届一轮复习文理合用第7章立体几何作业.docx

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届一轮复习文理合用第7章立体几何作业

对应学生用书[考案7理][考案7文]

第七章　综合过关规范限时检测

（时间：

120分钟　满分150分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　B　）

A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

B．若m⊂α，α∥β，则m∥β

C．若n⊥β，α⊥β，则n∥α

D．若m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β

[解析]　两个平行平面中的两条直线可能异面，A错误；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B正确；C中直线n也可能在平面α内，C错误；任一二面角的平面角的两条边都与二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D错误，故选B．

2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：

①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；②m∥n，m∥α⇒n∥α；

③m∥n，m⊥α⇒n⊥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.

其中正确命题的序号是（　B　）

A．①③　　B．③④　　

C．①④　　D．②③

[解析]　①α∥β，m⊂α，n⊂β，则两条直线可能异面，故不正确；②m∥n，m∥α，有可能直线n在平面α内，故不正确；③m∥n，m⊥α⇒n⊥α，根据线面垂直的判定定理得到结论正确；④α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又因为α∥β，故n⊥β.结论正确；故正确的是③④.

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　C　）

A．5π＋18　　B．6π＋18　　

C．8π＋6　　D．10π＋6

[解析]　该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是（　A　）

A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直

[解析]　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝＝，MN＝＝，ON＝＝，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A．

5．在各棱长都相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的正切值为（　D　）

A．　　B．　　

C．1　　D．

[解析]　如图，取BC的中点E，连接DE，AE，依题意，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设棱长为1，则AE＝，DE＝，tan∠ADE＝＝＝.故选D．

6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（　C　）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

[解析]　对于A，注意到直线CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，因此CC1与B1E不是异面直线，选项A不正确；对于B，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，AC与AB不垂直，因此AC与平面ABB1A1不垂直，选项B不正确；对于C，注意到直线AE，B1C1是异面直线，且AE⊥BC，BC与B1C1相互平行，因此有AE⊥B1C1，因此选项C正确；对于D，注意到平面ABC与平面A1B1C1平行，且平面ABC∩平面AB1E＝AE，平面A1B1C1∩平面AB1E＝l（B1∈l），于是有AE与l平行，注意A1C1与直线l相交，因此A1C1与平面AB1E相交，选项D不正确．综上所述，选C．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（　B　）

A．36π　　B．π　　

C．32π　　D．28π

[解析]　根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径．∵三棱柱的底面是边长为4的正三角形，∴底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为×2＝，∴其外接球的半径R＝＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝，故选B．

8．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝2，则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为（　C　）

A．　　B．　　

C．　　D．

[解析]　由题意得BC＝5，设外接球O2的半径为R，则R＝＝＝.因为Rt△ABC的内切圆的半径为1，且直三棱柱ABC－A1B1C1的高为2，所以该直三棱柱的内切球O1的半径r＝1，所以＝＝.

9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　D　）

A．BD∥平面CB1D1

B．异面直线AD与CB1所成的角为45°

C．AC1⊥平面CB1D1

D．AC1与平面ABCD所成的角为30°

[解析]　因为BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，A不符合题意；因为AD∥BC，所以异面直线AD与CB1所成的角为∠BCB1＝45°，B不符合题意；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，C不符合题意；AC1与平面ABCD所成的角为∠CAC1≠30°，故选D．

10．如图，在以角C为直角顶点的三角形ABC中，AC＝8，BC＝6，PA⊥平面ABC，F为PB上的点，在线段AB上有一点E，满足BE＝λAE.若PB⊥平面CEF，则实数λ的值为（　C　）

A．　　B．　　

C．　　D．

[解析]　∵PB⊥平面CEF，∴PB⊥CE，又PA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴PA⊥CE，而PA∩PB＝P，∴CE平面PAB，∴CE⊥AB，∴λ＝＝＝＝.

11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　A　）

A．　　B．　　

C．2　　D．

[解析]　由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A－BCD所示，故该几何体的体积V＝××1×2×2＝.

12．已知三棱锥D－ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（　C　）

A．45°　　B．90°　　

C．60°　　D．30°

[解析]　∵DA⊥平面ABC，S△ABC＝AB·AC＝8，∴三棱锥的体积V＝S△ABC·DA＝·DA＝，∴DA＝4，∴BD＝＝4，CD＝＝4.设BC的中点为F，连接EF，AF，如图，则EF＝CD＝2，AF＝BC＝2，AE＝BD＝2，∴△AEF是正三角形，∴∠AEF＝60°.∵E是DB的中点，则EF∥DC，∴∠AEF是异面直线AE与DC所成的角，即异面直线AE与DC所成角的大小为60°.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13．圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为__36π___.

[解析]　如图．

因为OA＝3，

所以底面圆周长为6π，

底面圆的面积为9π，

所以弧AB长为6π，

又因为∠BSA＝，则有SA·＝6π，所以SA＝9.

扇形ASB的面积为S＝×6π×9＝27π，

所以圆锥的表面积为9π＋27π＝36π.

14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为_____.

[解析]　依题意，在棱长为2的正方体中作出该四面体的直观图，记为三棱锥A－BCD，如图所示，易知S△BCD＝×1×2＝1，所以V三棱锥A－BCD＝S△BCD×2＝×1×2＝，即该四面体的体积为.

15．（文）如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，若AB＝5cm，AC＝2cm，则点B到平面PAC的距离为____cm___.

（理）如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD.若在BC上只有一个点O满足PQ⊥QD，则a的值为__2___.

[解析]　（文）联结BC.∵C为圆周上一点，AB为直径，

∴BC⊥AC.

又PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，

∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，C为垂足，即BC为点B到平面PAC的距离．

在Rt△ABC中，

BC＝＝＝（cm）．

（理）联结AQ，若QD⊥PQ，则DO⊥AQ（三垂线定理的逆定理）．因为这样的点只有一个，那么点O必为BC与以AD为直径的圆的切点，故a＝BC＝2AB＝2.当a>2时，有两个点Q；当0

16．已知三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，则球O的体积为_____.

[解析]　设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90°，∴××3××h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）（文）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．

（1）求证：

CD⊥AE；

（2）试判断PB与平面AEC是否平行？

并说明理由．

（本小题满分10分）（理）如图，已知四棱锥S－ABCD，底面梯形ABCD中，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC＝2AB＝4，BC＝2AD＝2DC＝2.

（1）求证：

平面SAB⊥平面SAC；

（2）求二面角B－SC－A的余弦值．

[解析]　（文）

（1）证明：

因为PD⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，

所以PD⊥CD.又AD⊥CD，AD∩PD＝D，故CD⊥平面PAD.

又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.

（2）PB与平面AEC不平行，理由如下：

假设PB∥平面AEC，如图，设BD∩AC＝O，连接OE，则平面EAC∩平面PDB＝OE.

又PB⊂平面PDB，所以PB∥OE.

在△PDB中，有＝，

由E是PD中点可得，＝＝1，

即OB＝OD.

因为AB∥DC，所以＝＝，这与OB＝OD矛盾，所以假设错误，所以PB与平面AEC不平行．

（理）

（1）在△BCA中，由于AB＝2，CA＝4，BC＝2，

∴AB2＋AC2＝BC2.故AB⊥AC.

又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，

AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，

又AC⊂平面SAC，故平面SAC⊥平面SAB.

（2）如图，建立空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0,0），B（2,0,0），S（1,0，），C（0,4,0），＝（1，－4，），＝（－2，4,0），＝（0,4,0），

设平面SBC的法向量n＝（x1，y1，z1），

⇒，

令y1＝1，则x1＝2，z1＝，

∴n＝（2,1，）．

设平面SCA的法向量m＝（x2，y2，z2），

⇒，

令x2＝－，∴m＝（－，0,1）．

∴|cosn，m|＝＝，

∴二面角B－SC－A的余弦值为.