高中数学《函数的单调性》教案新人教版必修1.docx

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高中数学《函数的单调性》教案新人教版必修1

2019-2020年高中数学《函数的单调性》教案新人教版必修1

   【教学目标】

   1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】 计算机、投影仪．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

课前布置任务：

（1）由于某种原因，xx年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.

（2）通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.

下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：

观察图形，能得到什么信息？

预案：

（1）当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

（2）在某时刻的温度；

（3）某些时段温度升高，某些时段温度降低.

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：

还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：

水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：

用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数

的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？

预案：

（1）函数在整个定义域内y随x的增大而增大；函数在整个定义域内y随x的增大而减小．

（2）函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

（3）函数在上y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述（增函数、减函数）．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：

能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

预案：

如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．

教师指出：

这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识．

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．探究规律，理性认识

问题1：

下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．

问题2：

如何从解析式的角度说明在为增函数？

预案：

（1）在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以在为增函数．

（2）仿

（1），取很多组验证均满足，所以在为增函数．

（3）任取,因为

即，所以在为增函数．

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

3．抽象思维，形成概念

问题：

你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．

（1）板书定义

（2）巩固概念

判断题：

①

．

②若函数

．

③若函数在区间和（2,3）上均为增函数，则函数在区间（1,3）上为增函数．

④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：

如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

例证明函数在上是增函数．

1．分析解决问题   针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：

任取

  　　　　　　　设元

　　　　　　　　　　　求差

　　　　　　　　　　变形　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　断号

∴

∴即

∴函数在上是增函数．　　　　　定论

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：

设元、作差、变形、断号、定论．

练习：

证明函数在上是增函数．

问题：

要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗?

引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

（1）概念探究过程：

直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．

（2）证明方法和步骤：

设元、作差、变形、断号、定论．

（3）数学思想方法和思维方法：

数形结合，等价转化，类比等．

2．作业

书面作业：

课本第60页 习题2.3第4，5，6题．

课后探究：

（1）证明：

函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且有．

（2）研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：

（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；

（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．

2019-2020年高中数学《合情推理--归纳推理》教案苏教版选修1-2

课时安排：

一课时

课型：

新授课

教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：

用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程：

一、课堂引入：

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？

都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理

二、新课讲解：

1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是，凸四边形的内角和是，凸五边形的内角和是

由此我们猜想：

凸边形的内角和是

3、

，由此我们猜想：

（均为正实数）

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.（简称：

归纳）

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶检验猜想。

三、例题讲解：

例1已知数列的通项公式，

，试通过计算的值，推测出的值。

【学生讨论：

】（学生讨论结果预测如下）

（1）

由此猜想，

学生讨论：

1）哥德巴赫猜想：

任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。

2）三根针上有若干个金属片的问题。

四、巩固练习：

1、已知

，经计算:

，推测当时，有__________________________.

2、已知：

，

。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

3、观察

（1）

（2）

。

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

注：

归纳推理的几个特点：

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.

2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.

归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.

五、教学小结：

1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2.归纳推理的一般步骤：

1）通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

六、作业：

七、教后感：

课题：

合情推理

（二）——类比推理

课时安排：

一课时

课型：

新授课

教学目标：

1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：

用类比进行推理，做出猜想。

教学过程：

一、复习引入：

1、什么叫推理?

推理由哪几部分组成?

2、合情推理的主要形式有和.

3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式

4、归纳推理的特点:

5、

（均为实数），

请推测==。

二、新课讲解：

春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。

这个推理过程是归纳推理吗？

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：

猜想不等式的性质：

（1）a=b⇒a+c=b+c;

（1）a＞b⇒a+c＞b+c

（2）a=b⇒ac=bc;

（2）a＞b⇒ac＞bc;

（3）a=b⇒a2=b2;等等（3）a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：

这样猜想出的结论是否一定正确？

二、新课讲解：

由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

类比推理的一般步骤：

⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；

⑶检验猜想。

即

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：

平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：

到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆截面圆

弦大圆

直径周长表面积

圆面积球体积

圆的性质

球的性质

圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦

球心与截面圆（不是大圆）的圆点的连线垂直于截面圆

与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大

圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

经过切点且垂直于切面的直线必经过球心

三、巩固练习：

1、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

2、若数列为等差数列，且

，则。

现已知数列为等比数列，且

，类比以上结论，可得到什么结论？

你能说明结论的正确性吗？

四、教学小结：

1、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2、类比推理的一般步骤：

a）找出两类事物之间的相似性或者一致性。

b）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

五、作业：

六、教后感

gkxx