完整高中微积分基本知识doc.docx
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高中微积分基本知识
第一章、极限与连续
一、数列的极限
1．数列
定义：
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
x1,K,xn,L叫数列，记作xn，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列
的第n项或通项
界的概念：
一个数列
xn
，若
M
0，st..
对
n
N*
，都有
xn
M
，则称
xn
是有界的：
若不论
M
有多大，总
mN*
，st..
xm
M
，则称
xn
是无界的
若axnb，则a称为xn的下界，b称为xn的上界
xn有界的充要条件：
xn既有上界，又有下界
2．数列极限的概念
定义：
设
xn
为一个数列，a为一个常数，若对
0，总
N,st..当nN
时，有
xn
a
则称a是数列xn
的极限，记作limxn
a或xn
a（n
）
n
数列有极限时，称该数列为
收敛的，否则为发散的
几何意义：
从第N
1项开始，xn的所有项全部落在点a的
邻域（a,a
）
3．数列极限的性质
①唯一性
②收敛必有界
③保号性：
极限大小关系
数列大小关系（n
N时）
二、
函数的极限
1.定义：
两种情形
①
x
x0：
设f（x）在点x0处的某去心邻域内有定义，
A为常数，若对
0，
0
，st..当0xx0
时，恒有f（x）
A
成立，则称f（x）在x
x0时有
极限A
记作lim
f（x）A或f（x）
A（x
x0）
x
x0
几何意义：
对
0，
0，st..当0
x
x0
时，f（x）介于两直线y
A
单侧极限：
设f（x）在点x0处的右侧某邻域内有定义，
A为常数，若对
0，
0，st..当0
x
x0
时，恒有f（x）
A
成立，称f（x）在x0处有右极限A，
记作lim
f（x）
A或f（x0）
A
xx0
lim
f（x）
A的充要条件为：
f（x0）
f（x0）=A
xx0
垂直渐近线：
当lim
f（x）
时，x
x0为f（x）在x0处的渐近线
xx0
②x
：
设函数f（x）在x
b
0
上有定义，A为常数，若对
0，X
b,s..t
当x
X时，有f（x）
A
成立，则称f（x）在x
时有极限A，记作
lim
f（x）
A或f（x）
A（x
）
x
lim
f（x）
A的充要条件为：
lim
f（x）lim
f（x）
A
x
x
x
水平渐进线：
若lim
f
（）
A
或
limf（x）
A
，则
y
A
是
f（x）
的水平渐近线
x
x
x
2.函数极限的性质：
①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当0xx0时成立）
三、极限的运算法则
1．四则运算法则
设f（x）、g（x）的极限存在，limf（x）
A,limg（x）B则
①limf（x）
g（x）
A
B
②lim[f（x）g（x）]
AB
③limf（x）
A
（当B
0时）
g（x）
B
④limcf（x）
cA
（c为常数）
⑤lim[f（x）]k
Ak
（k为正整数）
2．复合运算法则
设yf[（x）]，若lim
（x）
a，则lim
f[（x）]f（a）
xx0
xx0
可以写成lim
f[（x）]
f[lim
（x）]
（换元法基础）
xx0xx0
四、极限存在准则及两个重要极限
1．极限存在准则
①夹逼准则
设有三个数列xn，yn，zn，满足
ynxnzn，limynlimzna则limxna
nnn
②单调有界准则
有界数列必有极限
3．重要极限
①limsinx
②lim11
x
1
1
e或lim1xxe
x0
x
x
x
x0
五、无穷大与无穷小
1．无穷小：
在自变量某个变化过程中limf（x）0，则称f（x）为x在该变化过程中的无穷小
※若f（x）
0，则f（x）为x在所有变化过程中的无穷小
若f（x）
，则f（x）不是无穷小
性质：
1.有限个无穷小的代数和为无穷小
2.常量与无穷小的乘积为无穷小
3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理：
limf（x）A的充要条件是f（x）A（x），其中（x）为x在该变化中过程
中的无穷小
无穷小的比较：
（趋于0的速度的大小比较）
（x）,（x），为同一变化过程中的无穷小
若limc（c0常数）则是的同阶无穷小（当c1时为等价无穷小）
若limkc（c0常数）则是的k阶无穷小
若lim0则是的高阶无穷小
常用等价无穷小：
（x0）x:
sinx:
tanx:
arcsinx:
arctanx:
ln（1x）:
ex1；
1cosx:
x2
；（1
x）1:
x；ax
1:
xlna
2
2．无穷大：
设函数f（x）在x
的某去心邻域内有定义。
若对于M
0，
0
s..t
当
0
0x
x0
时，恒有f（x）M
称f（x）当x
x0时为无穷大，记作lim
f（x）
xx0
1
无穷大为无穷小
limf（x）
定理：
limf（x）（下：
趋于某点，去心邻域不为0）
1
无穷小为无穷大
limf（x）
※无穷大的乘积为无穷大，
六、连续函数
1．定义
其和、差、商不确定
设函数
y
f（x）
在
x0某邻域有定义，若对
0，
0st..
当0
xx0
时，
恒有：
f（x）
f（x0）
也可记作
limf（x）
xx0
f（x0）
或limx0
y
0
f（x0）
f（x0）
（或
f（x0
）
f（x0）
）为左（或右）连续
2．函数的间断点
左右极限相等，该处无定义可去间断点
第一类间断点：
左右极限存在
左右极限不等跳跃间断点
第二类间断点：
无穷间断点，震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数f（x）与g（x）都在x处连续，则函数
f（x）g（x），f（x）g（x），f（x）
（g（x）0）
g（x）
定理：
y
f[g（x）]，g（x0）u0
，若g（x）在x0处连续，
f（g）在u0处连续，则
y
f[g（x）]在x0处连续
4．闭区间连续
①最值定理：
函数的性质
f（x）在[a,b]
上连续，则
x1,x2，对一切
x
[a,b]有
f（x1）
f（x）
f（x2）
②介值定理：
f
（x）
在
[a,b]
上连续，对于
f（a）与
f（b）之间的任何数
u，至少
一点
，
st..f（）u
第二章、导数
一、导数的概念
定义：
设函数yf（x）在点x0的某邻域有定义，如果极限
lim
f（x0x）
f（x0）
存在，则称函数y
f（x）在点
x0
x
x0可导，极限值为函数y
f（x）在点x0处的导数，记为f'（x0）
单侧导数：
设函数y
f（x）在点
x0处的左侧（x0
x0]有定义，若极限
f（x0
x）
f（x0）
存在，则称此极限为函数
lim
x
x
0
yf（x）在点x0处的左导数，记为f'（x0），类似有右导数f'（x0）
导函数：
函数yf（x）在某区间上可导，则
f'
（x）
lim
f（x
x）
f（x）
x0
x
性质：
①函数y
f（x）在点x0处可导的充要条件f'（x0）
f'（x0）
②可导
连续
导数的几何意义：
函数点处的切线斜率
二、求导法则
1．函数的和、差、积、商的求导法则
定理：
若u
u（x）,v
v（x）都在x处可导，则函数u（x）
v（x）在x处也可导，且
[u（x）
v（x）]'
u'（x）v'（x）
定理：
若u
u（x）,v
v（x）都在x处可导，则函数u（x）v（x）在x处也可导，且
[u（x）v（x）]'
u'vuv'
推论：
若u1,K,un都在x处可导，则函数u1u2Lun在x
处也可导，且
[u1u2Lun]'
u1'u2Lun
u1u2'Lun
Lu1u2Lun'
定理：
若u
u（x）,vv（x）都在x处可导，则函数u（x）在x处也可导，且
v（x）
u（x）
'
uv'
u'v
v（x）
v2
2．反函数的求导法则
定理：
设函数x
g（y）在Iy上单调可导，它的值域为Ix，而g'（y）0，则其反函数
y
g1（x）
f（x）在区间Ix上可导，并且有
f'（x）
'1
g（x）
4．复合函数的求导法则
定理：
若函数u
（x）在x0
可导，函数y
f（u）在点u0
（x0）可导，则复合函数
y
f（（x））在x0处可导
[f（
（x））]'
f'（（x））
'（x）
或
dy
dygdu
（连锁规则）
dx
dudx
三、高阶导数
定义：
若函数y
f（x）的导数y'
f'（x）仍可导，则y'
f'
（x）导数为yf（x）的二
阶导数，记作y",f"（x）,d2y，类似的，有n阶导数y（n）,f（n）（x）,dny
dx2
dxn
四、隐函数求导
对于F[x,y（x）]0,或F[x,y（x）]
G[x,y（x）]，若求dy
dx
求导法：
方程两侧对x求导
微分法：
方程两侧求微分
公式法：
dy
Fx'
，将方程化成
F[x,y]=0，将F看成关于x,y的二元函数，分
dx
Fy'
别对x,y求偏导Fx',Fy'
五、参数方程所确定的函数求导
x
（t）
dy
dydt
dy
dx
'（t）
yt'
y
，
dx
g
dt
/
'（t）
xt'
（t）
dtdx
dt
导数公式
基本函数：
C'
0
（x）'
x1
（ax）'
axlna
（logax）'
1
（sinx）'
xlna
cosx
（cosx）'
sinx
（cotx）'
csc2x
（secx）'
secxtanx
导数运算法则:
（uv）'u'v'
（uv）'u'vuv'
（uv）（n）u（n）v（n）
高阶导数
[Cf（axb）]（n）Canf（n）（axb）
（xn）（m）Anmxnm,（nN*）若mn,则0
（ax）（n）axlnna
（sinx）（n）
sin（x
n
）
2
※1.o（xn1）o（x）xn
2.lim
0
f（x）
f（x0）
f'（x0），需补充条件
x
x
x0
（cscx）'
cscxcotx
（arcsinx）'
1
x2
1
（arccosx）'
1
1
x2
（arctanx）'
1
1x2
（arccotx）'
1
1
x2
（Cu）'
Cu'
（u）'
u'v
uv'
v
v2
（uv）（n）
n
Cnku（nk）v（k）
k
0
（n）
1
（
1）n
n!
x
xn
1
（logax）（n）
（
1）n
1（n
1）!
xnlna
（cosx）（n）
cos（x
n
）
2
f（x）在x0处可导或该极限存在
第三章、微分
一、微分的概念
定义：
设函数yf（x）在某区间I上有定义，x0,x0xI，若
yf（x0x）f（x0）可表示为
yAxo（x）（其中A与x无关），则称Ax为y在x0处
的微分，记作dyAx
※dy与y的区别：
当y为自变量时，dy
y
当y为因变量时，dy
y，ydyo（
x），dy为y的线性主部
定理：
对于一元函数y
f（x），可导
可微
性质：
一阶微分形式不变性，对于高阶微分
dnyf（n）（x）（dx）n
二、微分的几何意义
“以直代曲”
三、微分中值定理
中值定理
条件
结论
①[a,b]上连续,②（a,b）上可
Rolle
导,③f（a）
f（b）
f'（）0
①[a,b]上连续,②（a,b）上
Lagrange
可导
①[a,b]上连续,②（a,b）上
Cauchy可导，③g'（x）0
至
少
存
在
f（b）
f（a）
一
f'（）
点
b
a
，
使
得
f（b）f（a）f'（）
g（b）g（a）g'（）
①有限增量定理：
yf'（xx）x（01）
②L,Hospital法则：
1型未定式定值法：
f（x）,g（x）在x0的某去心邻域有定义，且
1
lim
f（x）
limg（x）
0，f（x）,g（x）在x0的某去心邻域可导，且g'（x）0
xx0
xx0
lim
f'（x）
A，则有limf（x）
limf'（x）
xx0
g'（x）
xx0g（x）
xx0g'（x）
，0g
，1，
，00，
0类似
四、函数的单调性与极值
1.单调性：
定理：
设函数yf（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则
导数符号原函数单调性
f
'
（x）
0
Z
f
'
（x）
0
]
2.极值
定义：
设函数yf（x）在点x0某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有
f（x0）f（x）
则f（x0）是函数f（x）的一个极大值，点x0为函数f（x）的一个极大值点。
（极小值类似）
函数取得极值的一阶充分条件
函数y
f（x）在点x0去心邻域可导，且在x0处可导或导数不存在，则：
①当x
x0
时，f'（x）
0，x
x0时，f'（x）
0，则f（x0）是极大值
②当x
x0
时，f'（x）
0，x
x0时，f'（x）
0，则f（x0）是极小值
③无论x
x0还是x
x0，总有f'（x）0（或f'（x）
0），则f（x0）不是极值
函数取得极值的二阶充分条件
函数y
f（x）在点x0
处具有二阶导数，且f'（x0）
0，f"（x0）0，则
①若f"（x0）
0
，则f
（x0）是极小值
②若f"（x0）0
，则f
（x0）是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质
1.原函数与不定积分
原函数：
设f（x）在I上有定义，若对xI，都有
F'（x）f（x）或dF（x）f（x）dx
则称F（x）为f（x）在I上的一个原函数
原函数存在定理：
若函数f（x）在
I
上连续，则在
I
上
可导函数F（x），
对
x
I
，
st..
都有F'（x）f（x）。
即连续函数一定有原函数
不定积分：
设F（x）使f（x）的一个原函数，C为任意常数，称F（x）C为f（x）的不
定积分，记作
f（x）dxF（x）C
几何意义：
积分曲线族
2.不定积分的性质：
①积分运算与微分运算为互逆运算
②[f（x）
g（x）]dxf（x）dx
g（x）dx
③kf（x）dx
kf（x）dx
k0
二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理：
设f（u）有原函数，且u
（x）具有连续导数，则f[（x）]
'（x）有原函数
f[
（x）]'（x）dx
f（u）du
2.第二类换元积分法
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