苏教版九年级数学上册13 一元二次方程的根与系数的关系 练习题含答案.docx
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苏教版九年级数学上册13一元二次方程的根与系数的关系练习题含答案
1.3一元二次方程的根与系数的关系
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共20题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020•启东市一模)已知x1,x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个根,则x1+x2﹣x1x2的值为( )
A.1B.2C.3D.4
2.(2019•崇川区校级二模)已知x1,x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根,下列结论正确的是( )
A.x1+x2
B.x1•x2=1
C.x1,x2都是有理数D.x1,x2都是无理数
3.(2019•如皋市一模)已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是( )
A.x1+x2>0B.x1≠x2C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
4.(2019秋•秦淮区期末)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=3,则方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解为( )
A.x1=0,x2=2B.x1=﹣2,x2=4C.x1=0,x2=4D.x1=﹣2,x2=2
5.(2019秋•仪征市期末)若a,b(a<b)是方程(x﹣m)(n﹣x)=2(m<n)的两根,则实数a,b,m,n的大小关系是( )
A.m<a<b<nB.a<m<b<nC.a<m<n<bD.a<b<m<n
6.(2019秋•兴化市期末)已知一元二次方程p2
p﹣3=0,q2
q﹣3=0(q≠p),则p+q的值为( )
A.
B.
C.﹣3D.3
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
7.(2020春•崇川区期末)若方程x2﹣3x+2=0的两根是α、β,则α+αβ+β= .
8.(2020春•如东县期末)已知m、n是方程x2﹣2x﹣5=0的两个根,那么m2+mn+2n= .
9.(2019秋•建邺区期末)若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣6x+3=0的两个根,则长方形的周长是 .
10.(2019秋•梁溪区期末)请写出“两个根分别是2,﹣2”的一个一元二次方程:
.
11.(2020•玄武区一模)设x1、x2是方程x2
x﹣1=0的两个根,则x12x2+x1x22= .
12.(2020•玄武区模拟)设x1,x2是一元二次方程x2+2x+m=0的两个根,且x1+x2=x1x2﹣1,则m= .
13.(2020•南通模拟)已知a,b是一元二次方程x2+x﹣1=0的两根,则3a2﹣b
的值是 .
14.(2020•兴化市模拟)设m、n是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共58分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(2019•海陵区二模)已知关于x的一元二次方程2x2+(m﹣2)x﹣m=0.
(1)求证:
不论m取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根互为相反数,求m的值.
16.(2020•灌南县一模)已知关于x的方程x2+kx+k﹣5=0.
(1)求证:
不论k取何实数,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的一个根为x=3,求该方程的另一个根.
17.(2020春•如东县期末)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣1)x+k﹣2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若这个方程的两根为x1,x2,且满足x12﹣3x1x2+x22=1,求k的值.
18.(2019秋•姜堰区期末)已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)当AB=3时,求▱ABCD的周长.
19.(2019秋•海陵区校级期末)已知:
关于x的方程x2﹣(m+1)x+m2﹣1=0,根据下列条件求m的值.
(1)方程有一个根为1;
(2)方程两个实数根的和与积相等.
20.(2020•仪征市一模)定义:
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根均为整数,称该方程为“全整方程”,规定T(a,b,c)
为该“全整方程”的“全整数”.
(1)判断方程
x2
x﹣1=0是否为“全整方程”,若是,求出该方程的“全整数”,若不是,请说明理由;
(2)若关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2﹣4m﹣5=0(其中m为整数,且满足5<m<22)是“全整方程”,求其“全整数”.
答案解析
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020•启东市一模)已知x1,x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个根,则x1+x2﹣x1x2的值为( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据韦达定理得出x1+x2=﹣1,x1x2=﹣3,代入计算可得.
【解析】∵x1,x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两个根,
∴x1+x2=﹣1,x1x2=﹣3,
则原式=﹣1﹣(﹣3)=﹣1+3=2,
故选:
B.
2.(2019•崇川区校级二模)已知x1,x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根,下列结论正确的是( )
A.x1+x2
B.x1•x2=1
C.x1,x2都是有理数D.x1,x2都是无理数
【分析】利用根与系数的关系对A、B进行判断;根据根的判别式对C、D进行判断.
【解析】x1+x2
,x1x2
,所以A、B选项错误,
因为△=(﹣3)2﹣4×2×1=1,
所以x1,x2都是有理数,则C选项正确,D选项错误.
故选:
C.
3.(2019•如皋市一模)已知x1,x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3=0的两个根,下面结论一定正确的是( )
A.x1+x2>0B.x1≠x2C.x1•x2>0D.x1<0,x2<0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=a2+4>0,进而可得出x1≠x2,此题得解.
【解析】∵△=(﹣m)2﹣4×1×(﹣3)=m2+12>0,
∴方程x2﹣mx﹣3=0有两个不相等的实数根,
∴x1≠x2.
故选:
B.
4.(2019秋•秦淮区期末)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=3,则方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0的解为( )
A.x1=0,x2=2B.x1=﹣2,x2=4C.x1=0,x2=4D.x1=﹣2,x2=2
【分析】把方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0看作关于x﹣1的一元二次方程,则x﹣1=﹣1或x﹣1=3,然后解一元一次方程.
【解析】把方程a(x﹣1)2+b(x﹣1)+c=0看作关于x﹣1的一元二次方程,
而关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=3,
所以x﹣1=﹣1或x﹣1=3,
所以x1=0,x2=4.
故选:
C.
5.(2019秋•仪征市期末)若a,b(a<b)是方程(x﹣m)(n﹣x)=2(m<n)的两根,则实数a,b,m,n的大小关系是( )
A.m<a<b<nB.a<m<b<nC.a<m<n<bD.a<b<m<n
【分析】把a,b(a<b)是方程(x﹣m)(n﹣x)=2(m<n)的两根看作抛物线y=(x﹣m)(x﹣n)与直线y=﹣2的交点的横坐标,然后画出导致的函数图象,从而得到实数a,b,m,n的大小关系.
【解析】方程变形为(x﹣m)(x﹣n)=﹣2,
把a,b(a<b)是方程(x﹣m)(n﹣x)=2(m<n)的两根看作抛物线y=(x﹣m)(x﹣n)与直线y=﹣2的交点的横坐标,
而抛物线y=(x﹣m)(x﹣n)与x轴的交点的横坐标分别为m、n,如图,
所以m<a<b<n.
故选:
A.
6.(2019秋•兴化市期末)已知一元二次方程p2
p﹣3=0,q2
q﹣3=0(q≠p),则p+q的值为( )
A.
B.
C.﹣3D.3
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解析】由题意可知:
p、q是方程x2
x﹣3=0的两根,
∴p+q
,
故选:
B.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
7.(2020春•崇川区期末)若方程x2﹣3x+2=0的两根是α、β,则α+αβ+β= 5 .
【分析】利用根与系数的关系可得出α+β=3,αβ=2,将其代入α+αβ+β中即可求出结论.
【解析】∵方程x2﹣3x+2=0的两根是α、β,
∴α+β=3,αβ=2,
∴α+αβ+β=α+β+αβ=3+2=5.
故答案为:
5.
8.(2020春•如东县期末)已知m、n是方程x2﹣2x﹣5=0的两个根,那么m2+mn+2n= 4 .
【分析】根据根与系数的关系得出m+n=2,mn=﹣5,根据m2﹣2m﹣5=0求出m2=5+2m,代入即可.
【解析】∵m、n是方程x2﹣2x﹣5=0的两个根,
∴m+n=2,mn=﹣5,m2﹣2m﹣5=0,
∴m2=2m+5,
∴m2+mn+2n
=2m+5+mn+2n
=﹣5+2×2+5
=4.
故答案为:
4.
9.(2019秋•建邺区期末)若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣6x+3=0的两个根,则长方形的周长是 6 .
【分析】设长方形的长和宽分别a、b,则利用根与系数的关系得到a+b=3,从而得到长方形的周长.
【解析】设长方形的长和宽分别a、b,
因为a、b关于x的方程2x2﹣6x+3=0的两个根,
所以a+b
3,
所以长方形的周长=2(a+b)=2×3=6.
故答案为6.
10.(2019秋•梁溪区期末)请写出“两个根分别是2,﹣2”的一个一元二次方程:
x2﹣4=0 .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【解析】∵一个一元二次方程的两个根分别为2,﹣2,
∴这个一元二次方程为:
(x﹣2)(x+2)=0,
即这个一元二次方程为:
x2﹣4=0.
故答案为:
x2﹣4=0.
11.(2020•玄武区一模)设x1、x2是方程x2
x﹣1=0的两个根,则x12x2+x1x22=
.
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2
,x1x2=﹣1,将其代入x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)中即可求出结论.
【解析】∵x1、x2是方程x2
x﹣1=0的两个根,
∴x1+x2
,x1x2=﹣1,
∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=﹣1
.
故答案为:
.
12.(2020•玄武区模拟)设x1,x2是一元二次方程x2+2x+m=0的两个根,且x1+x2=x1x2﹣1,则m= ﹣1 .
【分析】由根与系数的关系可得x1+x2=﹣2,x1x2=m,代入x1+x2=x1x2﹣1,即可求出m的值.
【解析】∵x1,x2是一元二次方程x2+2x+m=0的两个根,
∵x1+x2=﹣2,x1x2=m,
∵x1+x2=x1x2﹣1,
∴﹣2=m﹣1,
解得m=﹣1.
故答案为:
﹣1.
13.(2020•南通模拟)已知a,b是一元二次方程x2+x﹣1=0的两根,则3a2﹣b
的值是 8 .
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.
【解析】由题意可知:
a+b=﹣1,ab=﹣1,
a2+a=1,
∴原式=3(1﹣a)﹣b
=3﹣3a﹣b
=3﹣2a﹣(a+b)
=3﹣2a+1
=4﹣2a
=4
=4
=4+4
=8,
故答案为:
8.
14.(2020•兴化市模拟)设m、n是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 2019 .
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2020=0的两个实数根,根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1,并且m2+m﹣2020=0,然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n,把前面的值代入即可求出结果
【解析】∵m、n是方程x2+x﹣20200的两个实数根,
∴m+n=﹣1,
并且m2+m﹣2020=0,
∴m2+m=2020,
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2020﹣1=2019.
故答案为:
2019
三、解答题(本大题共6小题,共58分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(2019•海陵区二模)已知关于x的一元二次方程2x2+(m﹣2)x﹣m=0.
(1)求证:
不论m取何值,方程总有实数根;
(2)若该方程的两根互为相反数,求m的值.
【分析】
(1)表示出根的判别式,判断值大于等于0,即可得证;
(2)根据题意表示出两个之和,令其中为0,求出m的值即可.
【解析】
(1)∵△=(m﹣2)2+8m=(m+2)2≥0,
∴方程总有实数根;
(2)由题得:
m﹣2=0,
解得:
m=2.
16.(2020•灌南县一模)已知关于x的方程x2+kx+k﹣5=0.
(1)求证:
不论k取何实数,该方程都有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的一个根为x=3,求该方程的另一个根.
【分析】
(1)根据根的判别式即可求出答案.
(2)将x=3代入原方程即可求出k的值,代入原方程即可得到结论.
【解析】
(1)b2﹣4ac=k2﹣4(k﹣5)
=k2﹣4k+20=(k﹣2)2+16
∵(k﹣2)2≥0,
∴(k﹣2)2+16>0,
即b2﹣4ac>0.
∴不论k取何值,方程必有两个不相等的实数根.
(2)将x=3代入原方程得9+3k+k﹣5=0,
解得:
k=﹣1,
设该方程的另一个根为x1,
∴3x1=﹣6,
∴x1=﹣2,
∴该方程的另一个根为﹣2.
17.(2020春•如东县期末)已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣1)x+k﹣2=0.
(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)若这个方程的两根为x1,x2,且满足x12﹣3x1x2+x22=1,求k的值.
【分析】
(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根,得出△=b2﹣4ac的值大于等于0,建立关于k的不等式,解不等式即可求出k的取值范围;
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=1﹣k,x1x2=k﹣2,再将它们代入x12﹣3x1x2+x22=1,即可求出k的值.
【解析】
(1)△=(k﹣1)2﹣4(k﹣2)=(k﹣3)2,
∵(k﹣3)2≥0,
∴△≥0,
∴此方程总有两个实数根.
(2)由根与系数关系得x1+x2=1﹣k,x1x2=k﹣2,
∵x12﹣3x1x2+x22=1,
∴(x1+x2)2﹣5x1x2=1,
∴(1﹣k)2﹣5(k﹣2)=1,
解得k1=2,k2=5.
由
(1)得无论k取何值方程总有两个实数根,
∴k的值为2或5.
18.(2019秋•姜堰区期末)已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两个实数根.
(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?
(2)当AB=3时,求▱ABCD的周长.
【分析】
(1)由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根,据此利用根的判别式求解可得;
(2)由AB=3知方程的一个解为3,代入方程求出m的值,从而还原方程,再利用根与系数的关系得出AB+AD的值,从而得出答案.
【解析】
(1)若四边形ABCD是菱形,则AB=AD,
所以方程有两个相等的实数根,
则△=(﹣m)2﹣4×1×12=0,
解得m=±4
;
(2)∵AB=3,
∴9﹣3m+12=0,
解得m=7,
∴方程为x2﹣7x+12=0,
则AB+AD=7,
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=14.
19.(2019秋•海陵区校级期末)已知:
关于x的方程x2﹣(m+1)x+m2﹣1=0,根据下列条件求m的值.
(1)方程有一个根为1;
(2)方程两个实数根的和与积相等.
【分析】
(1)根据一元二次方程的解的定义把x=1定义方程得到关于m的一元二次方程,然后解此方程即可得到m的值;
(2)根据根与系数的关系得到关于m的一元二次方程,然后解此方程即可得到m的值.
【解析】
(1)依题意有1﹣(m+1)+m2﹣1=0,
m2﹣m﹣1=0,
解得m
;
(2)依题意有m+1=m2﹣1,
m2﹣m﹣2=0,
解得m=﹣1或2,
当m=2时△<0,方程无实数根,故m=﹣1.
20.(2020•仪征市一模)定义:
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根均为整数,称该方程为“全整方程”,规定T(a,b,c)
为该“全整方程”的“全整数”.
(1)判断方程
x2
x﹣1=0是否为“全整方程”,若是,求出该方程的“全整数”,若不是,请说明理由;
(2)若关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2﹣4m﹣5=0(其中m为整数,且满足5<m<22)是“全整方程”,求其“全整数”.
【分析】
(1)解出方程
x2
x﹣1=0,即可得出结论;
(2)先求出b2﹣4ac=4m+29,再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数,即可得出结论.
【解答】解
(1)是,理由:
∵解方程
x2
x﹣1=0得x1=﹣1,x2=3,
∴两个根均为整数,满足定义,
∴方程为“全整方程”,
∴T(a,b,c)
;
(2)∵一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2﹣4m﹣5=0,
∴b2﹣4ac=4m+29,
∵5<m<22,
即:
49<4m+29<117,
∵关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2﹣4m﹣5=0是“全整方程”,
∴b2﹣4ac是完全平方数,
即4m+29是完全平方数,
∴4m+29=64或81或100,
∵m为整数,
∴m
(舍去),m=13,m
(舍去),
即原方程为x2﹣23x+112=0,
∴T(a,b,c)
.