那么在（a,b）内至少存在一点ξ,使得
f（b）f（a）
g（b）g（a）
f`（）
g`（）
Ps：
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
6、积分中值定理
：
若函数f（x）在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]使得
b
a
f（x）dxf（）（ba）
Ps：
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的，下面
我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：
若函数f（x）在[a,b]上连续，则至
少存在一点（a,b）使得
b
a
f（x）dxf（）（ba）
证明：
设F（x）
x
a
f（x）dx，x[a,b]
因为f（x）在闭区间上连续，则F（x）在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即
为f（x））。
则对F（x）由拉格朗日中值定理有：
（a,b）使得F`（）
F（b）F（a）
ba
b
a
f（x）dx
ba
而F`（）f（）
所以（a,b）使得
b
a
f（x）dxf（）（ba）。
在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用，因为
课本给的定理是闭区间。
第二部分：
定理运用
1、设f（x）在[0,3]上连续，在（0,3）内存在二阶导函数，且2f（0）
2
0
f（x）dxf
（2）f（3）.
证明：
（1）（0,2）使f（）f（0）
（2）（0,3）使f``（）0
证明：
先看第一小问题：
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中
值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。
具体证明方法
在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理
证明其在开区间内符合。
（1）、令
x
0
（0
f（t）dtF（x）,x[0,2]则由题意可知F（x）在[0,2]上连续，,2）内可导.
则对F（x）由拉格朗日中值定理有：
（0,2）使F`（）
F
（2）F（0）
2
f（）
2
0
f（t）dt
2
f（0）,（0,2）
从而，m
M，那么由介值定理就有：
c[2,3],使f（c）
f（0）
（2）、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问
的东西在第二问中进行运用：
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，
如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个
等式，如果有f（a）=f（b）=f（c），那么问题就解决了。
第一问中已经在（0,2）内找到一点，那么能否在（2,3）内也找一点满足结论一的形式呢，有了
这样想法，就得往下寻找了，
2f（0）f
（2）f（3），看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
f（x）在[0,3]上连续，则在[2,3]上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为M,m;
则mf
（2）M,mf（3）M.
f
（2）f（3）
2
f
（2）f（3）
2
f（0）f（）f（c）,（0,2）,c[2,3]
则有罗尔定理可知：
1（0,）,f`
（1）0，2（,c）,f`
（2）0
（1,2）（0,3）,f``（）0
Ps：
本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，
最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导,且f（0）=0,f
（1）=1.
证明:
（1）、（0,1）使得f（）1
（2）、两个不同点、（0,1）,使得f`（）f`（）1
本题第一问较简单，用零点定理证明即可。
（1）、首先构造函数：
F（x）f（x）x1,x[0,1]
F（0）f（0）11
F
（1）f
（1）1
F（0）F
（1）10
由零点定理知：
（0,1）使得F（）0,即f（）1
（2）、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问
是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的
就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，
证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候
就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没
想法，便无从下手。
另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定
就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个，如果我们在0与，与1上
对f（x）运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：
将第一问中f（）代入即可。
f`（）
f`（）
f（）f（0）
f
（1）f（）
1
1
1
（0,）
（,1）
证明：
（0,）,（,1）,使得：
f`（）f`（）22
f`（）f`（）1,（0,）（0,1）,（,1）（0,1）
Ps：
本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。
做任何题，最重要的不
是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一
步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下
手。
3、设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,f
（1）=1/3.
11
22
对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把、放在
两个范围内，不像上一题中直接来个、（0,1），这个分界点1/2的作用是干吗的。
很
可能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是
我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，f`（）f`（）
2
2
我们把等式变一下：
f`（）f`（）0，f`（）这个不就是f（）3关
2221
3
于的导数（而且题目中f
（1）=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运
用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些想法我们就要开始往下走了：
先来构造一个函数：
F（x）f（x）x3,F（0）0,F
（1）0,F`（）
F（）F（0）
2F（）
F
（1）F（）
1
F`（）
1
3
12
2
1
22F
（1）
1
2
1
2
1
2
F`（）F`（）0刚好证明出来。
Ps：
本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出
发，如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只
给、（0,1），那就更难了得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分
开在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧
的。
一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到
导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得
有式子相等才可进一步运用。
4.设f（x）在区间[-a,a]（a>0）上具有二阶连续导数，f（0）=0
（1）、写出f（x）的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
（2）、证明在[-a,a]上至少存在一点使得af``（）3
3
第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础
a
a
f（x）dx
f``（）2
f``（）2
（1）、f（x）f（0）
f`（0）
1!
x
2!
xf`（0）x
2!
x
（2）、第二问先将第一问的式子f（x）代入看看有什么结果出来
f（x）dx
xdx，f``（）此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x无
a
a
a
a
f``（）
2
2
关的数。
做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求
办法。
题目中说道f（x）有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最
小值，往往会接着和介值定理一起运用。
所以有：
因为f（x）有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[-a,a]，
mf``（x）M,mx2f``（）x2Mx2
2
ma3mxdxxdx
f``（）xdxMMa3
2
2
2
3
2
3
aaa
aaa
3
m3f（x）dxM
a
a
a
所以由介值定理有结论成立。
Ps：
本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。
题目
中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连
续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。
f（x）dx0,f（x）cosxdx0.
5、设f（x）在[0,]上连续，且
0
0
证明：
在（0,）内至少存在两个不同点1、2使得f
（1）f
（2）0
本题看似很简洁，但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值
相等，那么是不是就能有些思路了呢。
令：
F（x）
x
0
f（t）dt,x[0,]，F（0）F（）0
f（x）cosxdxcosxdF（x）cosxF（x）0sinxF（x）dx0
sinxF（x）dx0
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数G（x）sintF（t）dt,x[0,]
似乎只需在找出一点F（c）=0即可。
，如果一切如我们所想，证明也就完成了。
000
0
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用
x
0
具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。
证完后就得到
c（0,）,使得G`（c）0,即sincF（c）0,所以F（c）0
所以有：
F（0）F（c）F（）0,c（0,）
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，
思路。
Ps：
本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运
用不熟练，还是不好弄出来。
本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到
积分中值定理，以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，
只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计
一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键
点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类
讨论了），硬是说C点就成立，那估计一半的分都没了。
一般都会构造出g（x）XXXe或者e或者x,n为任意常数
对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。
下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：
基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，
或是求微分方程，解出来也可。
本人自己总结了一些东西，与大家交流下：
第三部分：
构造函数基本方法
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：
xxn
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有e或者e
f`（x）f（x）可以构造g（x）f（x）ex
x
x
f`（x）f（x）0可构造g（x）f（x）ex
f`（x）f（x）可构造g（x）f（x）exex
f（t）dtf（x）这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g（x）exf（t）dt
x
a
x
a
f`（x）（f（x）x）1
先将其变形下：
f`（x）f（x）1x左边是导函数与原函数关系可构造：
f（x）e
x
右边可以看成是x`x也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：
xex从而
要构造的函数就是：
g（x）（f（x）x）e
x
2、如果还涉及到变量X，想想构造xn
xf`（x）f（x）0可构造g（x）f（x）x
f（x）
2f（x）
x
可构造g（x）f（x）x
2
xf`（x）nf（x）0可构造g（x）f（x）xn
3、另外还可以解微分方程来构造函数：
如xf（x）f`（x）0
f`（x）
f（x）
x,
lnf（x）x2c
lnf2（x）exc
f2（x）exC
1
2
2
2
所以构造函数g（x）f2（x）ex
2
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有e或者e
x
f``（x）f（x）
如何构造如下：
x
f``（x）f`（x）f`（x）f（x）对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是
f`（x））之间关系，从而等式左边可以构造f`（x）ex等式右边可以构造f（x）ex总的构造
出来函数为：
g（x）（f`（x）f（x））e
x
另：
如果这样变形：
（f``（x）f`（x））（f`（x）f（x））0
构造函数如下：
g（x）（f`（x）f（x））e
x
，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。
从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。
如果题目给了
f`（x）f（x）为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了f`（x）f（x），则可以考
虑第二种构造方法。
f``（）3f`（）2f（）0
先变形：
变成一阶导函数和原函数之间关系
f``（）2f`（）f`（）2f（）
f`（x）e2xf（x）e2x
所以构造的函数为：
G（x）（f`（x）f（x））e2x
f``（x）f（x）0
这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。
G（x）f2（x）（f`（x））2
G`（x）2f`（x）（f``（x）f（x））
实际做的时候还得看题目是否给了f`（x）的一些条件，如果在某个开区间内不为0，而构造
出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。
具体来看看题目：
（1）、存在（,1）,使得f（）
1、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=f
（1）=0,f（1/2）=1证明：
1
2
（2）、存在（0,）,使得f`（）f（）1
（1）、对一问直接构造函数用零点定理：
F（x）f（x）x具体详细步骤就不写了。
（2）、该问主要问题是如何构造函数：
如果熟练的话用上面所讲方法来构造：
f`（）f（）1先变形
f`（）f（）1
f（x）exxex
构造函数为G（x）（f（x）x）ex
另：
用微分方程求解法来求出要构造的函数
f`（）1f（）
（f（x）x）`f（x）x
ln（f（x）x）xc
f（x）xexcexC
（f（x）x）exC
把常数退换掉之后就是要构造的函数
G（x）（f（x）x）ex
函数构造出来了，具体步骤自己去做。
2、设f`（x）在[a,b]上连续，f（x）在（a,b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0,
b
a
f（x）dx0
证明：
（1）存在1,2（a,b）使得f
（1）f`
（1）,f
（2）f`
（2）
（2）存在（a,b）,1,2使得f``（）f（）
（1）、第一问中的函数构造：
F（x）f（x）ex
（2）、第二问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了
我们在这用第一种
g（x）（f`（x）f（x））ex
原因在于第一问中f`（x）f（x）=0符合此题构造。
具体详细步骤自己去写写。
3、设奇函数f（x）在[1,1]上具有二阶导数，且f
（1）=1,证明：
（1）存在（0,1）,使得f`（）1
（2）存在（1,1）,使得f``（）f`（）1
第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点
本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数
（1）、F（x）f（x）x，题目中提到奇函数，f（0）=0
有F（0）=F
（1）=0从而用罗尔定理就出来了。
（2）、第二问中的结论出发来构造函数，从上面讲的方法来看，直接就可以写出要构造的
函数
f``（）f`（）1
先变形下：
f`（x）exex
G（x）（f`（x）1）ex
函数构造出来，并且可以用到第一问的结论，我们只需要在（-1,0）之间在找一个点也满足
1的结论即可。
也即（1,0）,f`（）1
从而可以对（,）（1,1）运用罗尔定理即可。
Ps：
本题为13年数一真题，第一问基础题，但要看清题目为奇函数，在0点处函数值为0.
第二问关键是构造函数，函数构造出来了就一步步往下做，缺什么条件就去找什么条件或者
证明出来，13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法，考场上都很
第四部分：
中值定理
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