（2）都收敛；

（B）

级数

（1）、

（2）都发散；

（C）级数

（1）收敛，级数

（2）发散；

（D）

级数

（1）发散，级数

（2）收敛．

答（C）.

4.设级数

（1）

1

与

（2）

10n

则（

）.

n1

nn

n

1

n!

（A）级数

（1）、

（2）都收敛；

（B）

级数

（1）、

（2）都发散；

（C）级数

（1）收敛,级数

（2）发散；

（D）

级数

（1）发散,级数

（2）收敛．

答（D）.

5.下列级数中收敛的是（）．

（A）

n

1；

（B）

sin1

；

n1n（n

2）

n1

n

（C）

（1）n

n

；

（D）

1

．

答（A）.

n1

3n

1

n12n

1

1

2

1

6*.

若级数

，则级数

（

）.

n1n2

6

n1（2n

1）2

2

2

2

2

（A）

;

（B）

;

（C）

;

（D）.

答（B）.

4

8

12

16

7.

设

un

与

vn

均为正项级数,若lim

un

1，则下列结论成立的是

（）.

n

1

n1

n

vn

（A）

un

收敛,

vn

发散；

（B）

un

发散,

vn收敛；

n1

n

1

n

1

n1

（C）

un与

vn都收敛,或

un与

vn都发散.

（D）不能判别.

答（C）.

n1

n

1

n1

n

1

8.

设正项级数

un收敛，则（

）.

n

1

（A）极限lim

un1

1

；

（B）

极限limun1

1

；

n

un

n

un

（C）极限lim

nun

1；

（D）无法判定.

答（A）

n

9.用比值法或根值法判定级数

un发散，则

un（

）.

n1

n1

（A）可能发散；

（B）一定发散；

（C）可能收敛；

（D）不能判定.

答（B）

二、填空题

1.正项级数

un收敛的充分必要条件是部分和

Sn

.答：

有上界.

n1

2.

设级数

2n1收敛，则

的范围是

.

n1

n

3.

级数

un的部分和Sn

2n

，则un

.

n1

n1

4.

级数

2n

1是收敛还是发散

.

n0

2n

3

答：

．

2

2

答：

.

n（n1）

答：

收敛.

5.

若级数

1

收敛，则p的范围是

.

答：

p0.

n1n

psin

n

6.

级数

3nn!

是收敛还是发散

.

答：

发散.

n1

nn

三、简答题

1.用比较法判定下列级数的敛散性：

（1）

1

n

；

答：

发散.

（2）

1

；

答：

收敛.

n11

n2

n1（n1）（n

2）

（3）

sinn；

答：

收敛.（4）

1

n（a0）.答a

1收敛;a

1发散.

a

n1

2

n11

2.用比值法判定下列级数的敛散性：

（1）

3n

；

答：

发散.

（2）

n2

；

答：

收敛.

n1n2n

n13n

解：

（3）

2n

nn!

；

答：

收敛.（4）

ntan

n1．

答：

收敛.

n1

n

n1

2

解：

3.用根值法判定下列级数的敛散性：

（1）

n1

解：

（3）

n1

n

n

1

；

答：

收敛.

（2）

；

答：

收敛.

2n1

n1[ln（n1）]n

解：

2n1

n

；答：

收敛.

3n1

解：

b

n

（4）

其中an

a,（n

），an,b,a均为正数．

an

n1

答：

当b

a时收敛，当ba时发散，当ba时不能判断．

§一般项级数收敛判别法

一、单项选择题

1.级数

un

与

vn

满足

un

vn

（

n

1,2,L）

则（

）．

n1

n1

（A）若vn

收敛,则

un

发散；

（B）

若

un

发散,则

vn

发散；

n1

n1

n1

n1

（C）若un

收敛,则

vn

发散；

（D）

若

vn

收敛,则

un

未必收敛．答

（D）

.

2.下列结论正确的是（）．

（A）un收敛，必条件收敛；

（B）un

收敛，必绝对收敛；

n1

n1

（C）un

发散，则

un

必条件收敛；

n1

n1

（D）un

收敛，则

un

收敛．

答（D）

.

n1

n1

2.下列级数中，绝对收敛的是（）．

（A）

（1）n

n

;

（B）

（1）n1

1

；

n1

3n

1

n

1

n2

（C）

（1）n

1

1

；

（D）

（1）n

11．

答（B）.

n1

ln（n

1）

n

1

n

3.下列级数中，条件收敛的是（

）．

n

n

2

（A）

（1）n

1

；

（B）

（1）n1

；

n1

2n3

1

n1

3

（C）

（1）n1

1

；

（D）

（

1）n1

1

．

答（A）.

n1

n2

n1

n2n

4.设

为常数，则级数

sinn

1

（

）.

n2

n

n1

（A）

绝对收敛；

（B）

条件收敛；

（C）

发散；

（D）

敛散性与

的取值有关．

答（C）.

5.设an

cosn

ln（1

1

）（n

1,2,3,

），则级数（

）.

n

（A）

an

与

an2

都收敛.

（B）

an与

an2

都发散.

n1

n1

n

1

n1

（C）

an

收敛，

an2发散.

（D）

an发散，

an2

收敛.

答（C）.

n1

n1

n1

n1

6.设0

an

1

（n

1,2,3,

）,则下列级数中肯定收敛的是

（）.

n

（A）

an

.

（B）

（1）nan.（C）

an.

（D）

an2lnn.

答（D）.

n1

n

1

n

2lnn

n2

7.下列命题中正确的是

（

）.

（A）

若

un2与

vn2都收敛,则

（un

vn）2收敛.

n1

n

1

n1

（B）若

unvn收敛,则

un2与

vn2都收敛.

n1

n1

n1

（C）

un

发散,则un

1

若正项级数

.

n

1

n

（D）若un

vn

（n

1,2,3,

）,且

un

发散,则

vn

发散.

答（A）

.

n1

n1

二、填空题

1.级数

（1）n1

的取值范围是

．

答：

1.

绝对收敛，则

n1

n

2.

级数

1

sinn条件收敛，则

的取值范围是

．

答：

01.

n1n

2

3.

级数

an2

收敛，则

（1）nan

是条件收敛还是绝对收敛

．

n0

n0

n

答：

绝对收敛.

三、简答题

1.判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛

（1）

（1）n11；

n1

n

解：

（2）

（1）n1n

；

n1

3n

1

解：

sinn

（3）n1（n1）2；

解：

（4）

（1）n11

；

n1

32n

解：

（5）

（1）n1

1

；

n1

ln（n

1）

解：

（6）

n12n2

（1）

n1

n!

答：

条件收敛.

答：

绝对收敛.

答：

绝对收敛.

答：

绝对收敛.

答：

条件收敛.

答：

发散.

解：

§幂级数收敛判别法

一、单项选择题

1.幂级数

xn

的收敛区间是（

）．

n

1n

（A）

[1,1]；

（B）

（

1,1）；

（C）[1,1）；（D）

（

1,1]．

答（C）.

2.幂级数

（1）n（x

1）n

的收敛区间是（

）．

n

1

n

2n

（A）

[2,2]；

（B）

（

2,2）；

（C）[

2,2）；（D）

（

2,2]

．答（D）.

3.幂级数

x

2n

的收敛半径是（

）.

1n2

3n

n

（A）

R3；

（B）

R

3；

（C）R

1

（D）

1

答（B）.

；

R

．

3

3

（A）

（C）

（B）

（D）

4.若级数

Cn（x

2）n在x

4处是收敛的，则此级数在

x1

处（

）.

n

1

（A）

发散；（B）条件收敛；

（C）绝对收敛；

（D）收敛性不能确定．

答（C）.

5.若级数

Cn（x

2）n在x

4处是收敛的，则此级数在

x

1处（

）.

n

1

（A）

发散；

（B）条件收敛；

（C）绝对收敛；

（D）收敛性不能确定．

答（D）.

6．若幂级数

an（x

1）n在x

1处条件收敛，则级数

an（

）.

n0

n0

（A）

条件收敛；

（B）绝对收敛；

（C）发散；

（D）敛散性不能确定

.答（B）.

二、填空题

1.

幂级数

xn的收敛域是

．

答：

[1,1].

n1

n2

2.

幂级数

2n

3n

n

的收敛域是

．

答：

1

1

n

n

2

x

3

.

n1

3

3.

幂级数

（1）n1x2n1

的收敛半径R

，和