苏教版九年级数学上册13 一元二次方程的根与系数的关系 练习题含答案.docx

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苏教版九年级数学上册13一元二次方程的根与系数的关系练习题含答案

1.3一元二次方程的根与系数的关系

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•启东市一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．（2019•崇川区校级二模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，下列结论正确的是（　　）

A．x1+x2

B．x1•x2＝1

C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是无理数

3．（2019•如皋市一模）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（　　）

A．x1+x2＞0B．x1≠x2C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0

4．（2019秋•秦淮区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为（　　）

A．x1＝0，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝0，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝2

5．（2019秋•仪征市期末）若a，b（a＜b）是方程（x﹣m）（n﹣x）＝2（m＜n）的两根，则实数a，b，m，n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜b＜nC．a＜m＜n＜bD．a＜b＜m＜n

6．（2019秋•兴化市期末）已知一元二次方程p2

p﹣3＝0，q2

q﹣3＝0（q≠p），则p+q的值为（　　）

A．

B．

C．﹣3D．3

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7．（2020春•崇川区期末）若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　　．

8．（2020春•如东县期末）已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝　　．

9．（2019秋•建邺区期末）若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则长方形的周长是　　．

10．（2019秋•梁溪区期末）请写出“两个根分别是2，﹣2”的一个一元二次方程：

　　．

11．（2020•玄武区一模）设x1、x2是方程x2

x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝　　．

12．（2020•玄武区模拟）设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，则m＝　　．

13．（2020•南通模拟）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b

的值是　　．

14．（2020•兴化市模拟）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　　．

三、解答题（本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（2019•海陵区二模）已知关于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．

（1）求证：

不论m取何值，方程总有实数根；

（2）若该方程的两根互为相反数，求m的值．

16．（2020•灌南县一模）已知关于x的方程x2+kx+k﹣5＝0．

（1）求证：

不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为x＝3，求该方程的另一个根．

17．（2020春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若这个方程的两根为x1，x2，且满足x12﹣3x1x2+x22＝1，求k的值．

18．（2019秋•姜堰区期末）已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+12＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）当AB＝3时，求▱ABCD的周长．

19．（2019秋•海陵区校级期末）已知：

关于x的方程x2﹣（m+1）x+m2﹣1＝0，根据下列条件求m的值．

（1）方程有一个根为1；

（2）方程两个实数根的和与积相等．

20．（2020•仪征市一模）定义：

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）

为该“全整方程”的“全整数”．

（1）判断方程

x2

x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；

（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．

答案解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•启东市一模）已知x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据韦达定理得出x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，代入计算可得．

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，

∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣3，

则原式＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，

故选：

B．

2．（2019•崇川区校级二模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，下列结论正确的是（　　）

A．x1+x2

B．x1•x2＝1

C．x1，x2都是有理数D．x1，x2都是无理数

【分析】利用根与系数的关系对A、B进行判断；根据根的判别式对C、D进行判断．

【解析】x1+x2

，x1x2

，所以A、B选项错误，

因为△＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，

所以x1，x2都是有理数，则C选项正确，D选项错误．

故选：

C．

3．（2019•如皋市一模）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（　　）

A．x1+x2＞0B．x1≠x2C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝a2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．

【解析】∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12＞0，

∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，

∴x1≠x2．

故选：

B．

4．（2019秋•秦淮区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为（　　）

A．x1＝0，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝0，x2＝4D．x1＝﹣2，x2＝2

【分析】把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，则x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，然后解一元一次方程．

【解析】把方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0看作关于x﹣1的一元二次方程，

而关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，

所以x﹣1＝﹣1或x﹣1＝3，

所以x1＝0，x2＝4．

故选：

C．

5．（2019秋•仪征市期末）若a，b（a＜b）是方程（x﹣m）（n﹣x）＝2（m＜n）的两根，则实数a，b，m，n的大小关系是（　　）

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜b＜nC．a＜m＜n＜bD．a＜b＜m＜n

【分析】把a，b（a＜b）是方程（x﹣m）（n﹣x）＝2（m＜n）的两根看作抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，然后画出导致的函数图象，从而得到实数a，b，m，n的大小关系．

【解析】方程变形为（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2，

把a，b（a＜b）是方程（x﹣m）（n﹣x）＝2（m＜n）的两根看作抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，

而抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标分别为m、n，如图，

所以m＜a＜b＜n．

故选：

A．

6．（2019秋•兴化市期末）已知一元二次方程p2

p﹣3＝0，q2

q﹣3＝0（q≠p），则p+q的值为（　　）

A．

B．

C．﹣3D．3

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【解析】由题意可知：

p、q是方程x2

x﹣3＝0的两根，

∴p+q

，

故选：

B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

7．（2020春•崇川区期末）若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝　5　．

【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．

【解析】∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，

∴α+β＝3，αβ＝2，

∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．

故答案为：

5．

8．（2020春•如东县期末）已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝　4　．

【分析】根据根与系数的关系得出m+n＝2，mn＝﹣5，根据m2﹣2m﹣5＝0求出m2＝5+2m，代入即可．

【解析】∵m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，

∴m+n＝2，mn＝﹣5，m2﹣2m﹣5＝0，

∴m2＝2m+5，

∴m2+mn+2n

＝2m+5+mn+2n

＝﹣5+2×2+5

＝4．

故答案为：

4．

9．（2019秋•建邺区期末）若长方形的长和宽分别是关于x的方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则长方形的周长是　6　．

【分析】设长方形的长和宽分别a、b，则利用根与系数的关系得到a+b＝3，从而得到长方形的周长．

【解析】设长方形的长和宽分别a、b，

因为a、b关于x的方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，

所以a+b

3，

所以长方形的周长＝2（a+b）＝2×3＝6．

故答案为6．

10．（2019秋•梁溪区期末）请写出“两个根分别是2，﹣2”的一个一元二次方程：

　x2﹣4＝0　．

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．

【解析】∵一个一元二次方程的两个根分别为2，﹣2，

∴这个一元二次方程为：

（x﹣2）（x+2）＝0，

即这个一元二次方程为：

x2﹣4＝0．

故答案为：

x2﹣4＝0．

11．（2020•玄武区一模）设x1、x2是方程x2

x﹣1＝0的两个根，则x12x2+x1x22＝　

　．

【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2

，x1x2＝﹣1，将其代入x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）中即可求出结论．

【解析】∵x1、x2是方程x2

x﹣1＝0的两个根，

∴x1+x2

，x1x2＝﹣1，

∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣1

．

故答案为：

．

12．（2020•玄武区模拟）设x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，且x1+x2＝x1x2﹣1，则m＝　﹣1　．

【分析】由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，代入x1+x2＝x1x2﹣1，即可求出m的值．

【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+m＝0的两个根，

∵x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，

∵x1+x2＝x1x2﹣1，

∴﹣2＝m﹣1，

解得m＝﹣1．

故答案为：

﹣1．

13．（2020•南通模拟）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b

的值是　8　．

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【解析】由题意可知：

a+b＝﹣1，ab＝﹣1，

a2+a＝1，

∴原式＝3（1﹣a）﹣b

＝3﹣3a﹣b

＝3﹣2a﹣（a+b）

＝3﹣2a+1

＝4﹣2a

＝4

＝4

＝4+4

＝8，

故答案为：

8．

14．（2020•兴化市模拟）设m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　2019　．

【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2020＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果

【解析】∵m、n是方程x2+x﹣20200的两个实数根，

∴m+n＝﹣1，

并且m2+m﹣2020＝0，

∴m2+m＝2020，

∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019．

故答案为：

2019

三、解答题（本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（2019•海陵区二模）已知关于x的一元二次方程2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．

（1）求证：

不论m取何值，方程总有实数根；

（2）若该方程的两根互为相反数，求m的值．

【分析】

（1）表示出根的判别式，判断值大于等于0，即可得证；

（2）根据题意表示出两个之和，令其中为0，求出m的值即可．

【解析】

（1）∵△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，

∴方程总有实数根；

（2）由题得：

m﹣2＝0，

解得：

m＝2．

16．（2020•灌南县一模）已知关于x的方程x2+kx+k﹣5＝0．

（1）求证：

不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为x＝3，求该方程的另一个根．

【分析】

（1）根据根的判别式即可求出答案．

（2）将x＝3代入原方程即可求出k的值，代入原方程即可得到结论．

【解析】

（1）b2﹣4ac＝k2﹣4（k﹣5）

＝k2﹣4k+20＝（k﹣2）2+16

∵（k﹣2）2≥0，

∴（k﹣2）2+16＞0，

即b2﹣4ac＞0．

∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．

（2）将x＝3代入原方程得9+3k+k﹣5＝0，

解得：

k＝﹣1，

设该方程的另一个根为x1，

∴3x1＝﹣6，

∴x1＝﹣2，

∴该方程的另一个根为﹣2．

17．（2020春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若这个方程的两根为x1，x2，且满足x12﹣3x1x2+x22＝1，求k的值．

【分析】

（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△＝b2﹣4ac的值大于等于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝1﹣k，x1x2＝k﹣2，再将它们代入x12﹣3x1x2+x22＝1，即可求出k的值．

【解析】

（1）△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝（k﹣3）2，

∵（k﹣3）2≥0，

∴△≥0，

∴此方程总有两个实数根．

（2）由根与系数关系得x1+x2＝1﹣k，x1x2＝k﹣2，

∵x12﹣3x1x2+x22＝1，

∴（x1+x2）2﹣5x1x2＝1，

∴（1﹣k）2﹣5（k﹣2）＝1，

解得k1＝2，k2＝5．

由

（1）得无论k取何值方程总有两个实数根，

∴k的值为2或5．

18．（2019秋•姜堰区期末）已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+12＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）当AB＝3时，求▱ABCD的周长．

【分析】

（1）由菱形的四边相等知方程有两个相等的实数根，据此利用根的判别式求解可得；

（2）由AB＝3知方程的一个解为3，代入方程求出m的值，从而还原方程，再利用根与系数的关系得出AB+AD的值，从而得出答案．

【解析】

（1）若四边形ABCD是菱形，则AB＝AD，

所以方程有两个相等的实数根，

则△＝（﹣m）2﹣4×1×12＝0，

解得m＝±4

；

（2）∵AB＝3，

∴9﹣3m+12＝0，

解得m＝7，

∴方程为x2﹣7x+12＝0，

则AB+AD＝7，

∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+AD）＝14．

19．（2019秋•海陵区校级期末）已知：

关于x的方程x2﹣（m+1）x+m2﹣1＝0，根据下列条件求m的值．

（1）方程有一个根为1；

（2）方程两个实数根的和与积相等．

【分析】

（1）根据一元二次方程的解的定义把x＝1定义方程得到关于m的一元二次方程，然后解此方程即可得到m的值；

（2）根据根与系数的关系得到关于m的一元二次方程，然后解此方程即可得到m的值．

【解析】

（1）依题意有1﹣（m+1）+m2﹣1＝0，

m2﹣m﹣1＝0，

解得m

；

（2）依题意有m+1＝m2﹣1，

m2﹣m﹣2＝0，

解得m＝﹣1或2，

当m＝2时△＜0，方程无实数根，故m＝﹣1．

20．（2020•仪征市一模）定义：

若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）

为该“全整方程”的“全整数”．

（1）判断方程

x2

x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；

（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．

【分析】

（1）解出方程

x2

x﹣1＝0，即可得出结论；

（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判断出4m+29是完全平方数，即可得出结论．

【解答】解

（1）是，理由：

∵解方程

x2

x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝3，

∴两个根均为整数，满足定义，

∴方程为“全整方程”，

∴T（a，b，c）

；

（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，

∴b2﹣4ac＝4m+29，

∵5＜m＜22，

即：

49＜4m+29＜117，

∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，

∴b2﹣4ac是完全平方数，

即4m+29是完全平方数，

∴4m+29＝64或81或100，

∵m为整数，

∴m

（舍去），m＝13，m

（舍去），

即原方程为x2﹣23x+112＝0，

∴T（a，b，c）

．