卡尔曼滤波算法与matlab实现.docx
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卡尔曼滤波算法与matlab实现
一个应用实例详解卡尔曼滤波及其算法实现
标签：
算法filtermatlabalgorithm优化工作
2012-05-1410:
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分类：
数据结构及其算法（4）
为了可以更加容易的理解卡尔曼滤波器，这里会应用形象的描述方法来讲解，而不是像大多数参考书那样罗列一大堆的数学公式和数学符号。
但是，他的5条公式是其核心内容。
结合现代的计算机，其实卡尔曼的程序相当的简单，只要你理解了他的那5条公式。
在介绍他的5条公式之前，先让我们来根据下面的例子一步一步的探索。
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。
假设你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。
我们把这些偏差看成是高斯白噪声（WhiteGaussianNoise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。
另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。
我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。
好了，现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：
你根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。
下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。
假如我们要估算k时刻的是实际温度值。
首先你要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。
因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：
如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。
然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。
由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。
究竟实际温度是多少呢？
相信自己还是相信温度计呢？
究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance（协方差）来判断。
因为Kg^2=5^2/（5^2+4^2），所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：
23+0.78*（25-23）=24.56度。
可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。
现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。
到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。
对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。
算法如下：
（（1-Kg）*5^2）^0.5=2.35。
这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。
就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。
他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。
上面的Kg，就是卡尔曼增益（KalmanGain）。
他可以随不同的时刻而改变他自己的值，是不是很神奇！
下面就要言归正传，讨论真正工程系统上的卡尔曼。
3．卡尔曼滤波器算法
（TheKalmanFilterAlgorithm）
在这一部分，我们就来描述源于DrKalman的卡尔曼滤波器。
下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随即变量（RandomVariable），高斯或正态分配（GaussianDistribution）还有State-spaceModel等等。
但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。
首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（LinearStochasticDifferenceequation）来描述：
X（k）=AX（k-1）+BU（k）+W（k）
再加上系统的测量值：
Z（k）=HX（k）+V（k）
上两式子中，X（k）是k时刻的系统状态，U（k）是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z（k）是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W（k）和V（k）分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声（WhiteGaussianNoise），他们的covariance分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件（线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声），卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：
X（k|k-1）=AX（k-1|k-1）+BU（k）………..
（1）
式
（1）中，X（k|k-1）是利用上一状态预测的结果，X（k-1|k-1）是上一状态最优的结果，U（k）为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X（k|k-1）的covariance（协方差）还没更新。
我们用P表示covariance：
P（k|k-1）=AP（k-1|k-1）A’+Q………
（2）
式
（2）中，P（k|k-1）是X（k|k-1）对应的covariance，P（k-1|k-1）是X（k-1|k-1）对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。
现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。
结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态（k）的最优化估算值X（k|k）：
X（k|k）=X（k|k-1）+Kg（k）（Z（k）-HX（k|k-1））………（3）
其中Kg为卡尔曼增益（KalmanGain）：
Kg（k）=P（k|k-1）H’/（HP（k|k-1）H’+R）………（4）
到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X（k|k）。
但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X（k|k）的covariance：
P（k|k）=（I-Kg（k）H）P（k|k-1）………（5）
其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。
当系统进入k+1状态时，P（k|k）就是式子
（2）的P（k-1|k-1）。
这样，算法就可以自回归的运算下去。
卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5个基本公式。
根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。
下面，用Matlab程序举一个实际运行的例子。
4．简单例子
（ASimpleExample）
这里我们结合第二第三节，举一个非常简单的例子来说明卡尔曼滤波器的工作过程。
所举的例子是进一步描述第二节的例子，而且还会配以程序模拟结果。
根据第二节的描述，把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。
当然，我们见的模型不需要非常地精确。
我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。
没有控制量，所以U（k）=0。
因此得出：
X（k|k-1）=X（k-1|k-1）………..（6）
式子
（2）可以改成：
P（k|k-1）=P（k-1|k-1）+Q………（7）
因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。
式子3，4，5可以改成以下：
X（k|k）=X（k|k-1）+Kg（k）（Z（k）-X（k|k-1））………（8）
Kg（k）=P（k|k-1）/（P（k|k-1）+R）………（9）
P（k|k）=（1-Kg（k））P（k|k-1）………（10）
现在我们模拟一组测量值作为输入。
假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。
为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X（0|0）和P（0|0）。
他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。
但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X（0|0）是系统最优的，从而使算法不能收敛。
我选了X（0|0）=1度，P（0|0）=10。
该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。
图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。
clear
N=200;
w
（1）=0;
w=randn（1,N）
x
（1）=0;
a=1;
fork=2:
N;
x（k）=a*x（k-1）+w（k-1）;
end
V=randn（1,N）;
q1=std（V）;
Rvv=q1.^2;
q2=std（x）;
Rxx=q2.^2;
q3=std（w）;
Rww=q3.^2;
c=0.2;
Y=c*x+V;
p
（1）=0;
s
（1）=0;
fort=2:
N;
p1（t）=a.^2*p（t-1）+Rww;
b（t）=c*p1（t）/（c.^2*p1（t）+Rvv）;
s（t）=a*s（t-1）+b（t）*（Y（t）-a*c*s（t-1））;
p（t）=p1（t）-c*b（t）*p1（t）;
end
t=1:
N;
plot（t,s,'r',t,Y,'g',t,x,'b'）;
用matlab做的kalman滤波程序,已通过测试
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
还有下面一个Matlab源程序，显示效果更好。
clear
clc;
N=300;
CON=25;%房间温度，假定温度是恒定的
%%%%%%%%%%%%%%%kalmanfilter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=zeros（1,N）;
y=2^0.5*randn（1,N）+CON;%加过程噪声的状态输出
x
（1）=1;
p=10;
Q=cov（randn（1,N））;%过程噪声协方差
R=cov（randn（1,N））;%观测噪声协方差
fork=2:
N
x（k）=x（k-1）;%预估计k时刻状态变量的值
p=p+Q;%对应于预估值的协方差
kg=p/（p+R）;%kalmangain
x（k）=x（k）+kg*（y（k）-x（k））;
p=（1-kg）*p;
end
%%%%%%%%%%%SmoothnessFilter%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Filter_Wid=10;
smooth_res=zeros（1,N）;
fori=Filter_Wid+1:
N
tempsum=0;
forj=i-Filter_Wid:
i-1
tempsum=tempsum+y（j）;
end
smooth_res（i）=tempsum/Filter_Wid;
end
%figure
（1）;
%hist（y）;
t=1:
N;
figure
（1）;
expValue=zeros（1,N）;
fori=1:
N
expValue（i）=CON;
end
plot（t,expValue,'r',t,x,'g',t,y,'b',t,smooth_res,'k'）;
legend（'expected','estimate','measure','smoothresult'）;
axis（[0N2030]）
xlabel（'Sampletime'）;
ylabel（'RoomTemperature'）;
title（'SmoothfilterVSkalmanfilter'）;
卡尔曼滤波算法--核心公式推导导论
再造红旗
写在最前面：
这是我第一篇专栏文章，感谢知乎提供这么一个平台，让自己能和大家分享知识。
本人会不定期的开始更新文章，文章的内容应该集中在汽车动力学控制，整车软件架构，控制器等方面。
作为一名在校硕士，很多理解都可能不全面，不正确，大家有不同意见欢迎讨论。
谢谢！
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卡尔曼滤波算法很牛逼，因为有一堆公式，有一堆符号，看起来就很牛逼啊，乍一看不懂的都很牛逼啊！
本文针对卡尔曼滤波算法的核心公式进行推导，不让大家被它华丽的外表吓到。
（之后计划写关于针对非线性情况的EKF和UKF，对卡尔曼滤波算法做一个全面一点的应用介绍。
感兴趣的可以关注专栏。
）
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Okay，进入正题。
这篇文章假设读者已经对卡尔曼滤波算法有初步的了解，知道它能做什么，知道它的优点，知道它很牛逼，并且你已经对它产生兴趣，但不知道如何下手。
首先给出一个控制理论中公式，别急着翻控制理论的书，没那么复杂：
两个基本问题：
1.卡尔曼滤波算法要做什么？
对状态进行估计。
2.卡尔曼滤波算法怎么对状态进行估计？
利用状态过程噪声和测量噪声对状态进行估计。
一个状态在一个时刻点k的状态进入下一个时刻点k+1状态，会有很多外界因素的干扰，我们把干扰就叫做过程噪声，（这个词一看就是硬翻译过来的，别在意为什么叫噪声）用w表示。
任何一个测量仪器，都会有误差，我们把这个误差叫做量测噪声，用v表示。
回到上面那个公式，状态方程表示状态在不断的更新，从一个时刻点进入下一个时刻点，这个很好理解。
关键是量测方程，它表示，我们不断更新的状态有几个能用测量仪器测出来，比如，汽车运动状态参数有很多，比如速度，轮速，滑移率等，但是我们只能测量出轮速，因此量测方程要做的就是把状态参数中能量测的状态拿出来。
我们始终要记得我们要做的事：
我们要得到的是优化的状态量Xk。
理解了上面之后就可以开始推导公式了。
1.首先不考虑过程噪声对状态进行更新，很简单：
举个例子，v（k）=v（k-1）+at，匀加速运动咯。
2.不考虑测量噪声取出能测量的状态，也很简单：
3.用测量仪器测量出来的状态值（大家可以考虑到：
测量的值就是被各种噪声干扰后的真实值）减去上面不考虑噪声得到的测量值：
这个值在数学上是一个定义值，叫做新息，有很多有趣的性质，感兴趣的可以自己谷歌。
我们对步骤暂且停一停。
这个叫新息的值有什么用？
由上面的过程我们可以明显看到，它反映了过程噪声和测量噪声综合对测量状态值的影响，也就是它包含了w和v的情况。
回到数学层面，（不要害怕，很简单的数学应用和思考啦！
）一个数值c由两部分内容a和b组成，那么怎样用数学表达式来表达？
一般有两种做法：
I.直接相加：
c=a+b;
II.用比例的方法：
a=n*c,b=（1-n）*c
卡尔曼采用了方法II，用比例的方法来做（其实这也是为什么叫做滤波的原因，因为滤波就是给权值之类的操作）。
也就是说，过程噪声w=新息*一个比例。
这样得到的过程噪声加上原来（第一步）不考虑过程噪声的状态值不就是优化值了吗？
也就是：
Okay，都写到这里了，有必要做一下前提假设：
a.什么高斯噪声，均值为零一堆；
b.Ak,Ck,wk的协方差Q,vk的协方差R，系统协方差初始值P0,状态初始值X0，都已知。
为什么已知，你实际做项目就知道了。
不过不懂的可以留言或者私信。
那么到目前为止我们的思路就是清楚了，找到一个合适的Hk值（卡尔曼增益），那么我们就能得到状态的最优值。
（卡尔曼说的，不是我说的，所以你问为什么，你要问他，这么深层次的理论留给博士和学者们去做就好，我们就现学现用就行，哈哈哈，站在巨人的肩膀！
）
问题来了：
怎么得到合适的Hk？
似乎不是随便一个参数。
这是误差协方差矩阵。
思路：
使得误差协方差矩阵Pk最小的Hk。
为什么？
这里我从感观的角度说明自己的理解，欢迎讨论。
协方差表示什么，协方差表示两者之间的联系或者关系，关系越大，协方差越大。
误差协方差越小说明过程噪声和量测噪声的关系越小。
关系越小能做什么，这要回到我们第3步讨论的我们用比例的方法分开了w和v。
用比例分开，到底多少属于w，多少是v，如果关系越小，分开的越精确，比如一堆白砂糖和盐，如果两种混合的很均匀，我们说它关系很大，也就越难用比例的方法将其分开。
4.求的误差协方差矩阵Pk
自然是把里面的Xk先得到，然后公式运算，通过上面的步骤我们也容易得到：
然后复杂的数学计算，和之前假设的高斯噪声，新息的性质之类（至于过程，个人觉得你如果只做应用，不研究算法，就没必要深入去看了），就能得到下面的卡尔曼滤波递推公式：
通过上面的解释，我们也就不难知道这些公式都在干嘛，知道干嘛就可以了。
在知道A,C,P0,Q,R的情况下，整个公式的运算流程也都很清晰了。
过程方程：
X（k+1） = A X（k）+ B U（k）+W（k） >>>>式1
量测方程：
Z（k+1） = H X（k+1）+V（k+1） >>>>式2
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵；H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W（k）和V（k）分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声，他们的协方差分别是Q，R。
为了不失一般性，下面的讨论中将X,Z都视为矩阵，其中X是m行的单列矩阵，Z是n行的单列矩阵。
说明：
下面的表达式中，不带前缀的量都代表实际量，其小括号里面的“k”或“k+1”代表该量是第k或第k+1时刻的实际量，如“Z（k+1）”就代表第k+1时刻的实际测量值；
带前缀“^”的量都代表预测量，如果小括号里面是“k+1|k”，就代表k+1时刻的先验预测值，如果小括号里面是“k+1|k+1”，就代表k+1时刻的后验预测值；（测量值可以通过测量得到，所以只有先验预测，没有后验预测。
而实际状态值无法得知，既有先验预测，又有后验预测）
带前缀“~”的量都代表与预测值对应的偏差值。
实际状态值与先验预测状态值的偏差=实际状态值–先验预测状态值
~X（k+1|k） = X（k+1） - ^X（k+1|k） >>>>式3
实际测量值与先验预测测量值的偏差=当前测量值-先验预测测量值
~Z（k+1|k） = Z（k+1） - ^Z（k+1|k） >>>>式4
并且
先验预测测量值 = 转换矩阵H *先验预测状态值
^Z（k+1|k） = H ^X（k+1|k） >>>>式5
得到测量值后，再对当前状态值X（k+1）进行后验预测（设后验预测值为^Z（k+1|k+1）），则后验预测值（同时也是最终预测值）的偏差为
~X（k+1|k+1） = X（k+1） - ^X（k+1|k+1） >>>>式6
为了得到当前状态值X（k+1），根据式3，需要：
X（k+1） = ^X（k+1|k） + ~X（k+1|k） >>>>式7
上式中，我们可以通过卡尔曼公式1（见附注2）计算出^X（k+1|k），但我们无法得知实际状态值X（k+1），因而~X（k+1|k）也无法得知。
我们最终的目的是得出一个比较接近实际状态值X（k+1）的滤波值^X（k+1|k+1），根据式7，只要能准确的估计出~X（k+1|k）即可。
~X（k+1|k）本身虽无法得知，但~Z（k+1|k）却可以通过测量得到，而且它们二者存在一定的相关性。
不妨再设存在一个矩阵K（m行n列矩阵），能使得
~X（k+1|k）=K*~Z（k+1|k） >>>>式8
那么最终的预测任务其实就是找到K。
由于~X（k+1|k）和~Z（k+1|k）都是单列矩阵，因此不难看出，满足式8的矩阵K应有无穷多个。
矩阵K中第i行第j列反映了量测变量偏差矩阵~Z（k+1|k）的第j个元素对状态变量偏差矩阵~X（k+1|k）的第i个元素的贡献。
因此矩阵K的物理意义很明显，K的第i行第j列的元素表示：
对于第i个待测的状态量来说，第j个测量仪器测到的偏差的可信度。
某个测量值对应的可信度越高，滤波器越“相信”该测量值。
既然满足条件的K有无穷多个，那应该使用哪个K呢？
实际上，我们并不知道~X（k+1|k）的值，所以也就无法直接计算出K，而只能通过某种方法找到一个Kg，使得将Kg带入式8后，等号两边的差（的平方）的期望尽可能小。
我们最终的预测值或滤波值是后验预测值^X（k+1|k+1），因此最后的预测也应使~X（k+1|k+1）的期望为0且方差最小（这与让8式两端的差最小是一致的，下面的式9体现了这一点），这样预测值才最可靠。
下面详细说明。
^X（k+1|k+1）= ^X（k+1|k）+ Kg*~Z（k+1|k） （后验预测的状态值）
~X（k+1|k+1） = X（k+1） - ^X（k+1|k+1） （后验预测的偏差）
~X（k+1|k+1） = X（k+1） - ^X（k+1|k+1）
= （ ^X（k+1|k） + ~X（k+1|k） ）- （ ^X（k+1|k）+ Kg*~Z（k+1|k） ）
= ~X（k+1|k） - Kg*~Z（k+1|k）
>>>>式9
~Z（k+1|k） = Z（k+1） - ^Z（k+1|k）
= （ H X（k+1）+V（k+1） ） - （ H ^X（k+1|k） ）
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