初中数学各章节重难点及典型例题参考word.docx

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初中数学各章节重难点及典型例题参考word

初中数学各章节重难点

第一章实数

★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念

数系表：

说明：

“分类”的原则：

1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：

正实数与零的统称。

（表为：

x≥0）

常见的非负数有：

性质：

若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：

①定义及表示法

②性质：

A.a≠1/a（a≠±1）;

B.1/a中，a≠0;

C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;

D.积为1。

4．相反数：

①定义及表示法

②性质：

A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：

①定义（“三要素”）

②作用：

A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：

2n-1

偶数：

2n（n为自然数）

7．绝对值：

①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：

数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

分配律）

3．运算顺序：

A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷×5）;C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

第二章代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算

☆内容提要☆

一、重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：

①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，=x,=│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：

①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：

①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：

乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：

①从外形上判断;②区别：

、是根式，但不是无理式（是无理数）。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

①联系：

都是非负数，=│a│

②区别：

│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：

①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴（—幂，乘方运算）

①a＞0时，＞0;②a＜0时，＞0（n是偶数），＜0（n是奇数）

⑵零指数：

=1（a≠0）

负整指数：

=1/（a≠0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2．分式的性质

⑴基本性质：

=（m≠0）

⑵符号法则：

⑶繁分式：

①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：

①·=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5．乘法法则：

⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：

（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

（a±b）=

7．除法法则：

⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：

⑴定义;⑵方法：

A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9．算术根的性质：

＝;;（a≥0,b≥0）;（a≥0,b＞0）（正用、逆用）

10．根式运算法则：

⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：

A.;B.;C..

11．科学记数法：

（1≤a＜10,n是整数＝

数与式典型例题

一、数与式

1、已知a-b=1，b+c=2，则2a+2c+1=。

2、当x时，。

3、若，则=。

4、9.30万精确到位，有效数字有个。

5、已知A、B、C是数轴上的三点，点B表示1，点C表示-3，AB=2，则AC的长度是。

6、P点表示2，那么在数轴上到P点的距离等于3个单位长度的点所表示的数是。

7、的平方根是。

若（-3）2=a2，则a=。

8、某人以a千米/小时的速度由甲地到乙地，然后又以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则此人往返一次的平均速度是。

9、完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，若两人合作完成这项工作的80%需要的时间是。

10、洗衣机每台原价为a元，在第一次降价20%的基础上再降价15%，则洗衣机现价是元。

11、若表示一个整数，则整数x可取的值的个数是。

12、如果一个三角形的三条边长分别为1，k，3，化简=。

13、下列语句说法正确的是（）

A．倒数等于本身的数有0B．算术平方根等于本身的数是±1和0

C．立方根等于本身的数有±1和0D．相反数等于本身的数是±1

14、化简可得（）

A．B．C．D．

第三章统计初步

★重点★

☆内容提要☆

一、重要概念

1.总体：

考察对象的全体。

2.个体：

总体中每一个考察对象。

3.样本：

从总体中抽出的一部分个体。

4.样本容量：

样本中个体的数目。

5.众数：

一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：

将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：

⑴;⑵若，，…，,则（a—常数，，，…，接近较整的常数a）;⑶加权平均数：

;⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。

通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2．样本方差：

⑴;⑵若,,…,,则（a—接近、、…、的平均数的较“整”的常数）;若、、…、较“小”较“整”，则;⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：

统计初步典型例题

1、某校三个绿化小组一天植树的棵树如下：

10，x，8，已知这组数据只有一个众数且大小等于中位数，那么这组数据的平均数是。

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：

点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：

①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成

13．公理、定理

14．逆命题

二、三角形

分类：

⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：

⑴角与角：

①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。

⑵边与边：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

⑶角与边：

在同一三角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：

①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：

直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

⑵特殊三角形全等的判定：

①一般方法②专用方法

6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：

等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8．证明方法

⑴直接证法：

综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：

①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：

加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：

延结法、截余法

⑹证面积关系：

将面积表示出来

直线形典型例题

1、如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长。

第1题图第2题图第4题图

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（0，），点C在坐标平面内。

若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C有个。

3、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为。

4、如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画个。

5、直角三角形的两边长为3，4，则第三边长为。

6、直角三角形的周长是24cm，斜边上的中线长为5cm，则此三角形的面积为。

7、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数为。

8、在等边三角形ABC外有一点D，满足AD=AC，则∠BDC的度数为。

9、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是。

10、在比例尺为1：

10000的地图上，区域面积为5cm2的地方代表实际面积是。

11、在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AB上，AD=2，点E在AC上，且△ADE与原三角形相似，则AE=。

12、如图，DE∥AB，DF∥AC，若S△DEC=4，S△BDF=9，则S△ABC=。

13、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，在Rt△ABC中作一个内接正方形，则该正方形的边长是。

第12题第14题

14，将三角形张片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF。

已知AB=AC=3，BC=4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.

15、若P为△ABC所在平面上一点，且∠