土木工程《线性代数》山东大学网络教育考试模拟题及答doc.docx
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土木工程《线性代数》山东大学网络教育考试模拟题及答doc
09年11月期末本科《线性代数》参考解答
线性代数模拟题1
一.单选题.
1.下列（）是4级偶排列.
（A）4321；
（B）
4123；（C）
1324；
⑼
2341.
答
:
A
^13
2“"
-3“i2
«I3
2.如果Z>=
^2.
a22
=1,Dy=
4“2I
2an
-3a22
«23
那么M=
（
）•
^3.
a32
a33
4^3.
2au
-3“32
七3
（A）8；
（B）
-12；（C）
24；
（D）
-24.
答：
D
3.没/!
勹5均为
Z7XZZ
矩阵，满足AB=O，
则必有（
）•
答，
C
（A）A=O^B=O；（B）4+5=0;（C）\a\=0^\b\=0；（D）|/f|+|fi|=0.
4.设/f为/z阶力阵（U3）,而Z是d的伴随矩阵，又A•为常数，且6#0，士1，则必沿X等于（）.答：
B
（A）kA9；（B）n;（C）rZ；（D）m
5.向蜇组a,，a2，....，《、.线性相关的充要条件是（）答：
C
（A）a^a2，....，as中有一零向M（B）a,,a2a4中任意iW个向M的分ht成比例
（C）a,中有一个向铽是其氽向M的线性组介
（D）a,,a2，....，as屮任意一个向hi都是K氽⑹的线性姐合
6.已知我，凡是非齐次方程组=的两个不同解,a,，a2是焱=0的基础解系,k'，k2为任意常数，则Ar=6的通解为（）答：
B
（A）kxa}^kz（a}+a2）+—~~—:
（B）4-k2（a,-a2）-I-——
（C）Ayz,^k2（^+久）+^^;（D）kxa{+k2（/i'+爲
7.A=2是A的特征值，则（A73）n的一•个特征值是（）答：
B
（A）4/3（B）3/4（01/2（D）1/4
8.若四阶矩阵A勹B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式|B*-1=（）
（A）0（B）24（C）60（D）120答：
B
9.若,4是（），则必有=答：
A
（A）对角矩阵；（B）三角矩阵；（C）可逆矩阵；（D）正交矩阵.
10.若为可逆矩阵，下列（）恒正确.答：
A
（A）（2J）'=2?
f;（B）（2/1）1=2/^••⑹=[M'）']'（D）[（Afy]~]=[（/f*r，f.
二.计算题或证明题
为对角矩阵;
u,JH=r则4=^=^
3.A〃取何值时，下列线性方程组尤解、有唯一解、有尤穷多解？
有解时，求其
（1）〜=-2时，方程组无解;
⑵、Wl"-2时，■-解：
x,=—,
（3）MV，=丨时，仏A?
力•多解，xo=0,O,O）7,丛础解系％=（-1,1,0）’，a2=（-1,0,1/.
企部解为at=+k2a2+xQ
4.求向蜇组的秩及-个极大无关组，并把其余向说川极大无关组线性表示.
=
。
r
-i
2
，汉2=
<0、
3
1
，汉3=
3
0
7
=
'2、
1
5
•a5=
"1、
-1
2
<<
<2>
J4,
<0,
逛一个极人尤义约I，Jla3=3a,^a2,a5=-a,-a2+a4
5.荇/f是对称矩阵，是反对称矩阵，试证：
jZf-似是对称矩眸.证：
由条件为r=/4,BT=—B*
有（AB-BA）t=（AB）r-{BA）t=BrAT-ATBT=（-B）A—J（-B）=AB-BA。
线性代数模拟题2
.单选题.
1.若（-l）v/的值及该项符号为
）•答：
A
（A）A=2,Z=3,符号为负；（B）A-=2,/=3符号为正；
（0k=i,/=2»符号为负：
（D）k=A，/=2,符号为正.
2.下列行列式（）的值必为零.答：
A
（A）n阶行列式中，零元素个数多于n2-n个；
（B）〃阶行列式中，零元素个数小于〃2-n个;
（0"阶行列式屮，零元素个数多于w个;
（D）阶行列式中，零元素的个数小于/>个.
3.设/I,均为"阶"阵，则必有（）.答：
D
（A）J=/；（B）5=0；（C）A=（D）AB=BA.
4.设d与Z?
均为zzx/7矩阵，则必有（）.答：
C
（A）\A^-B\=\A\+\B\；（B）AB=BA；（C）\A£\=\B^；（D）（?
f+fl）1=J1+1•
5.如果，....，a、线性表出，则（）答：
D（或A）
（A）存在一约1不伞为$的数弋，々2k、，使等式+k2a2+....+々、》、成、'<
（B）汾:
在-组全为本的数々，人，.…，k'，使等式/?
=k{a^+k2a2+..•.+々、//，成立
⑹对//的线性表示式不唯一，（D）向M组/?
，％，％，....，as.线性相关
6.齐次线性方程组Jx=O有非零解的充要条件是（）
（A）系数矩阵J的任意两个列向鲎线性相关，
（B）系数矩阵J的任意W个列向蜇线件无关（C）必有一列向组是其余向蛍的线性组合（D）任一列向蜇都是其余向蜇的线性组合
7.设以介矩阵A的一个特征值为入，则（入A，2+I必有特征值（
（A）入2十1（B）A-1⑹2（D）-2
r32-T
8.已知00ci勹对角矩阵和似，则67=（）
<000、
（A）0:
（B）-1:
（C）l;（D）2
9.设J,A，C均为阶方阵，卜而（）不是运算摔.
答：
B
答：
A
答：
D
（B）（J+5）C=/fC+5C；
（A）04+fi）+C=（C+fl）+J:
（C）（AB）C=A（BC）；（D）（AB）C=（AC）B.
10.下列矩阵（）不是初等矩阵.答：
B
001'
100、
"100、
<100
（A）
010
；（B）
000
:
（C）
020
:
（D）
01-2
J00;
、010）
.001,
二.计算题或证明题
L已知鹏A，求A'胸七J
2.设A为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明••入利且入1是A1的一个特征值
的一个特征值，故^-=2.闵人*0，故乂*0月.人,。
3.取何值时.下列线性方程组无解、有唯一解、有尤穷多解？
有解时，求其解.
t
ax{+x2+x,=
a-3
（a1
1
以-3、
<0
0
2+6/
-3'
x,+ax2+.V,
=-2o
解：
增广矩Pl
1a
1
-2
0（1
0
-1
1
0
xr+x‘、+axy
=一2
<>1
a
-2
/
I
0
a+1
一2）
（1）A2+a=0,方程组无解；
（2）«+2*0，力程组有唯一解，x,=-_，X，=—>x3=Lo
a+2"a+2a+2
4.求向M•组的秩及•个极大无关组，并把其余向僅用极大无关组线性表示.
rr
p
<1ii-r
<1001
2
i
1
0
2110
0-101
«,=
=
，《3=
，《4=
。
解帚矩阵
3
i
2
0
2120
001-1
、4）
山
、4112,
<0000,
为—个极人无关绀•。
5.若/f是对称矩阵，r是正交矩阵，证明厂yr是对称矩阵.
证：
凼条件知Jr=/f,r’=r\{r'AT）r=TTAr（A^）r=T-]AT为对称矩阵.
线性代数模拟题3
一.单选题.
1.设五阶行列式|~|=/〃，依下列次序对P,,|进行变换后，苒结果是（）.答：
C
交换第一行勹第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后ffl4除第二行各元素.
（A）8"z;⑻一（C）—8//z；（D）—m.
4
ix+ky-z=0
答：
D
2.如果方程组j4.v+z=0有非零解，贝IJ（
kx-5y-z=0
（A）女=0或女=1:
（B）众=1或A-=2;（C）人，=一1成众=1;（D）A=-1»KA=-3.
3.设J,C,/为同阶矩阵，若厦=/，则下列各式中总是成立的有（）.答：
A
（A）BCA二I'（B）ACB=h（05JC=/；（D）CBA=I.
4.设/（,C为同阶矩阵，且>/可逆，下式（）必成立.答••A
（A）^AB^AC,则5=
;（B）若/45=C5，则/f=C;
（0若/4C=flC,则=（D）若BC=O,则=
答：
D
5.芯组apa2，....，的狹为/•，则（）
（A）必定r〈s;（B）向筮组中任意小于r个向说的部分组线性无关
（（•）向盘组中任意r个向以线性无关;（D）向磁组中任意个r+1向hi必定线性相漏
6.设向觉组^«2,%线性尤关，则下列向觉组线性和关的是（）答：
C
（A）tr,^a:
a:
+cr,;（B）cZpCr,+a,,a3+a2+a,;
（C）or,-a2,a2-a,:
（D）cz,+a2,2a2+3,3»3+.
7.设A、B为n阶矩阵，且A勺B相似，I为n阶单位矩阵，则（）答：
D（A）入I-A=AI-B（B）A勹B有相同的特征值和特征向蜇
（C）A~B都相似于一个对角矩阵（D）kl-Aljkl-B相似（k•足常数）
（A）a=l,b=2,c=3;（B）a=b=c=l;（C）a=l,b=0,c=-l;（D）a=b=l,c=0•
（A）a,+a2,a2+aA.a4+a丨线性无关：
（B）a,-ar2,a2-a4,a4-a丨线性尤关：
（C）a,+a2,a2+a3,ay+a4，a4-a,线性无关；
（D）a,+6r2,£Z2+a3,a3-a4,a4一辽丨线4|^.;^关.
ClC1C3
<1
0
0
0
-3'
fo
0
-3'
"1
0
0
（A）
0
1
0
；（B）
0
1
0
;（C）
0
1
0
；（D）
0
1
0
k一3
0
1>
<0
0
1>
0
I>
、o
-3
L
二.计算题或证明题1.设A〜B,试证明
（1）A"〜ITGn为正整数）
（2）如A可逆，则B也可逆，且r1〜B—1证:
（1）由条件得A=PBP{,
Am=（PBP~'=（PBP-1\PBP-}\PBP~'\'2=（P^P^\PBPly~2=PBnP~{PIO?
T〜/T。
⑵A=PBK\WlJJ'1=（PB/r，）~'=PB~]P]，/T1〜/T1*2.如ii阶矩阵A满足A2=A,证明：
A的特征饥只能为（）或zi。
证：
设A为A的•个特征侦，AX=AX=A2X=AAX=A2X,夼2=22,A=0或A=l。
3.qV/、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯•解、有无穷多解?
有解时，求其
x,+2x2
X2一
-
一+2x4=1
-x3-x4=1
0
解：
増广矩畔
1
0
2
1
-2
-1
2
-1
1、
1
0
0
1
0
-1
4
-1
-厂
1
X,+x2
-x3+3x4=a
1
1
-1
3
a
0
0
0
0
a
X|-X2
++5x4=b
1
-1
1
5
b
<（）
0
0
0
b+2、
（1）或6+2*0时，线性//程饥尤解；
（2）:
中ia=O、且b+2=0线性"程组有无穷解,基础解系为a,=（O，l，l，O）r，
a2=（-4，1,0,1）’，特解汉0=（-l，l,O,Of.通解a=<%+k2a2+a0
4.判断向皇//能否被6Z,，a:
，a,线性表出，若能写出它的一种表示法.
"-8'
-3
-7
tQfj=
<-2、
7
1
»2=
P、
-5
0
a3=
二5'
-6
3
<-io
<3、
、一
、一L
5.若方阵J可逆，则/I的伴随矩阵Z也可逆，并求出Z的逆矩阵.
证：
/I可逆，则|?
f卜0，!
，1卜0,/f=|J|/T，，则|Z卜0,可逆;
（zT1）*=1/^1（/^广=|/1卞.（A'1}A*=\A'1\a\A\A'1=/,（J*）1=（J'）*
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