河南省洛阳市届高三第三次统一考试文数试题.docx
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河南省洛阳市届高三第三次统一考试文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A.{1,2,3}B.C.{2,3}D.
【答案】C
【解析】，，所以，故选C.
2.欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.它在复变函数论里有极其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若，则复数在复平面中所对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
3.已知命题：
，都有；命题：
，使得，则下列复合命题正确的是（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】当时，，所以命题是假命题；和有交点，所以命题是真命题，那么复合以后是真命题，故选B.
4.已知双曲线的离心率为2，则的两条渐近线的方程为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】，所以，那么双曲线的渐近线方程是，故选A.
5.已知等比数列满足，则（）
A.B.C.648D.18
【答案】D
6.如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）
A.B.C.1D.-1
【答案】A
【解析】设正方形的边长为2，以点为原点，分别为轴，建立平面直角坐标系，，所以，，所以，解得，所以，故选A.
7.若实数满足条件，则的最大值为（）
A.-1B.C.5D.7
【答案】C
8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆内的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】时，打印点不在圆内，，是；
打印点不在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，是；打印点在圆内，，否，结束，所以共4个点在圆内，故选C.
9.已知函数，若，则（）
A.-2B.-3C.0D.1
【答案】A
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】此几何体是由四分之一球和三棱锥组合而成，球的半径是1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，斜边为2，三棱锥的高是1，则，故选C.
11.将函数的图象向左平移个单位后得到的图象，当满足时，，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】向右平移个单位后，得到函数，，即中其中一个是最大值，另一个是最小值，不妨设，即，，两式相减得到，即，当时，的最小值是，因为，所以，故选D.
点睛：
的图象和图象变换以及函数的性质函数考察的重点，综合性强，而本题题干非常新颖，本题也可这么想，首先函数的周期是，所以最大值和最小值之间横坐标的差值是，函数向左平移个单位，最值点也向左平行个单位，根据图象可得，最大值和最小值之间的横坐标的差值的最小值是，这样就会简单很多，但对识图的要求比较高.
12.若对任意实数，总存在唯一实数，使得成立，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
点睛：
本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型，，，使，即函数的值域是值域的子集，若使，即说明的最小值大于函数的最小值，就转化求两个函数最值的问题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.“”是“直线与直线垂直”的_________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）.
【答案】充分不必要
【解析】若两条直线垂直，则，解得：
或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
14.已知函数在处取得最大值，则__________，__________．
【答案】
（1）.
（2）.
【解析】，时，，当时，函数取得最大值，即，解得.
15.已知是抛物线上的动点，在圆上，是在轴上的射影，则的最小值是__________．
【答案】3
点睛：
本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.
16.如图，四边形为直角梯形，，若边上有一点，使最大，则__________．
【答案】
点睛：
本题考查了利用所学知识解决平面几何中的角的最值问题，考查了转化与化归能力，以及计算能力，如果直接用内的边表示，得到的式子会比较麻烦，而利用和它相关的直角三角形表示会比较简单，或是建立坐标系，以点为原点建立坐标系，表示，所以的最大值是，而此时，这样做会更简单.学%
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足.
（1）证明；数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）根据已知条件构造出（常数），根据等差数列求的通项公式，再求的通项公式；
（2）由
（1）可知，，而，根据裂项相消法求和.
试题解析：
解
（1）∵，
∴.
∴.
∴.
点睛：
数列求和的一些方法：
（1）分组转化法，，而数列可以直接求和，那就用分钟转化法求和，举例；
（2）裂项相消法，能够将数列列为的形式，再用累加法求和，举例，，或是等；（3）错位相加法，，而是等差数列，是等比数列，适用于错位相减法求和，举例；（4）倒序相加法，，而，两个式子相加得到一个常数列，即可求得数列的和，举例，满足;（6）其他方法.
18.在四棱柱中，四边形是平行四边形，平面，，，为中点.
（1）求证：
平面平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】
试题分析：
（1）根据余弦定理求，底面满足勾股定理，所以，又可证明，所以平面，即证明面面垂直；
（2）取的中点，分别连接，这样多面体可分割为三棱柱和三棱锥，所以分别求体积.
试题解析：
（2）设的中点分别为，连接，
∵分别为的中点，
∴多面体为三棱柱.
∵平面，∴为三棱柱的高.
，
三棱柱体积为.
在四棱锥中，.∴底面.
，
四棱锥的体积为，
∴多面体的体积为.
19.某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：
（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；
（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500。
元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败;高于4500元的员工是具备营销成熟员工，基进行营销将会成功。
现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动。
活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元。
试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？
【答案】
（1）
（2）收入2万元的可能性最大.
【解析】
（2）抽取比为，
从工资在1500,4500）区间内抽人，设这两位员工分别为1,2；从工资在4500,7500]区间内抽人，设这三位员工分别为.
从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：
（1,2），，，.
20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，且的面积为（是坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的一点，过的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限，切点为，证明：
为定值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）离心率，，和得到，求解方程；
（2）设，根据两点间距离求,再根据弦长公式求，利用点在椭圆上化简得到定值.
试题解析：
解：
（1）设椭圆的半焦距为，由已知得.
∴椭圆的方程为.
（2）以短轴为直径的圆的方程为，.
设，则.
∴.
又与圆相切于，
∴.
∴.
21.已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）当时，，代入切线方程，得到切线方程；
（2），因为，而，所以分和两种情况讨论函数的单调性，得到函数的最小值，看是否能满足，得到的取值范围.
若，由与的图象位置关系知
存在，当时，，
此时，，在上单调递减，
当时，，与题意矛盾.
综上：
的取值范围为.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴与极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求的值.
【答案】
（1）
（2）2
【解析】
试题分析：
（1）两边同时乘以，利用公式得到曲线的直角坐标方程；根据定点和倾斜角代入直线的参数方程；
（2）直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的二次方程，而，结合图象去绝对值，根据根与系数的关系，求的值.
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，
得.
设两点对应的参数分别为，则.
∵，
∴，
∴，
即，
解得：
或（不合题意，应舍去）；
∴的值为2.
点睛：
本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，，，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.
23.选修4-5：
不等式选讲
设不等式的解集为.
（1）证明：
；
（2）比较与的大小，并说明理由.
【答案】
（1）见解析
（2）见解析
【解析】
（2）由
（1）得.
因为，
所以，故.
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