平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1.docx
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平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1
平面直角坐标系中点的坐标求1
法全解拔高．
坐标的应用（讲义）知识点睛y
x
平面直角坐标系知识回顾：
轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条数1、
数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水轴或纵轴；x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y平方向的数轴我们叫）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把我们用有序实数对（a,b、2平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三（﹣，（﹢，﹢），（﹣，﹢），象限，第四象限。
每一个象限内的符号：
﹣），（﹢，﹣）；、它的符号，由它在坐标a,b）的坐标由两部分组成：
A3、每一个点（b、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，系中的位置决定；B的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；xy轴对称的两个点，轴对称的两个点，x相同，y相反；关于x4、关于轴平行的x相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于相反，yyy轴平行的直线，x相同，；于直线，y相同，x不同，可表示为y=b不同；可表示为x=a；轴，则其x轴或y坐标系中求线段长的方法：
如果两个点的连线平行于线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离；L=公式：
22）（x）y?
（－yx－2112yxy?
?
x?
?
2112，?
?
22?
?
、牢记中点坐标公式：
5
、平面直角坐标系中坐标的处理原则：
6．
轴的垂线；x轴、yA、过点做平行于坐标转线段长，线段长转坐标；B、
4）点的存在性问题：
；3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：
．4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标
精讲精练，）-1，01.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（，D两点的坐标分别是_______则C，D在第二象限内，C，4B（0，），顶点_______A
两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的（分别过C、D双垂直模型都是全等三角形。
），，-）3ABCD在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是A（-2），2，求四边形ABCD的周长和面积．-）（2（B5，-），C2，4，D（x
（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。
）
）4，3（C，）0，3（B，）2，0（A如图，在平面直角坐标系中，已知9.
三点．yC4
O）求△（1ABC的面积．12，使四边形，是否存在点，P）
（2）如果在第二象限内有一点P（m的坐标；若不的面积相等？
若存在，求出点PABOP的面积与△ABC存在，请说明理由．总结提升：
x1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：
如果两个点的连线平行于轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两y轴或；L=点之间的距离公式12、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。
比如此题就可以OA为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。
18.如图，在平面直角坐标系中，A（x，y），B（x，y），取线段AB2211的中点M，分别作A，B到x轴的垂线段AE，BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M的坐标是____________（用x，y，x，y．表示）2211．
yBMA
E
（牢记中点坐标公式）个单个单位长度，再向左平移34，2），将坐标系向下平移3已知点M（-．M位长度，则点在新坐标系内的坐标为______坐标系的平移相当于牢记点的平移和坐标系的平移不同；（总结提升：
）把点向反方向平移；，C得到△A′B′绕点将△ABCC（0，36.-1）旋转180°34.如图，35.
41.′的坐标A为（a，39.b），40.则点37.设点A的坐标38.
）为（
b）（A．-a，--B．（-a，b-1）
＋，-b1）C．（-b-D．（a，--2）BAB
°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心（总结提升：
由于旋转180的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。
）3260°A顺时针旋转AOB2），把△绕点，，（42.如图，已知A，0）B（0）B后得到△AO′′，则点B′的坐标是（
2323）4，（．B），4（．A．
323+232（），DC．．（3，）
y'B
A
是一个可以得出三角形AOB（总结提升：
首先把坐标转化为线段长，′垂直于横B°角的直角三角形，又由于旋转角是含有3060°，所以A
轴，再把线段长转化为坐标即可。
）轴0，3），请在x）50.如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，1，B（的坐标是P，B两点距离之和最小，则点A上找一点P，使得点P到点．________-
关于横轴的对称点，连B（总结提升：
这是一个典型的奶站问题，做点点，于横轴的交点就是所求的点。
求出直线的表达式，A接此对称点和）然后求出和横轴的交点即可。
62.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，其中A（2，0），3），连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A，（B22落在A′的．________′的坐标为A位置上，则点．
yBCA'
x
点；′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G总结提升：
欲求点A°，=60∠BOA=BOA′根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠°角的直30也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有则∠A′OG角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。
，0A点坐标为（74.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，F折叠后B点落在点BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE，2）E是线段点的坐标是________．处那么C
（总结提升：
此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。
）
86.已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．y2
-
总结提升：
1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。
常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算；
2、若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，我们过点C做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；
3、若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。
97.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
y32
-
（总结提升：
这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的，也就是先“一条线，两个圆”存在性的题目。
我们常用的处理模式是：
的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分OA做定线段与纵轴的交点即是其他的定长线段为半径画圆，别以两个定点为圆心，点。
当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。
），点）0（，2（A6，0），C为坐标原点，四边形如图，OOABC为矩形，的等腰3OMP是腰长为的中点，点OAP在线段BC上运动，当△M是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿P点的坐标为：
三角形时，则＿＿＿＿M
总结提升：
1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；
于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点由、2．
的交点向横轴为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。
总共三个点。
两点在，B1的正方形，A113.
如图，方格纸中的每个小方格是边长为）来表示，请在小方3（4，小方格的顶点上，位置分别用（2，2），
个2ABC的面积为，ABAC，BC，使△格的顶点上确定一点C，连接的位置有＿＿个．平方单位，则点A总结提升：
1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；
2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2；
3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；
4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。
三、回顾与思考
【参考答案】
一、知识点睛
1．①坐标转线段长，线段长转坐标；
②过点作横平竖直的线．
2．①平移线段②一线两圆
二、精讲精练
）1，5-（，）5，4-（．1．
655?
55?
522．2，12
（1）6；
（2）存在，（-3），3．
y?
x?
xy?
?
221，?
?
22?
?
．4），5．（-15D．6B．7）8．（3，3，）9．（?
2，1．（-）10（-5，-1）（11．（1，1），5，-1）2，-（，0，4-））（0．12（0，-）（0，25，）2，（3213．，2）（3，7
．14坐标的应用（随堂测试，0），CA．如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中（40，14），若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是．________
yDBC
A
轴y02，），∠ABO=30°，在2．如图，在平面直角坐标系中，其中A（为件的点坐标P，△P，使PAB是等腰三角形则符合条点上取一_______________A【参考答案2）．，（2243?
4），），00，），（（，0，（2．0）
坐标的应用（作业）
4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2，3），（5，的周长和面积．ABC，求△）0，2-（，）2-
y
x
（分割以求和，补形以作差），A逆时针旋转90°AB（2，0），把线段绕点，10.如图，已知A（0，4）B）B′处，则点B′的坐标是（落在点点B5，6）6，5）D．（．44．A（6，）B．（，6）CBx
（构造双垂直模型解题即可），）（2，3A2（15.如图，图形关于点D0，-）成中心对称，若点的坐标是Ｍ．则点的坐标为
yAOxDM
（运用中点坐标公式解题即可）3），点E坐标为（1，0在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，），22.将△COE沿直线CE折叠，点O落在点D处，则点D的坐为．
（过做横轴的垂线，构造3°角的直角三角形，利用其三边系比解题即可
30在平面直角坐标系中三点的坐标分别为）
），），以这三点为平行四边形的三个顶点，则四个点的坐标为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
-2-3-4-
（按照“三个定点、一个动点”求平行四边形的村庄行解题模型解题即可）．
轴上的一x），点T是如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2，136.的坐标为：
＿＿＿＿＿＿PTO是等腰三角形时，点T个动点，当△＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解即可
41如图，在平面直角坐标系中，四边OAB是矩形，的坐标为（5，4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为：
．
O
47.把△ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
y543
-因此此，（总结提升：
由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边ABAB平行于横轴，所以我们以题实质上是一个轴对称性质的题；由于AB点的一个位置；再做出D为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则线段AB点的位置。
最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻是另一个D折一次就可以得到第三个D点的位置。
利用中点坐标公式求即可。
）【参考答案】2935321．B2．）（3．-2，-?
3?
?
22?
?
．4）（-2，3732，-），（-2，-），（5．55?
540），，（4，0），．6（（，0），（0，）52，4），（3，4），7．（（2，4）
8．（-2，3），（4，-1），（-2，-1）
）
坐标的应用（每日一题两点在直角坐标系中，B，C1.如图所示，已知边长为1的正方形OABC°，求点B的坐标．在第二象限内，OA与x轴的夹角为60
分别做横30°角的直角三角形，过点A（注意到此题中出现了含有轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可）°90°，90°和45°，45°，2.慧慧在一次数学课上，将一副3060°3?
9，，的三角板如图放在直角坐标系中，发现点A0的坐标刚好是（P的坐标．求图中两个三角板的交点
我45°角的特殊直角三角形，（注意到此题中出现了含有30°角和做横们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点P的代数式，列方程解a，把OA表示为含有a轴的垂线，设此垂线长为题即可。
）
3，0），B（0，1（3.如图所示，A-）分别为x轴，y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S=S，求aABCABP△△的值．
总结提升：
1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积；
2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP的面积；先求出直线AP的表达式，设其与纵轴的交点是H，然后用“大坐标－小坐标”求出BH的长，则三角形ABP就被我们分隔成了分别以BH为共同底边的两个小三角形，左边小三角形的高是A点横坐标的绝对值，右边小三角形的高是P点横坐标的绝对值，据此列方程解题即可。
4.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，、EA两点的坐．求5，S＝15＝的中线，已知OE是△AOBOB＝OEAOB△标．
（总结提升：
1、为了求点E的坐标，我们过点E做横轴的垂线，根据等底同高的两个三角形面积相等，则三角形OEB的面积等于大三角形面积的一半；然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标，然后再用勾股定理求出其横坐标即可；
两点的中点，代入中点坐标AB是E的坐标，注意到点A、为了求点2．
公式求解即可。
）为坐O四边形OABC为平行四边形，其中5.如图，在平面直角坐标系中，.AC相交于点D）1，3，OB，4标原点，且点B（4，），C（，D两点坐标；求A
.的面积求四边形OABC
总结提升：
BO、根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此D点是1、的坐标，再根据D两点的中点，先利用中点坐标公式求出点的坐A、C两点的中点，代入中点坐标公式求出点A点D也是标即可；，分别求出L=2、利用两点之间的距离公式：
22））y?
（－yx（x－2112有关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面积公式=两条对角线乘积的一半，分别计算出两条对角线的长度即可求出。
【参考答案】
1.解：
E轴，垂足为y⊥BE作B过点．
60°OA∵与x轴的夹角为30°AOE∴∠=中，在Rt△AODOA=1，∠AOD=30°
3，60°ODADO==，∠=∴AD1
=∵A31-∴BD3=-60°，∠BDE在Rt△BDE中，BD=36∴DE=，B=OD+DE∴OE=∵B在二象2，∴点的坐标为2解：
轴，垂足为点D作PD⊥x过点P，=设ADx，△AOC和在Rt△AOBRt=45°=AOB30°，∠OAC∵∠3x，x=AD=，OD=PD∴3?
93，）0，（A∵．
39?
3339?
3=+，即DA=xx∴OD+33=∴x33PD==9，OD即
的坐标为∴解3.
D⊥PDx轴，垂足为点过点P作3，01∵A（-），0），B（31，∴OA=OB==由勾股定理得AB2∵△ABC为等边三角形323?
2?
4∴S=ABC△-SS=S+S∵ADP
ABPAOBBODP△△梯形△111a33?
3?
3）a3?
（?
（1?
a）?
3?
3?
1?
?
?
2222==
=2SS∵ABCABP△△3?
3?
3a?
3∴3a=∴4.解：
设A，E两点的坐标分别为（x，y），（x，y）21211522y＝15
＝＝，5点坐标为（，0）SOByB由题意知：
?
?
1AOB1△∴y＝6
1的中线AOB是△OE∵．
∴E是AB的中点0y?
123
＝y∴＝222yx?
=5
，即：
∵OE2=4
∴x25?
x12∵=4=3
∴x1E两点的坐标分别为（3，6）3）（4，，A∴，）∵四边形OABC为平行四边形（5.解：
1OB中点是线段∴D）4，B（4，，∵O（00）2D（2，）∴）1，3C又∵D是线段AC中点，（），1A∴（32（）法一：
）3，），B（4，4，A（3，1）C∵（134=OB∴O13O=OA即=OC又∵四边形OABC是平行四边形OABC是菱形∴四边形⊥AC∴OBODCRt△中，在110222==，∵OD=OBOC22OD?
OC2=由勾股定理得，CD=
22=CD2=AC∴．
128=ACOB∴S=?
OABC四边形法二：
，3）（B∵（4，4），C1
13310（1（（1（B=O=，∴OABC又∵四边形是平行四边形OABC是菱形∴四边形）A∵（3，（3（1AC=
44（（4）又∵O=
12OB8=∴S=AC?
OABC四边形．
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