空间向量与立体几何 单元测试 有答案解析.docx

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空间向量与立体几何单元测试有答案解析

第三章空间向量与立体几何单元测试

（时间：

90分钟　满分：

120分）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．以下四组向量中，互相平行的组数为（　　）

①a＝（2,2,1），b＝（3，－2，－2）；②a＝（8,4，－6），b＝（4,2，－3）；③a＝（0，－1,1），b＝（0,3，－3）；④a＝（－3,2,0），b＝（4，－3,3）

A．1组　　　　　　　　B．2组

C．3组D．4组

解析：

∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，

∴a∥b；而①④中的向量不平行．

答案：

B

2．在以下命题中，不正确的个数为（　　）

①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|（a·b）·c|＝|a|·|b|·|c|.

A．2个B．3个

C．4个D．5个

解析：

①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．

答案：

C

3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）

A.与B.与

C.与D.与

解析：

建立如图所示的空间直角坐标系．

设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A（0,0,0），B（b,0,0），D（0，a,0），C（b，a,0），P（0,0，c）．

则＝（b，a，－c），＝（－b，a,0），＝（0，－a，0），＝（b,0，－c），＝（0，a，－c），＝（b,0,0），＝（0,0，－c），＝（－b,0,0）．

∴·＝－b2＋a2不一定为0.

·＝0，·＝0，·＝0.

答案：

A

4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则（6a）·等于（　　）

A．15B．3

C．－3D．5

解析：

（6a）·＝3a·b＝3（3e1＋2e2－e3）·（e1＋2e3）＝9|e1|2－6|e3|2＝3.

答案：

B

5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为（　　）

A．1B．2

C.D.

解析：

||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴||＝.

答案：

C

6．已知空间三点O（0,0,0），A（－1,1,0），B（0,1,1）在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为（　　）

A．（－2,2,0）B．（2，－2,0）

C.D.

解析：

由＝（－1,1,0），且点H在直线OA上，可设H（－λ，λ，0），则＝（－λ，λ－1，－1）．

又BH⊥OA，∴·＝0，

即（－λ，λ－1，－1）·（－1,1,0）＝0，

即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.

答案：

C

7．已知a＝（cosα，1，sinα），b＝（sinα，1，cosα），则向量a＋b与a－b的夹角是（　　）

A．90°B．60°

C．30°D．0°

解析：

（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝（cos2α＋sin2α＋1）－（sin2α＋1＋cos2α）＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．

答案：

A

8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A（1,0,0），E，F，D1（0,0,1），l所以＝（－1,0,1），＝.

设平面AEFD1的法向量为n＝（x，y，z），

则⇒

∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝（2,1,2），而平面ABCD的一个法向量为u＝（0,0,1），∵cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.

答案：

C

9．在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角APBC的平面角的正切值为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．

则B（0,2,0），C（，1,0），P（0,0,2），

∴＝（0，－2,2），

＝（，－1,0）．

设n＝（x，y，z）是平面PBC的一个法向量．

则即

令y＝1，则x＝，z＝1.

即n＝.

易知m＝（1,0,0）是平面PAB的一个法向量．

则cos〈m，n〉＝＝＝.

∴正切值tan〈m，n〉＝.

答案：

A

10．已知＝（1,2,3），＝（2,1,2），＝（1,1,2），点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

∵Q在OP上，∴可设Q（x，x,2x），则＝（1－x,2－x,3－2x），

＝（2－x,1－x,2－2x）．

∴·＝6x2－16x＋10，

∴x＝时，·最小，

这时Q.

答案：

C

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．已知a＝（3，－2，－3），b＝（－1，x－1,1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．

解析：

因为a与b的夹角为钝角，于是－1＜cos〈a，b〉＜0，因此a·b＜0，且a与b的夹角不为π，即cos〈a，b〉≠－1.

解得x∈∪.

答案：

∪

12．如图所示，已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．

解析：

＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

cos〈，〉＝

＝

＝.

答案：

13．已知a＝（x,2，－4），b＝（－1，y,3），c＝（1，－2，z），且a，b，c两两垂直，则（x，y，z）＝__________.

解析：

由题意知

解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.

答案：

（－64，－26，－17）

14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝3，现用基向量、、表示向量，并设＝x·＋y·＋z·，则x、y、z的和为__________．

解析：

＝＋＝＋＝＋＝－＋＋－＝＋＋，

∴x＝，y＝，z＝.

∴x＋y＋z＝.

答案：

三、解答题：

本大题共4小题，满分50分．

15．（12分）已知a＝（1,2，－2）．

（1）求与a共线的单位向量b；

（2）若a与单位向量c＝（0，m，n）垂直，求m、n的值．

解：

（1）设b＝（λ，2λ，－2λ），而b为单位向量，

∴|b|＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.

∴λ＝±.（4分）

∴b＝或b＝.（6分）

（2）由题意，知⇒

解得或（12分）

16．（12分）如下（左）图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下（右）图．

（1）求证：

A1C⊥平面BCDE；

（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．

解：

（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.

∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.

∴DE⊥A1C.

又∵A1C⊥CD，

∴A1C⊥平面BCDE.（4分）

（2）如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1（0,0,2），D（0,2,0），M（0,1，），B（3,0,0），E（2,2,0）．

设平面A1BE的法向量为n＝（x，y，z），则n·＝0，n·＝0.

又＝（3,0，－2），

＝（－1,2,0），

∴

令y＝1，则x＝2，z＝，∴n＝（2,1，）．

设CM与平面A1BE所成的角为θ.

∵＝（0,1，），

∴sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝.

∴CM与平面A1BE所成角的大小为.（12分）

17．（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

（1）求证：

AM∥平面BDE；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.

解：

（1）证明：

如图，建立空间直角坐标系．

设AC∩BD＝N，连接NE，

则N，E（0,0,1），

∴＝.

又A（，，0），M，

∴＝.

∴＝，且NE与AM不共线．

∴NE∥AM.

又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE.（6分）

（2）设P（t，t,0）（0≤t≤），

则＝（－t，－t,1），＝（，0,0）．

又∵与所成的角为60°.

＝，

解之得t＝，或t＝（舍去）．

故点P为AC的中点．（12分）

18．（14分）如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．

（1）证明：

平面POD⊥平面PAC；

（2）求二面角BPAC的余弦值．

解：

（1）证明：

如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0,0,0），A（－1,0,0），B（1,0,0），C（0,1,0），P（0,0，），D.

设n1＝（x1，y1，z1）是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，

得（4分）

∴z1＝0，x1＝y1.

取y1＝1，得n1＝（1,1,0）．

设n2＝（x2，y2，z2）是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，

得

∴x2＝－z2，y2＝z2，

取z2＝1，得n2＝（－，，1）．

∵n1·n2＝（1,1,0）·（－，，1）＝0，

∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.（8分）

（2）∵y轴⊥平面PAB.

∴平面PAB的一个法向量为n3＝（0,1,0）．由

（1）知，平面PAC的一个法向量为n2＝（－，，1）．

设向量n2和n3的夹角为θ，

则cosθ＝＝＝.

由图可知，二面角BPAC的平面角与θ相等，∴二面角BPAC的余弦值为.（14分）