第4讲 等差数列及其应用.docx

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第4讲等差数列及其应用

第4讲等差数列

许多同学都知道这样一个故事：

大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。

大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？

当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法。

通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。

1、等差数列

什么叫等差数列呢？

我们先来看几个例子：

1,2,3,4,5,6,7,8,9，…

1,3,5,7,9,11,13.

2,4,6,8,10,12,14…

④3,6,9,12,15,18,21.

⑤100,95,90,85,80,75,70.

⑥20,18,16,14,12,10,8.

例题：

下面的数列中，那些是等差数列？

若是请指明公差，若不是则说明理由。

6,8,10,14,18,22，…，98;

1,2,1,2,3,4,5,6；

1,2,4,8,16,32,64；

④9,8,7,6,5,4,3,2,；

⑤3,3,3,3,3,3,3,3,；

⑥1,0,1,0,1,0,1,0；

2、通项公式

对于公差为d的等差数列a1,a2,…an…来说，如果a1小于a2，则显然a1－a2=a3－a2=…=an－an-1=…=d,因此：

a2=a1+d

a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d

a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d

…

由此可知：

an=a1+（n－1）×d

（1）

若a1大于a2，则同理可推得：

an=a1－（n－1）×d

（2）

公式

（1）

（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项。

例题1、求等差数列1,6,11,16…的第20项.

例题2、已知等差数列2,5,8,11,14…，问47是其中第几项？

例题3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。

等差数列练习题

（一）

一、判断下列数列是否是等差数列（2×8=16分）

（1）2,5,8,11,14，…

（2）2,7,2,7,2,7，…

（3）88,77,66,55,44,33,22,11

（4）1×1,2×2,3×3,4×4，…

（5）1,1,2,3,5,8,13，…

（6）2×5,4×5,6×5,8×5，…

（7）1×2,2×3,3×4,4×5，…

（8）4+5,5+6,6+7,7+8，…

二、填空题（3×6=18分）

1、已知等差数列4,8,12,16，…，它的第15项是——————

2、已知等差数列2,7,12，…，122，这个等差数列共有——————项

3、从25开始往后，数20个连续奇数，最后一个奇数是——————

4、在一个等差数列中，第一项是12，第五项是60，公差是——————

5、在自然数10到30之间插入四个数，使这六个数构成等差数列，这四个数分别是——————

，——————，——————，——————。

6、三个数成等差数列，它们的和是18，积是120，这三个数是——————，——————，——————。

三、解答题（5×10=50分）

1、有一个等差数列：

1,5,9,13,17,21，…

（1）它的第1000个数是多少？

（2）4921是它的第几项？

2、已知数列14,23,32,41，…，455。

（1）这个数列共有多少项？

（2）这个数列的第25项是多少？

3、已知数列3,9,15,21,27，…

（1）这个数列的第100项是多少？

（2）147是数列的第几项？

525是数列的第几项？

4、蜗牛从早晨开始爬行，每小时比前一小时多爬行10厘米，第一小时爬了100厘米，休息的最后一小时爬了190厘米。

问：

蜗牛爬了几小时？

5、电影院有26排座位，每一排都比前一排多2个座位，最后一排有80个座位，第一排有多少个座位？

四、生活题（1×16=16分）

工地上将粗细均匀的圆木堆成梯形形状。

最上面一层有6根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？

3、等差数列求和

若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,an可以写为a1,a1+d,a1+d×2,…,a1+d×（n－1）.所以,容易知道：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

设Sn=a1+a2+a3+…+an,

则Sn=an+an-1+an-2+…+a1,

两式相加得：

2×Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）

即：

2×Sn=n×（a1+an），所以，

Sn=n×（a1+an）÷2（4）

当a1大于a2时，同样也可以得到上面的公式。

这个公式就是等差数列的钱n项和的公式。

例题1、计算1+5+9+13+17+…+1993.

例题2、建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？

这堆砖共有多少块？

例题3、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

例题4、连续9个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？

例题5、100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？

4、等差数列的应用

例题1、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

例题2、把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到。

若能，写出具体方案，若不能，说明理由。

例题3、从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？

例题4、x+y+z=1993有多少组正整数解。

例题5、把所有的奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：

197排在第几行的第几个数？

第10行的第9个数是多少？

1

357

911131517

19212325272931

333537394143454749

……

例题6、将自然数如下排列，

12671516…

3581417…

491318…

1012…

11…

…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：

1993排在第几行第几列？

等差数列练习题

（二）

1、计算下面各题。

（5×3=15分）

1、2+5+8+…+104+107+110

2、60+58+56+…+6+4

3、19000－11－14－17－…－323

4、1000+999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1

5、（2+4+6+…＋100）－（1+3+5+…＋99）

2、解答题（5×8=40分）

1、求所有两位数的和是多少？

2、求所有被4整除余1的三位数的和是多少？

3、一个电影院共有32排座位，从第一排开始以后每排都比前一排多2个座位，第32排有82个座位，这个电影院共有多少个座位？

4、下面的算式是按一定规律排列的：

5+3,7+6,9+9,11+12，…

它的第1999个算式的结果是多少？

5、25个队员参加数学奥林匹克竞赛，每2个队员要握一次手，他们共握了多少次手？

3、探索题（3×10=30分）

1、小强计算从1开始若干个连续自然数的和，结果误把1当成10来计算，得到的错误结果恰好是100，你能帮助小强纠正错误吗？

小强算的是哪些自然数的和？

2、某时钟报时时，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十三点钟也敲1下，十四点钟也敲2下，…，每半点都只敲1下。

这个钟一昼夜共敲多少下？

3、求下面数阵中所有数的和。

1234…50

2345…51

3456…52

…

505152…99

4、生活题。

（1×15=15分）

盒子里装着分别写有1,2,3，…，134,135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这几张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。

经过若干次这样的操作之后，盒内还剩下两张红色的卡片和一张黄色的卡片。

已知这两张红色卡片上写的数分别是15和83，求那张黄色卡片上的数是多少？

课堂小测

1.求值：

（2×10=20分）

6+11+16+…+501.

101+102+103+104+…+999.

2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？

4+2,5+8,6+14,7+20，…（10分）

3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？

（10分）

4.把100根小棒分成10堆，每对小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？

（10分）

5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？

（10分）

6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？

（10分）

7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？

（10分）

8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和。

（20分）

1,2,3,4,5,6…98,99,100

2,3,4,5,6,7…99,100,101

3,4,5,6,7,8…100,101,102

…

100,101,102,103,104,105…197,198,199